Nghiˆ e.m gió i nô.i trên nu.’a tru.c

Có thê’ d¯˘a.c tru.ng t´ınh hyperbolic cu’a hê. tuyêń t´ınh thuâ`n nhâ´t qua su.. tˆ`n ta.i (không duy nhâ´t) nghiê.m gió.i nô.i trên nu.’a tru.co du.o.ng vó.i mô˜i hàm cu.õ.ng bách (forcing term) f cho tru.ó.c trên nu.’ a tru.c. Tuy nhiên, viê.c chú.ng minh d¯˘a.c tru.ng này khá phú.c ta.p so vó.i chú.ng minh d¯i.nh lý Perron o’ trên. Gia’ su.. ’ σ(A)∩iR = .

σ(A|ImP) = {λ∈σ(A) :Reλ < 0}, σ(A|KerP = {λ∈σ(A) :Reλ > 0}.

Ta nh˘ać la.i r˘a`ngBC(R+,Rn) :={g : [0,+∞)→Rnliên tu.c và gió.i nô.i}.

D- i.nh lý 1.17 Vó.i gia’ thiê´t và ký hiê.u trên, vó.i mo.if ∈BC(R+,Rn)

các kh˘a’ng d¯i.nh sau d¯ây là d¯úng:

1. Phu.o.ng tr`ınh (1.49) có ´ıt nhâ´t mô. t nghiê.m gió.i nô.i trên nu.’a tru. c, cho bo’ i cˆ. ong thú.c:

xf(t) = t 0 e(t−ξ)AP f(ξ)dξ− +∞ t e(t−ξ)A(I−P)f(ξ)dξ, ∀t∈R+, (1.54)

2. Mo. i nghiê.m y(t), t∈R+, gió.i nô. i trên nu.’ a tru.c R+, d¯ˆ` u cé o da. ng

y(t) =etAy0+xf(t), y0 ∈I mP, ∀t∈R+. (1.55)

Chú.ng minh. (1) Du.. a vào d¯ánh giá

etAP x ≤N e−αt, ∀t≥0, esA(I−P) ≤N e−αs, ∀s≤0 vó.i hai sô´ du.o.ng N, α nào d¯ó xác d¯i.nh tù.A, ta có thê’ chı’ ra ngay

xf là hàm gió.i nô.i. Thu’ tru.. . c tiê´p suy ra ngay xf là nghiê.m cu’a (1.49).

(2) Dùng nguyên lý chˆ`ng chô a´t nghiê.m suy ra hiê.u y(t)−xf(t) =

z(t) là mô.t nghiê.m gió.i nô.i cu’a phu.o.ng tr`ınh thuâ`n nhâ´t tu.o.ng ´

u.ng. Vˆa.y th`ız(t) pha’i c´o da.ng z(t) = etA(P z(0) + (I −P)z(0)).

Nêú (I−P)z(0)= 0 th`ı nghiê.mz(t) không thê’ gió.i nô.i d¯u.o..c. Vâ.y ta d¯u.o.. c d¯iˆ` u cê ` n chá u.ng minh.

1.5. B ÀI TO ÁN BIÊN

1.5.1. Bài toán biên thuˆ` n nhâ a´t

Xét phu.o.ng tr`ınh tuyêń t´ınh ˙

x=P(t)x, (1.56)

trong d¯ó P : (a, b)→Cn×n là hàm giá tri. ma trâ.n liên tu.c. Ta xét bài toán sau: T`ım nghiê.m x(t) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.56) tho’a mãn d¯iˆ` u kiê.n biên sau d¯ây:e

Ax(α) +Bx(β) = 0, (1.57) trong d¯óA, B∈Rn×n là hai ma trâ.n, vàα, β ∈(a, b) là hai sô´ thu.. c cho tru.ó.c.

Gia’ su.’ Φ(t) là ma trâ.n co. ba’n chuâ’n hóa (tú.c là Φ(0) =I, ma trâ.n d¯o.n vi.) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.56). Ta s˜e t`ım nghiê.m trong da.ng sau

x(t) = Φ(t)C, C ∈Cn. (1.58) Tù. d¯iˆ` u kiê.n biên suy rae

[A+BΦ(β)]C= 0.

