SRA và WSRA

Hình trên thể hiện sự khác nhau trong việc yêu cầu tính đối xứng trong vấn đề WSRA và SRA. Trong WSRA những liên kết vô hướng là được cho phép nhưng chúng không đại diện cho việc kết nối . Trong RSA tất cả những liên kết trong đồ thị liên thơng phải có 2 hướng: node u , v và w phải tăng transmitting range để thỏa mãn những yêu cầu về tính đối xứng.

Chú ý rằng những yêu cầu về tính đối xứng 2 phiên bản này của vấn đề: trong vấn đề WSRA(Weakly Symmetric Range Assignment) trong đồ thị liên thơng có thể bao gồm những liên kết vô hướng tuy nhiên chúng khơng đại diện cho tính kết nối. Cịn đối với vấn đề RSA đồ thị liên thông chỉ bao gồm các liên kết 2 chiều. Đây là một yêu cầu chính tron đồ thị liên thơng.Các bạn có thể xem hình bên trên để có thể hiêu hơn. Động cơ thúc đẩy cho việc nghiên cứu WSRA bắt nguồn từ việc quan sát những gì thực sự quan trong trong việc thiết kế mạng ad-hoc đó là tạo nên một khung của mạng. Hay nói cách khác trong một mạng có thể có các liên kết tồn tại mà tính 2 chiều khơng được đảm bảo, những liên kết này có thể được bỏ qua khi mạng khơng có các kết nối này.

3.1.4.1. Vấn đề SRA trong mạng 1 chiều

Trong trường hợp các node nằm trong cùng một đường thẳng, một SRA cho tập hợp các node đó có thể được xây dựng như sau:

Sắp xếp các node theo tọa độ không gian của chúng, cho {u1, . . . , un} là kết quả của sự sắp xếp này.

Gán cho node u1 một transmitting range δ(u1, u2) node un một transmitting range δ(un−1, un), và node ui một transmitting range bằng Max{δ(ui−1, ui),δ(ui, ui+1)}

Bổ sung transmitting range vào một số node để đảm bảo tính đối xứng: với mỗi cạnh vô hướng(ui, uj) trong đồ thị liên thông được tạo ra bởi bước trước đó bằng cách thêm transmitting range vào node uj sao cho nó có thể tiếp cận được với ui, quá trình này được lặp lại cho đến khi tất cả các cạnh trong đồ thị đều có tính thuận nghịch.

Chúng ta có thể nhìn thấy ngay được là, Range assignment RA được xây dựng tùy theo chiến lược mơ tả ở phía trên, để tạo ra một đồ thị liên thông kết nối trong đó tất cả các liên kết đều có tính 2 chiều. Để chứng minh rằng RA này là tối ưu, thì trong khi quan sát rằng để đạt được kết nối thì node phải được kết nối với node bên phải và bên trái của node hàng xóm gần nó nhất. Hơn nữa các thủ tục tăng ở bước 3 sẽ tăng một transmitting range lên một giá trị nhỏ nhất để có thể thỏa mãn tính đối xứng của transmitting range.

Độ phức tạp tính tốn của thuật tốn cho vấn đề được nêu ở phía trên là O(n log n),so sánh với độ phức tạp của thuật toán cho vấn đề về phiên bản không giới hạn là O(n4) thì độ phức tạp của thuật tốn này là thấp hơn rất nhiều. Như vậy chúng ta có thể kết thúc vấn đề tính đối xứng trong range assignment với mạng 1 chiều.

