Vượt kỳ dị trong phân tích động lực học robot song song 70 

3.5.1 Cơ sở của phương pháp

Việc mô phỏng số động lực học robot song song đòi hỏi phải giải hệ phương trình vi phân đại số (3.19) và (3.20). Hệ này có thể giải bằng các phương pháp biến đổi về dạng phương trình đại số phi tuyến, các phương pháp số để giải các phương trình này thường tồn tại sai số sau mỗi vịng lặp. Vì vậy, cần có giải pháp khắc phục các vấn đề này.

Hai phương pháp tách và khử nhân tử chỉ sử dụng được khi ma trận Jacobi Jq

có hạng đầy đủ, tức là rank[ ]Jq r, bằng số các phương trình liên kết. Tuy nhiên, như đã biết các mô phỏng số có thể sụp đổ hay bị kẹt tại một số cấu hình kỳ dị, nơi mà hạng của ma trận Jacobi bị giảm, rank[ ]Jq r. Vị trí và thời điểm xảy ra điều đó, phụ thuộc vào cấu trúc cơ hệ và các thông số của hệ. Để đảm bảo mô phỏng liên tục và thông suốt, chúng ta cần phải tìm một giải pháp để đối phó với các điểm kỳ dị này. Để vượt qua kỳ dị, trong phần này, ma trận khử được tính tốn sử dụng không gian bù hay không gian rỗng của ma trận Jacobi.

Gọi N là ma trận bù của ma trận Jacobi, tức J N 0q  hay T T q 

D J 0. Thực hiện nhân từ trái ma trận NT với phương trình (3.19) ta được

( ) [ ( , ) ( )]

T T T

s  s   s s  s

N M q q N C q q q N q g q N B u (3.71)

Kết hợp với phương trình (3.55) ta có được

( ) [ ( , ) ( )] T T T s s s s s q q                            N M q N B u N C q q q D q g q q J J q , đặt ( ) T s q          N M q H J (3.72) Lưu ý rằng, từ phương trình (3.72) ta ln xác định được véc tơ gia tốc suy rộng q. Vì rằng, theo định lý về tổng hạng của ma trận và của khơng gian bù của ma trận đó, ta ln có rank[ ]Jq rank[ ]N m [104]. Do đó, rank( )H mvì M qs( ) là ma trận chính qui. Tức là khi ma trận Jacobi giảm hạng thì hạng của ma trận bù sẽ tăng. Giải hệ phương trình (3.72) ta nhận được:

71 ( ) [ ( , ) ( )] T T T s s s s s q q                             N M q N B u N C q q q D q g q q J J q (3.73)

Như vậy, véc tơ gia tốc suy rộng q luôn được xác định trực tiếp từ (3.73) và nghiệm này không phụ thuộc vào cấu hình của hệ là kỳ dị hay khơng kỳ dị. Lưu ý rằng, tại các cấu hình khơng kỳ dị H chính là H1. Phép tính tựa nghịch đảo chỉ phải dùng đến chỉ tại các cấu hình kỳ dị, do số hàng của H tăng lên. Nếu tìm cách xóa bỏ một số hàng của ma trận Jacobi để H thành vng thì ta vẫn sử dụng ma trận nghịch đảo được. Để cho đơn giản mà khơng phải dị tìm cấu hình kỳ dị trong q trình mơ phỏng ở đây ta sử dụng phép tính tựa nghịch đảo cho cả hai trường hợp khơng kỳ dị và kỳ dị. Đó là một ưu điểm nổi bật khi khử nhân tử Lagrange bằng ma trận bù thay cho ma trận khử tính theo (3.52) hoặc (3.53). Cần nhắc lại rằng, tổng số các phương trình của hệ (3.72) là m, do rank[ ]Jq  [ T ]

s

rank N M m đối với tất cả các vị trí: kỳ dị và khơng kỳ dị.

Một trong các điểm mấu chốt của thuật toán đề xuất là việc xây dựng ma trận

N . Trong trường hợp khảo sát với các liên kết lý tưởng, ma trận này có thể xác định bằng phương pháp giải tích hoặc phương pháp số. Tại các vị trí khơng kỳ dị của cơ hệ, ma trận N được xác định trực tiếp bởi (3.52) hoặc tính tốn bằng phương pháp số. Tại các cấu hình kỳ dị, nói chung, phương pháp số nên được áp dụng để tìm ma trận N từ tính chất J q N 0q( )  [26]. Phương pháp khử Gauss hoặc biến đổi về dạng hàng thu gọn và cũng là một lựa chọn để tìm ma trận bù N . Với phần mềm Matlab ta dễ dàng nhận được ma trận bù của ma trận Jacobi bằng lệnh null(). Điều đáng chú ý ở đây là phương pháp tiếp cận đề xuất với ma trận không gian bù N , ta khơng cần thiết phải tìm ra các vị trí kỳ dị để mơ phỏng trơn tru.