Do d¯ó bài toán biên (1.56) và (1.57) có nghiê.m không tâ` m thu.ò.ng khi và chı’ khi

∆ := det[A+BΦ(β)] = 0.

Gia’ su.’

Q={(t, s) :α≤t ≤β;α≤s≤β, s=t}.

D- i.nh ngh˜ıa 1.5 Anh xa´ . G : Q → Cn×n d¯u.o.. c go. i là hàm Green cu’a bài toán biên (1.56) và (1.57) nêú nó tho’a mãn các d¯iˆ` u kiê.ne sau:

1. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

dt =P(t)G, ∀t ∈[α, s), t∈(s, β]

2. AG(α, s) +BG(β, s) = 0,

3. G(s+ 0, s)−G(s−0, s) =I , (I l`a to´an tu.’ d¯o.n vi.).

Tù. lý thuyê´t hê. phu.o.ng tr`ınh tuyêń t´ınh ta có thê’ biê’u diêñG(t, s) du.ó.i da.ng sau:

G(t, s) =

Φ(t)S(s), α ≤t < s,

Φ(t)T(s), s < t≤β.

Theo các d¯iˆ` u kiê.n cu’a hàm Green ta cóe

AS+BΦ(β)T = 0, Φ(S−T) =I .

Do d¯´o

S−T = −Φ−1

S(s) = −[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s), T(s) = {I−[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)}Φ−1(s).

Vâ.y th`ıG(t, s) xác d¯i.nh mô.t cách d¯o.n tri. tù. công thú.c G(t, s) =    −Φ(t)[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)Φ−1(s), α≤t < s, Φ(t){I−[A+BΦ(β)]−1BΦ(β)}Φ−1(s), s < t≤β. (1.59) Tù. (1.59) và d¯˘a’ng thú.c dΦ−1 dt =−Φ−1P ta có dG ds =−GP(s), G(t, t−0)−G(t, t+ 0) =I .

1.5.2. Phu.o.ng tr`ınh khˆong thuˆ` n nhˆa a´t

Xét bài toán biên không thuˆ` n nhâ a´t sau: ˙

x = P(t)x+q(t), t∈(a, b) (1.60)

0 = Ax(α) +Bx(β), (1.61)

trong d¯ó q: (a, b)→Cn là hàm liên tu.c cho tru.ó.c.

D- i.nh lý 1.18 Nêú ∆ = 0 th`ı bài toán biên không thuˆ` n nhâ a´t (1.60) và (1.61) có nghiê.m duy nhâ´t xác d¯i.nh b˘a`ng công thú.c

x(t) = β

G(t, s)q(s)ds, (1.62)

trong d¯óG(t, s)là hàm Green cu’a phu.o.ng tr`ınh thuˆ` n nhâ a´t (1.56) và (1.57).

Chú.ng minh. D- ê’ chı’ ra hàm x(t) là nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.60) ta biê’u diêñ hàm này du.ó.i da.ng

x(t) = t α G(t, s)q(s)ds+ β t G(t, s)q(s)ds, t`u. d¯´o suy ra ˙ x(t) = G(t, t−0)q(t) + t α P(t)G(t, s)q(s)ds−G(t, t−0)q(t) + β t P(t)G(t, s)q(s)ds = P(t)x(t) +q(t).

Tiˆe´p theo ta c´o Ax(α) +Bx(β) = β α AG(α, s)q(s)ds+ β α BG(β, s)q(s)ds = β α [AG(α, s) +BG(β, s)]q(s)ds = 0.

Thê´ th`ı ta d¯ã chú.ng minh d¯u.o.. c (1.62) là nghiê.m cu’a (1.60). Bây giò. ta chú.ng minh t´ınh duy nhâ´t. Gia’ su.’ ta có hai nghiê.m

x1(t) và x2(t) cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.60) và (1.61). Khi d¯ó ϕ(t) :=

x1(t)− x2(t) là nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh thuâ`n nhâ´t (1.56) và (1.57). Theo d¯iˆ` u kiê.n ∆e = 0 ta cóϕ(t) = 0, ∀t∈(a, b). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Nhâ.n xét 1.4 D- i.nh lý trên cho d¯iê` u kiê.n d¯u’ tô’ng quát ho.n d¯iê` u kiê.n d¯u’ cho su. tˆ. `n ta.i nghiê.m tuâo ` n hoàn trong D- i.nh lý 1.15 d¯ã biê´t trong mu. c tru.ó.c.