3.1.4.2. Vấn đề SRA trong mạng 2 và 3 chiều

Trong chương này, chúng ta sẽ cho thấy rằng, trái ngược với trường hợp trong mạng 1 chiều, trong mạng 2 và 3 chiều những điều kiện về tính đối xứng sẽ khơng làm ảnh hưởng tới độ phức tạp của việc tính tốn những vấn đề. Người đọc sẽ thấy rằng sự chứng minh là khá dài dịng và phức tạp. Những khó khăn của việc chứng minh bắt đầu từ thực tế là khi nghiên cứu về tính phức tạp của các vấn đề mạng ad-hoc thì thì hình dạng của mạng là khơng thể được bỏ qua. Chúng ta đã chứng minh rằng những node có thể thực sự được đặt trong khơng gian 2 hay 3 chiều trong đó bất kỳ những trường hợp đặc biệt nào cũng có thể được chuyển thành vấn đề kiểm soát đặc biệt SRA. Việc này thường được thực hiện bằng cách sử dụng một geometric hay thuật ngữ hay gọi là gadget .

Để dễ dàng hơn cho việc trình bày, giả sử α = 2, để chứng minh NP-hardness của SRA chúng ta biểu diễn mặt phẳng 2 chiều bằng một hàm đa thức thời gian. Hàm này sau đó sẽ được biểu diễn dưới một dạng hình học mơ phỏng. Việc xây dựng một gadget được trình bày như sau:

- Cho một mặt phẳng 2 chiều G, xây dựng một mặt phẳng trực giao với G

- Thêm 2 đỉnh cho mỗi đoạn cong vì vậy mặt phẳng sẽ được biểu diễn bằng một đồ thị phẳng với các đoạn thẳng là D(G).

- Thay mỗi cạnh của D(G) bằng một tập hợp các node thích hợp(gadget). Tâp hợp những điểm trong không gian 2 và 3 chiều là kết quả của sự thay thế này được gọi là S(G)

Sau đây là các thuộc tính của một gadget:

Cho một D(G) = (V, E) được xây dựng như phía trên. Cho λ, λ’ , ε ≥ 0 với điều kiện λ + ε > λ’ , và cho γ > 1. Với bất kỳ (a, b) ∈ E, gadget tương ứng là gab được tạo bởi sự phân chia tập hợp những điểm

Vab= {a, b}, Yab= {yab, yba} Xab= {x1, . . . , xl1}, and Zab= {z1, . . . , zl2} l1, l2 phụ thuộc vào độ dài của (a,b). Tập hợp những điểm trong mặt phẳng R2 giữ những tính chất sau:

(b) Xab là một chuỗi những điểm vì vậy δ(a, x1) = δ(x1, x2) = … = δ(xl1 , b) = λ và, với bất kỳ i = j + 1, j − 1, δ(xi, xj) ≥ λ.

(c) Zab là một chuỗi các điểm vì vậy δ(yab, z1) = δ(z1, z2) = … = δ(zl2, yba) = λ và

, với bất kỳ i = j + 1, j − 1, δ(zi, zj) ≥ λ

(d) Với bất kỳ xi∈ Xab, zj∈ Zab , δ(xi, zj) > λ + ε.Hơn nữa , Với bất kỳ i = 1, . . . , l1, δ(xi, yab) ≥ λ + ε và δ(xi, yba) ≥ λ + ε

(e) Cho 2 gadget bất kỳ gab và gcd, với bất kỳ v ∈ gab\gcd và w ∈ gcd\gab,chúng ta có δ(v, w) ≥ λ. Hơn nữa, nếu v ∉ Vab∪ Xab hoặc w ∉ Vcd∪ Xcd thì δ(v, w) ≥ γ λ..

Trong Clementi et al. 1999 một giá trị thích hợp cho việc chọn λ, λ’, ε và γ trong khi thỏa mãn các điều kiện (a)…(e) thì một số tính chất sau cũng nên được thêm vào:

(b’) δ(a, xj) > λ + ε với bất kỳ j ≠ 1, và δ(xi, b) > λ + ε với bất kỳ i ≠ l1. (c’) δ(yab, zj) > λ + ε với bất kỳ j≠1, và δ(zi, yba) > λ + ε với bất kỳ i ≠ l2

(d’) Với bất kỳ xi∈ Xab, zj∈ Zab, δ(xi, yab) > λ + ε, δ(xi, yba) > λ + ε, δ(zj, a) > λ + ε, và δ(zj, b) > λ + ε

