Thuật tốn cho việc tìm kiếm một giải pháp tối ưu dựa trên nền tảng là những phép đệ quy. Cho một RA tối ưu kết nối cho các node (u1, uk) với 1≤ k <n , sau đó chúng ta sẽ xây dựng được một RA tối ưu kết nối cho (u1, uk+1). Tư tưởng chính của thuật tốn này là
khi chúng ta đã có một RA tối ưu với k node là RAk thì RA tiếp theo có thể được xác định. Giả sử chi phí của RAk là 0 (giả thiết, nghĩa là c(RAk) cũng bằng 0) và khi có thêm một node gia nhập thêm vào thì chi phí của RAk+1 sẽ được tăng lên một giá trị đã được xác định điều này được thể hiện trong định nghĩa sau:
Định nghĩa 3.2.1 (RA increamental cost)
Cho N = {u1, . . . , un} là một tập hợp các node và E là bộ những cạnh giữa những node trong N. RA được sinh ra bởi E được gọi là RAE , RAE là “minimal assignment” khi RAE(ui)≥δ(ui,uj)với bất kỳ một cạnh có hướng (ui, uj)∈ E.Chi phí tăng thêm của range
assignment liên quan tới E được gọi là cE(RA), được xác định như sau: cE(RA) =
∑: ( )≠ ( )( ( ))
i i E u RAu RA
i RA ui α . Chúng ta gọi những cạnh trong E là ‘free of cost ’ đối với range assignment RA.
Những giả thiết dựa trên nền tảng của thuật toán quay lui, với bất kỳ j ≤ k và bất kỳ l ≥
k, tồn tại một Range assigment RA với một chi phí nhỏ nhất trong số các đồ thị truyền thơng sẽ có các thuộc tính sau đây:
- Giữa một cặp node bất kỳ đều có đường tồn tại - Có một cạnh nối trực tiếp giữa ui và ul, l<=i <=k
- Với bất kỳ một cạnh (backward) trong E thì đều free of cost với RA
Cho (N’, E) là một đồ thị kết nối tất cả các node N’ và có các cạnh là E, và N’ ⊂ N, và khi đồ thị này nhận thêm một node v trong N chúng ta gọi là reciever node. Một Range assigment được gọi là total cho ((N’ , E), v) khi và chỉ khi:
- Đồ thị được tạo ra bởi N’ node thu được bằng cách thêm vào các cạnh của E tạo nên một kết nối mạnh nghĩa là (RA(ui) ≥ δ(ui, uj ))
- Đều tồn tại cạnh giữa (u,v ) với ui∈ N và kết nối giữa v và ui là mạnh nghĩa là (RA(ui) ≥ δ(ui, v ))
Chi phí của cho tổng Range assigment của ((N’ , E), v) là chi phí được tăng thêm liên quan đến RAE, hay như định nghĩa về RA increamental cost là cE(RA). Như vậy tổng cộng range assigment cho ((N’ , E), v) với một chi phí nhỏ nhất được gọi là tối ưu . Trong phần sau đây chúng ta gọi Feas((N’ , E), v) là tập hợp những range assigment Feas((N’ , E), v) và Opt ((N’ , E), v) là tập hợp những optimal range assigment. Cuối cùng, cho u ∈ N và một đại lượng xác thực là r, chúng ta coi rằng Opt((N’, E), v, (u, r))) là tập hợp những range assigment với chi phí nhỏ nhất và RA(u) = r.
Thuật tốn Optimal1dRA để tìm ra giải pháp tối ưu cho vấn đề RA được trình bày sau đây:
1. Khởi tạo
1.1 Cho RAi có Range assigment là RAi (u1) = δ(u1, ui), và RAi(u1) = 0 nếu i =0
1.2 Nếu không for i = 2 … n khởi tạo Opt(({u1}, ∅), ui) = RAi 2. Bước k
2.1 Giả sử chúng ta biết Opt(({u1, . . . , uk}, Ei,k), ul) ,với bất kỳ 1≤ i <≤ k và k ≤ l ≤ n.
2.2 Với j, m bất kỳ , 1 ≤ j ≤ k + 1 ≤ m ≤ n
2.3. Xét tất cả các giá trị có thể của RA(uk+1) (tương tự với k+2 ) 2.4 for với mỗi giá trị của r, tìm một range assignment RA trong Opt(({u1, . . . , uk}, Ej,k+1), uk+1, (uk+1, r))
2.5. Nếu RA có chi phí nhỏ hơn so với RAhiện thời cho j , m thì lưu RA
2.6. Kết thúc bước k, chúng ta biết một range assignment Opt(({u1, . . . , uk+1}, Ei,k+1), ul), với bất kỳ 1 ≤ i ≤ k + 1 ≤ l ≤ n 3. ở bước n
Một Range assignment tối ưu chính là một trong Opt(({u1, . . . , un},
∅), un)
Tư tưởng chính của thuật tốn này là: đầu tiên khởi tạo một RAi(u1) nếu i là 1 thì RA1(u1) = 0
Nếu i khác 1 thì tìm các RA tối ưu của u1 với bất kỳ 1 node khác.
Trong bước đệ quy giả sử chúng ta đã biết Opt(({u1, . . . , uk}, Ei,k), ul) với bất kỳ 1
≤ i ≤ k và k≤ l ≤ n. với mỗi node thêm vào chúng ta tìm được một RA tối ưu khi thêm vào mỗi node đó
Tại bước cuối cùng khi thêm một node cuối cùng chúng ta sẽ tìm được một RA tối ưu nhất cho toàn bộ node N.
Các nhà nghiên cứu đã chứng minh được độ phức tạp của thuật toán này là O(n4). So sánh thuật toán Optimal1dRA khi tìm kiếm một RA tối ưu với giả thiết là các Transmitting Range là bằng nhau thì thuật tốn sẽ đơn giản hơn rất nhiều .
3.1.3. Vấn đề RA trong mạng 2 và 3 chiều
Trong phần trước, chúng ta đã phân tích được vấn đề RA trong mạng 1 chiều. So với vấn đề trong mạng 1 chiều thì vấn đề tính tốn trở nên phức tạp hơn nhiều, sự tính tốn này cũng là một vấn đề lớn trong mạng 2 và 3 chiều này.
Mặc dù giải pháp cho mạng 2 và 3 chiều là một cơng việc khó khăn, nhưng một giải pháp tối ưu xấp xỉ có thể dễ dàng được tính tốn bằng cách xây dựng một Minimum Spaining Tree (MST) trên các node.
Sự xây dựng một RA được tiến hành như sau:
1. Cho N= {u1, . . . , un} là một tập hợp những điểm (Node) trong không gian mạng 2 hoặc 3 chiều
2. Xây dựng một đồ thị vô hướng G = (N, E), với các cạnh là (ui, uj) ∈ E 3. Tìm một MST của G
4. Xác đinh một RAT với RAT(ui) = MAXj|(ui,uj)∈Tδ(ui, uj).
Một ví dụ về cây MST và tương ứng với những RAT được miêu tả trong hình bên dưới