1.6. PHU.O.NG TRÌNH TUYÊŃ TÍNH B Â. C CAO

X´et phu.o.ng tr`ınh vi phˆan

x(n)+p1(t)x(n−1)+· · ·+pn(t)x=q(t), (1.63) trong d¯ó x=x(t) là hàm vô hu.ó.ng, pk(t), q(t) là hàm liên tu.c trên khoa’ng (a, b)⊂R. Phu.o.ng tr`ınh trên d¯u.o.. c go.i làphu.o.ng tr`ınh vi phân tuyêń t´ınh câ´p n.

D- ˘a.t z1(t) =x(t), z2(t) = ˙x2(t),· · ·, zn(t) =x(n−1)(t) ta c´o ˙ z(t) =A(t)z(t) +Q(t), t∈ (a, b), (1.64) trong d¯´o A:=       0 1 0 · · · 0 0 0 0 1 · · · 0 0 .. . ... ... ... ... ... 0 0 0 · · · 0 1 p1 p2 p3 · · · pn−1 pn      , Q :=       0 0 .. . 0 q      , (1.65)

Ma trâ.n da.ng trên cu’a Ad¯u.o.. c go.i là ma trâ.n Sylvester. B˘a`ng cách d¯u.a phu.o.ng tr`ınh câ´p cao vˆ` hê. phu.o.ng tr`ınh bâ.c nhâ´t, vêe ` nguyên t˘ać th`ı rõ ràng viê.c gia’i phu.o.ng tr`ınh bâ.c cao hoàn toàn thu..c hiê.n d¯u.o.. c. Tuy vâ.y d¯ôí vó.i hê. phu.o.ng tr`ınh bâ.c nhâ´t có ma trâ.n hê. sô´ da.ng Sylvester, viê.c t`ım hê. nghiê.m co. ba’n có thuâ.n lo..i ho.n. D-ó c˜ung ch´ınh là mu.c d¯´ıch cu’a mu.c này.

Bô’ d¯ˆè 1.3 Hê. các hàm {tkjeλjt, j = 1,2,· · ·, N}, trong d¯ó kj ∈

N, λj ∈ C là hê. các hàm d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh trên R khi và chı’ khi

(kj, λj)= (km, λm) v´o.i mo. i j =m.

Chú.ng minh. Tru.ó.c hê´t ta chú.ng minh kh˘a’ng d¯i.nh: nêú

j=1

Pj(t)eλjt= 0, ∀t,

trong d¯ó Pj(t) là các d¯a thú.c theo t, th`ıPj(t) = 0, ∀t,∀j. Ta s˜e chú.ng minh b˘a`ng quy na.p. gia’ su.’ vó.i N −1 công thú.c trên d¯úng. Ta chia hai vê´ cho eλNt và d¯u.o.. c

N−1

j=1

Pj(t)e(λj−λN)t+PN(t)≡0.

D- a.o hàm theo t mô.t sô´ lâ` n th´ıch ho.. p (b˘a`ng bâ.c cu’aPN) ta có

N−1

j=1

Qj(t)e(λj−λN)t≡0

trong d¯ó Qj có bâ.c b˘a`ng bâ.c cu’a Pj. Theo gia’ thiê´t quy na.p th`ı

Qj(t)≡0. Do d¯´o Pj(t)≡0.

Ap du.ng kh˘a’ng d¯i.nh này vào chú.ng minh bô’ d¯ê` th`ı ta d¯u.o.. c ngay d¯iˆ` u cê ` n chá u.ng minh.

Bây giò. ta xét tru.ò.ng ho.. p phu.o.ng tr`ınh có hê. sô´ h˘a`ng sô´ tú.c làpj(t)≡const. D- ˘a.t

f(λ) =λn+p1λn−1 +· · ·+pn−1λ+pn.