Khi giải hệ phương trình vi phân đại số chúng ta đã sử dụng phương trình liên kết ở mức gia tốc, do đó các biện pháp ổn định hóa liên kết là rất cần thiết. Phương pháp ổn định Baumgarte [101][105] đơn giản và dễ triển khai nên được sử dụng nhiều nhất. Ý tưởng của phương pháp là thay vì sử dụng f( )q 0, ta sử dụng phương trình vi phân sau. 2 0 0 ( ) 2  ( ) ( ) q  q q 0 f f f . hay 2 0 0 2 ( ) q q  q J q J q J q fq . (3.74)

Rõ ràng là nếu chọn các thông số  0,00 nghiệm f( )q của phương trình trên sẽ tiến về 0. Và như thế các liên kết được đảm bảo không bị phá vỡ. Tuy nhiên,

72

phương pháp này lại không đảm bảo ổn định liên kết khi hệ chuyển động qua các cấu hình kỳ dị.

3.5.2 Nội dung mô phỏng số

Thực hiện mô phỏng số với đối tượng là robot song song phẳng được xác định trong mục 1.5. Nhằm tăng tốc độ tính tốn, trong nội dung mơ phỏng này sử dụng mơ hình động lực học của robot dưới dạng rút gọn. Mơ hình có bao gồm cả thành phần mô tả ảnh hưởng của động cơ dẫn động.

Hai mô phỏng được thực hiện, mơ phỏng thứ nhất thực hiện cho bài tốn động lực học thuận với các điện áp đặt lên các động cơ tương ứng là u1u315 V, u2  15 V. Trong mô phỏng thứ hai, luật điều khiển PD được sử dụng để đưa các tọa độ dẫn về vị trí mong muốn d [0,1.5, 1.5]T

a  

q [rad] với các tham số điều khiển Kp 150, 6

D

K  . Trong các mô phỏng này, cả hai kỹ thuật ổn định đều được sử dụng.

3.5.3 Kết quả mô phỏng

Các kết quả mô phỏng được đưa ra trên các Hình 3.17, Hình 3.18 và Hình 3.19.

(a) Đồ thị biến khớp chủ động (b) đồ thị biến khớp bị động Hình 3.17: Kết quả của bài toán động lực học thuận

(a) Đồ thị biến khớp chủ động b) Đồ thị biến khớp bị động

73

a) Kết quả của động lực học thuận b) Kết quả của điều khiển PD

Hình 3.19. Đồ thị biểu diễn giá trị định thức và giá trị đáp ứng của phương trình liên kết

Đồ thị trên: det(J) – nét liền, det(Jx) – nét đứt; Đồ thị dưới: giá trị phương trình liên kết

Nhận xét: Từ các Hình 3.17 và Hình 3.18 ta thấy rằng chuyển động của robot là trơn tru. Hình 3.19 cho thấy các liên kết được duy trì ổn định mà khơng bị phá vỡ mặc dù robot chuyển động rất nhiều lần qua các cấu hình kỳ dị, tại đó det(J) = 0 hoặc det(Jx) = 0. Giá trị của các phương trình liên kết khi qua các điểm kỳ dị có tăng nhưng vẫn duy trì ở mức nhỏ, cỡ 107 và 108[m]. Trong trường hợp robot chuyển động trong mặt ngang, với bộ điều khiển PD đơn giản nhưng vẫn đảm bảo đưa được robot đến vị trí mong muốn (Hình 3.18a).

Trong phần này, vấn đề vượt kỳ dị trong mô phỏng động lực học robot song song đã được giải quyết thành công nhờ không gian bù của ma trận Jacobi. Cùng với phương pháp ổn định Baumgarte, phương pháp chiếu hiệu chỉnh sau tích phân được bổ sung nhằm đảm bảo các liên kết không bị phá vỡ trong q trình mơ phỏng. Bài tốn hiệu chỉnh được giải quyết dựa trên cơ sở tối ưu hàm mục tiêu cùng với nhân tố phạt. Ưu điểm quan trọng nhất của việc sử dụng không gian bù là mô phỏng số có thể được thực hiện liên tục vượt qua được các vị trí kỳ dị. Các mơ phỏng số được thực hiện đã chứng minh tính hiệu quả của phương pháp tiếp cận đề xuất.