2.4.1 Công thức cộng xác suất
i).NếuAvàBlà hai biến cố tuỳ ý thì:
P(A+B) =P(A) +P(B)−P(AB) (2.3)
ii).NếuAvàBlà hai biến cố xung khắc thì:
P(A+B) =P(A) +P(B) (2.4)
Tổng quát:
i).NếuA1, A2,· · ·, Anlànbiến cố khơng xung khắc thì:
P n X i=1 Ai ! = n X i=1 P(Ai)−X i<j P(AiAj) + X i<j<k
P(AiAjAk) +· · ·+ (−1)n−1P(A1A2. . . An) (2.5)
ii).NếuA1, A2,· · ·, Anlànbiến cố xung khắc thì:
P n X i=1 Ai ! = n X i=1 P(Ai) (2.6) Hệ quả
i).NếuA1, A2,· · ·, Anlà hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi thì: n
X
i=1
P(Ai) = 1 (2.7)
ii).NếuAvàAlà hai biến cố đối lập với nhau thì:
P(A) = 1−P(A) (2.8)
2.4.2 Công thức nhân xác suất
NếuAvàBlà 2 biến cố bất kỳ thì:
P(AB) =P(A)P(B|A) =P(B)P(A|B) (2.9)
Lưu ý: Từ cơng thức nhân xác suất trên ta có thể suy ra các cơng thức tính xác suất điều kiện
như sau:
P(B|A) = P(AB)
P(A) hoặc P(A|B) = P(AB)
P(B)
Hệ quả: NếuA, Blà hai biến cố độc lập thì:
P(AB) =P(A)P(B) (2.10)
Tổng quát:
i).NếuA1, A2, . . . , Anlà các biến cố bất kỳ thì
P(A1A2. . . An) =P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2). . . P(An|A1A2. . . An−1) (2.11) ii).NếuA1, A2, . . . , Anlà các biến cố độc lập tồn phần thì
P(A1A2. . . An) =P(A1)P(A2). . . P(An) (2.12)
2.4.3 Công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Giả sửAlà biến cố bất kỳ có thể xảy ra cùng với một trong các biến cốA1, A2,· · ·, An- là hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đơi. Khi đó xác suất của biến cốAđược tính theo cơng thức sau, gọi là công thức xác suất đầy đủ
P(A) =
n X
i=1
P(Ai)P(A|Ai) (2.13)
Các xác suấtP(A1), P(A2), . . . , P(An)thường được gọi là các xác suất tiên nghiệm (hay xác suất của giả thiết).
Ví dụ: Một xưởng có ba máy1,2,3cùng sản xuất một loại sản phẩm. Các máy đó sản xuất tương ứng25%,35%,40%sản lượng của xưởng và tỷ lệ phế phẩm của mỗi máy lần lượt là1%,2%,3%.
a). Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của xưởng. Tính xác suất để lấy được phế phẩm.
b). Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm của xưởng thì thấy đó là phế phẩm. Tính xác suất để sản phẩm đó là do máy1sản xuất ra.
HD
a). GọiAi={Sản phẩm lấy ra do máy thứ i sản xuất },(i= 1,2,3)và A={Sản phẩm lấy ra là phế phẩm}.
Ta thấy các biến cốA1, A2, A3là một hệ đầy đủ, xung khắc từng đơi và ta có
A=A1A+A2A+A3A nên
P(A) =P(A1A) +P(A2A) +P(A3A)
P(A) =P(A1)P(A|A1) +P(A2)P(A|A2) +P(A3)P(A|A3) = 0,25×0,01 + 0,35×0,02 + 0,4×0,03 = 0,0215
Để giải quyết câu b), ta phải làm quen với công thức sau và gọi là công Bayes
Công thức Bayes: Giả sửA là biến cố bất kỳ có thể xảy ra cùng với một trong các biến cố A1, A2,· · ·, An- là hệ biến cố đầy đủ và xung khắc từng đôi. Giả thiết rằngAđã xảy ra, khi đó cơng thức tính xác suất sau đây được gọi là cơng thức Bayes
P(Ai|A) =P(Ai)P(A|Ai)
Các xác suấtP(Ai|A)được xác định khi biết kết quả của phép thử làAđã xảy ra nên được gọi là xác suất hậu nghiệm. Công thức Bayes cho phép ta xác định lại các xác suất tiên nghiệm P(Ai)khi biết thêm thông tin làAxảy ra khi thực hiện phép thử.
Bây giờ, ta có thể áp dụng để giải câu b) trên
P(A1|A) =P(A1)P(A|A1) P(A) =
0,25×0,01
0,0215 = 0,1163