D- a thú.c f(λ) d¯u.o.. c go.i là d¯a thú.c d¯˘a.c tru.ng, còn phu.o.ng tr`ınh

f(λ) = 0 d¯u.o.. c go.i là phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng. Các nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯˘a.c tru.ng d¯u.o..c go.i là nghiê.m d¯˘a.c tru.ng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

Bô’ d¯ˆè 1.4 Gia’ su.’ λ1 là mô. t nghiê.m d¯˘a.c tru.ng bô.ik cu’a phu.o.ng tr`ınh vi phân tuyêń t´ınh bâ. c n có hê. sô´ h˘a`ng sô´ (1.63). Khi d¯ó hê. {eλ1t, teλ1t,· · ·, tk−1eλ1t} là hê. k nghiê.m d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.63).

Ch´u.ng minh. D- ˘a.t Lu:=u(n)+p

1u(n−1)+· · ·+pnu. Khi d¯ó dê˜ dàng chú.ng minh d¯u.o.. c

L(tmeλ1t) =

ν=1

Cmνf(ν)(λ1)tm−νeλ1t, 0≤m ≤k−1.

V`ıλ1 là nghiê.m bô.i k nênf(λ) =f(λ) =· · ·=f(k−1)(λ1) = 0. Do 0≤m≤k−1 nênL(tmeλ1t)≡0. Áp du.ng bô’ d¯ê` trên ta thu d¯u.o..c t´ınh d¯ô.c lâ.p tuyêń t´ınh cu’a hê. này.

Hê. qua’ tru. c tiˆ. e´p cu’a hai bô’ d¯ˆ` trên lè a d¯i.nh lý sau d¯ây:

D- i.nh lý 1.19 Gia’ su.’ phu.o.ng tr`ınh d¯˘a. c tru.ng có các nghiê.m

λ1,· · ·, λl vó.i các bô. i tu.o.ng ú.ng là m1,· · ·, ml. Khi d¯ó hê. các hàm {eλjt, teλjt,· · ·, tmj−1eλjt, j = 1,· · ·, l} là hê. nghiê.m co. ba’n cu’a phu.o.ng tr`ınh (1.63).

Nhâ.n xét 1.5 Tru.ò.ng ho.. p các hê. sô´ thu. c ta c´. o thê’ t`ım hê. nghiê.m co. ba’n thu.. c nhu. sau: trong d¯i.nh lý trên thay v`ı cho.n các hàm phú.c

tkeλt, tke¯λt ta lâý c˘a. p hàm thu.. c sau tkeReλtcos(λt), tkeReλtsin(λt).

1.7. SU. PHU. . THUOˆ. C LIEN TUˆ . C THEO D- Iˆ` U KIÊ E. N BAN D- ˆ` U V À A THEO THAM S Ô´

Trong mu.c này ta gia’ su’ b`. ai toán Cauchy ú.ng vó.i phu.o.ng tr`ınh

dt =f(t, x, µ), µ∈Λ,

trong d¯ó Λ là mô.t tâ.p con mo’ cu’a khˆ. ong gianRm nào d¯ó, gia’i d¯u.o.. c trên toàn khoa’ng (a, b) vó.i mô˜iµ∈Λ. D- ê’ có d¯iê` u này ta gia’ thiê´t nhu. trong D- i.nh lý Tô`n ta.i Toàn cu.c, tú.c là :

1. f : (a, b)×Rn→Rn liên tu.c theot, x, µvà Dxf,Dµf tˆ`n ta.io và liên tu.c;

2. Có các h˘a`ng sô´M0, M1, M2 sao cho:

f(t, x, µ) ≤ M1+M0x, ∀t∈(a, b);x∈Rn;µ∈Λ

f(t, x, µ)−f(t, y, µ) ≤ M2x−y, ∀t∈(a, b);x, y∈Rn;µ∈Λ.

Ta s˜e ký hiê.u x=x(t, t0, x0, µ) là nghiê.m cu’a bài toán Cauchy

x(t) =f(t, x, µ), t∈(a, b)

x(t0) =x0. (1.66)

Bài toán d¯˘a.t ra o’ d¯ˆ. ay là vó.i các d¯iˆ` u kiê.n g`ı nghiê.me x(t, t0, x0, µ) s˜e phu. thuô.c liên tu.c và kha’ vi theo x0, µ.

Bô’ d¯ˆè 1.5 Gia’ su.’ X vàY là hai không gian Banach, U là tâ. p con mo.’ trong X và J là khoa’ng comp˘ać trong R. Nêú F :J ×U →Y

là ánh xa. liên tu. c, ánh xa. ho. p th`. anh x → F(·, x(·)) : C(J, U) → (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

C(J, U)là liên tu. c. Nêú (t, x)→ ∂

∂xkF(t, x)liên tu. c trênJ×U vó.i

k = 0,1, . . . , r, th`ı ánh xa. ho. p th`. anh thuô. c ló.p Ck.

Chú.ng minh. Nêú xn, x∈ C(J, U) và xn(t)→ x(t) d¯ˆ` u trêne J

khi n → ∞ nhu.ng F(·, xn(·))−F(·, x(·))C(J,U) ≥ ε > 0, s˜e tˆ`no ta.i tn ∈ J vó.i F(tn, xn(tn))−F(tn, x(tn)) ≥ ε/2 vó.i n d¯u’ ló.n. Do J comp˘ać, tô`n ta.i dãy con tnk hô.i tu. tó.i t∗∈ J. D- iê` u này mâu thuâñ vó.i gia’ thiê´t vê` t´ınh liên tu.c cu’a F.

D- ôí vó.i 1 ≤k≤ r, hàm ∂x∂kkF tho’a mãn các d¯iˆ` u kiê.n cu’a tru.ò.nge ho.. pr= 0, và liên tu.c d¯ê` u trên tâ.p{(t, x(t)), t∈J nêúx∈C(J, U). Dùng khai triê’n Taylor cu’aF có thê’ chı’ ra hàm ho.. p thuô.c ló.pCr.

D- i.nh lý 1.20 Vó.i nh˜u.ng gia’ thiê´t liê.t kê trên d¯ôí vó.i hàmf, nêú ký hiê.u x(t, τ, ξ, µ) là nghiê.m cu’a bài toán Cauchy

x=f(t, x, µ)

x(τ) =ξ, (1.67)

th`ı vó.i mô˜i t ∈J ⊂(a, b) ánh xa.

Rm×Λ(ξ, µ)→x(t, τ, ξ, µ)∈Rn (1.68)

kha’ vi liên tu. c. Các d¯a. o hàm u(t) = Dξx(t) và v(t) = Dµx(t) là các nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh

˙ u(t) =Dxf(t, x(t), µ)u(t), u(τ) =I , (1.69) ˙ v(t) =Dxf(t, x(t), µ)v(t) +Dµf(t, x(t), µ), v(τ) = 0. (1.70)

Chú.ng minh. Theo chú.ng minh cu’a D- i.nh lý Tô`n ta.i Toàn cu.c, nghiê.mx(t, τ, ξ, µ) là d¯iê’m bâ´t d¯ô.ng cu’a toán tu’.

G(x, ξ, µ)(t) =ξ+ t

f(s, x(s), µ)ds, t∈J. (1.71)

G là ánh xa. co d¯ê` u. Ánh xa. (x, µ)→f(·, x(·), µ) kha’ vi liên tu.c, v`ı vâ.y Gthuô.c ló.p C1. Do d¯ó d¯iê’m bâ´t d¯ô.ng c˜ung thuô.c ló.p C1.

C ´AC PHU.O.NG PH ´AP D- I.NH LU.O. NG.

2.1. M Ô. T SOˆ´ PHU.O.NG PH ÁP TÍCH PH ÂN C ÁC PHU.O.NG TRÌNH VI PH ÂN

2.1.1. Các phu.o.ng pháp t´ıch phân các ló.p phu.o.ng tr`ınh thu.ò.ng g˘a.p

Mô.t sô´ khái niê.m co. ba’n

X´et phu.o.ng tr`ınh vi phˆan da.ng

y =f(x, y), (2.1)

trong d¯ó f :G⊂R2 →Rlà hàm liên tu.c cho tru.ó.c.

D- i.nh ngh˜ıa 2.1 Vó.i các ký hiê.u trên ta có các d¯i.nh ngh˜ıa sau d¯ây:

1. Gia’ su.’ trong mô. t miˆ` ne G cu’a m˘a. t ph˘a’ng (x, y) nghiê.m cu’a bài toán Cauchy d¯ôí vó.i phu.o.ng tr`ınh (2.1) tˆ`n ta.i và duyo nhâ´t. Hàm sôý=φ(x, C)d¯u.o.. c go. i là nghiê.m tô’ng quát cu’a (2.1) trong Gnêú trong miˆ` n biêń thiên cu’ae x, C hàm sô´ này có d¯a. o hàm riêng liên tu. c theo x và tho’a mãn các d¯iˆ` u kiê.ne sau:

(a) ∂φ

∂C = 0. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

(b) H`am φ(x, C) tho’a m˜an (2.1).

2. Nghiê.m riêng là mô.t nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh ta.i mô˜i d¯iê’m cu’a nó D- i.nh lý Tô`n ta.i và Duy nhâ´t Nghiê.m tho’a mãn. 3. Nghiê.m k`y di. là nghiê.m mà ta.i mô˜i d¯iê’m cu’a nó mâ´t t´ınh

duy nhˆa´t nghiˆe.m.

Phu.o.ng tr`ınh có biêń sô´ phân ly

Phu.o.ng tr`ınh không chú.a hàm pha’i t`ım. D- ó là phu.o.ng tr`ınh da.ng

dx =f(x),

trong d¯óf là hàm liên tu.c trong mô.t khoa’ng (a, b) nào d¯ó. Rõ ràng trong tru.ò.ng ho.. p này

y(x) =

f(ξ)dξ

là nghiê.m tô’ng quát cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯ang xét. Nêú (x0, y0) ∈

G:={a < x < b;−∞< y < ∞}th`ı nghiê.m cu’a phu.o.ng tr`ınh trên qua d¯iê’m (x0, y0) là

y= x x0 f(τ)dτ +y0. V´ı du. 2.1 Xét phu.o.ng tr`ınh: dy dx = 3x 2. (2.2) Hàm sô´ y= 3x2dx+C =x3+C

là nghiê.m tô’ng quát cu’a phu.o.ng tr`ınh d¯ang xét trong miê` n

−∞< x <∞,−∞< y <∞.

Phu.o.ng tr`ınh không có nghiê.m k`y di. và nghiê.m tho’a mãn d¯iê` u kiê.n ban d¯â` u y(x0) =y0 là

y=y0+x3−x30.

Phu.o.ng tr`ınh không chú.a biêń d¯ô. c lâ. p. D- ó là phu.o.ng tr`ınh có da.ng

dx =f(y).

Nghiê.m tô’ng quát cu’a phu.o.ng tr`ınh này có da.ng

x= 1 f(y)dy. V´ı du. 2.2 X´et phu.o.ng tr`ınh dy dx = 1 +y 2, (2.3)

trong d¯óf(y) xác d¯i.nh và liên tu.c vó.i mo.iyvà luôn du.o.ng. Nghiê.m tho’a mãn d¯iˆ` u kiê.n ban d¯âe ` u y(x0) =y0 là

x−x0 = y y0 du 1 +u2. Hay l`a arctgy−arctgy0 =x−x0.

trong tru.ò.ng ho.. p riêng, nêú x0 = y0 = 0 th`ı nghiê.m riêng tu.o.ng ´ u.ng s˜e là arctgy =x⇐⇒y= tgx, −π 2 < x < π 2.

Phu.o.ng tr`ınh vó.i biêń sô´ phân ly. D- ó là phu.o.ng tr`ınh có da.ng

X(x)dx+Y(y)dy= 0.

Phu.o.ng tr`ınh này có t´ıch phân tô’ng quát da.ng

X(x)dx+

Y(y)dy=C. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});

V´ı du. 2.3 T`ım t´ıch phân tô’ng quát và tù. d¯ó t`ım d¯u.ò.ng cong

Nghiˆ e.m gió i nô.i trên nu.’a tru.c

Mục lục