Cho những tính chất (a)…(e) và (b’)…(d’), nó chia mỗi gadget ra làm 2 thành phần có khoảng cách là λ + ε: thành phần VX bao gồm tập hợp những điểm trong Vab∪ Xab và thành phần YZ, bao gồm một dãy các điểm Yab∪ Zab.Hơn nữa , cho một cặp node bất kỳ (v, w) với v nằm trong VX và w nằm trong YZ , chúng ta có δ(v, w) = λ + ε khi và chỉ khi v = a w = yab hoặc v = b và w = yba. Gadget cho cạnh (a,b) được biểu diễn như trong hình bên dưới.

Hình 7: Gadget cho cạnh (a, b)

Chú ý rằng trong một vùng ảnh hưởng bất kỳ một node nào cũng phải có một transmitting range ít nhất là bằng với khoảng cách từ nó tới node hàng xóm gần nó nhất. Cho RAmin là range assignment cho S(G) như vậy mỗi node sẽ có transmitting range bằng khoảng cách từ nó đến hàng xóm gần nhất của nó. Cho một gadget với những thuộc tính như đã nêu ở phía trên và RAmin có nghĩa là những node trong VX sẽ có transmitting range là λ và những node trong YZ có transmitting range là λ’. Vì tính đối xứng của các điểm trong mặt phẳng nên RAmin là đối xứng. Đồ thị liên thơng có RAmin được tạo bởi m+1 các thành phần kết nối, với m = |E|: trong VX có m kết nối và một kết nối với một gadget khác, vì vậy để có một đồ thị liên thơng được kết nối và có tính đối xứng chúng ta cần định nghĩa một vài điểm cẩu nối (bridge points) giữa VX và YZ.

Cho Y = ∪a,b∈EYab, X =∪a,b∈EXab, Z = ∪a,b∈EZab, and V =∪a,b∈E Va,b. Dưới đây là những

đinh nghĩa những tính chất của một range assignment đối xứng tối ưu (optimal symmetric range assignment) cho S(G).

3.4.3. (RA chính tắc) Một range assignment kết nối đối xứng cho S(G) được gọi là đối xứng nếu:

- RAc(v) = λ với bất kỳ v ∈ X; - RAc(v) = λ’ với bất kỳ v ∈ Z

- RAc(v) = λ hoặc RAc(v) = λ + ε với bất kỳ v ∈ V - RAc(v) = λ’ hoặc RAc(v) = λ + ε với bất kỳ v ∈ Y

3.4.4. Bổ đề (Blough et al. 2002) Cho S(G) là tập hợp các điểm nằm trong không gian R2 theo cách xây dựng được giới thiệu ở phía trên. γ, λ, và ε là các hằng số xác định sao cho: 2 2 2 2 1(( ) ) ( ) ) (γλ > − λ+ε −λ + λ+ε m m

Thì với bất kì một range assignment kết nối đối xứng RA cho S(G) tồn tại một range assignment chính tắc RAc thỏa mãn c(RAc) ≤ c(RA).

Chứng minh: Chúng ta sẽ chứng minh rằng với bất kỳ một range assignmet kết nối đối xứng khơng chính tắc RA nào đều có thể chuyển đổi thành assigment chính tắc RAc

thơng qua một chuỗi các bước lặp. Tại mỗi bước lặp sẽ không làm tăng thêm chi phí cho RA. Ở tất cả các bước cần chú ý rằng range assignment của node u là khơng chính tắc, qua các phép biến đổi chúng ta sẽ tìm ra một RA chính tắc cho u. Vì vậy số lượng những

RA khơng chính tắc của từng node trong S(G) sẽ giảm dần theo từng bước lặp vì vậy những bước xử lý sẽ kết thúc trong một khoảng thời gian giới hạn. Sau đây chúng ta sẽ mơ tả từng bước trong q trình xử lý này:

Cho v là một điểm khơng chính tắc và cho RA(v) là transmitting range của v, chúng ta có những trường hợp sau:

1. RA(v) < γ λ. Trong trường hợp này transmitting range của v không đủ rộng lớn để bao quát những node của thành phần YZ của một gadget khác. Chú ý rằng nếu RA(v) < λ + ε thì v khơng thể là bridge point giữa YZ và VX được, do vậy transmitting range có thể giảm λ hay λ’ (phụ thuộc vào v∈ V ∪X hay v ∈ Y ∪ Z) mà không phải cắt

kết nối và duy trì tính đối xứng. Bây giờ chúng ta giả sử RA(v) ≥ λ + ε. Khơng mất tính tổng qt ta giả sử rằng v ∈ gab, với (a, b) ∈ E. Nếu v ∈ Vab∪ Yab thì transmitting range

của nó có thể được giảm đến λ + ε mà khơng phải ngắt kết nối và duy trì tính đối xứng. Nói cách khác, chú ý đến range assigment RAab như sau:

- RAab(w) = RA(w) với bất kỳ w ∈ S(G) − gab;

- RAab(a) = RAab(yab) = λ + ε; - RAab(b) = λ và RAab(yab) = λ ;

- RAab(x) = λ với bất kỳ x ∈ Xab; - RAab(z) = λ với bất kỳ z ∈ Zab.

Cho thuộc tính của nhứng điểm trong một gadget như đã trình bày phía trên,thì ta có RAab là có tính đối xứng . Hơn nữa đồ thị liên thông thu được từ RAab đã được kết nối và RA là một range assingment chính tắc trong gab và vì vậy cho c(S(G)\gab) =∑v∈S(G)\g abRA(v)2. Để thỏa mãn yêu cầu về tính đối xứng nên ta có

c(RA) ≥ c(S(G)\gab) + 2 * RA(v)2+ (l1+ 1) * λ2+ (l2+ 1) * λ’2

Với l1 = |Xab| và l2 = |Zab|

Với một điều kiện khác nữa ta có

c(RAab) = c(S(G)\gab) + 2 • (λ + ε)2+ (l1+ 1) • λ2+ (l2+ 1) • λ’2

Từ RA(v) ≥ λ + ε chúng ta có c(RA) − c(RAab) ≥ RA(v)2 − (λ + ε)2 ≥ 0

2. RA(v) ≥ γ λ trong trường hợp này v có thể là bridge point giữa nhiều YZ và VX. Khơng mất tính tổng qt ta giả sử rằng v ∈ gab, với (a, b) ∈ E . Chúng ta đầu tiên

chuyển đổi range assignment như giới thiệu phía trên, thu được một range assignment RAab với c(RA) − c(RAab) ≥ γ2λ2− (λ + ε)2 . Tuy nhiên RAab nói chung là khơng đối xứng

có thể có một vài YZ bị cơ lập. Vì lý do này chúng ta chú ý rằng những thành phần bị cô lập YZ1, . . . , YZk trong đồ thị bởi RAab, và với mỗi thành phần này chúng ta cũng áp dụng cùng một phương pháp xây dựng như là xây dựng gadget gab . Và kết quả thu được là một range assignment RAab là liên thông và đối xứng. Để chứng minh bổ đề trên chúng ta sẽ chứng minh c(RAab) ≤ c(RA). Chúng ta cần chú ý rằng chi phía để kết nối các thành phần YZi phải được công thêm vào range assignment mới RAab. Tuy nhiên hãy để ý rằng vì tính đối xứng ít nhất một node trong YZi phải có transmitting range nhỏ hơn γ λ., cộng thêm cho mỗi YZ một giá trị là 2(λ + ε)2− (γ λ)2− λ2. Chú ý rằng k≤ m-1 và kết hợp với điều kiện ở bổ đề 4.4. chúng ta có kết luận:

c(RA) − c(RAab) ≥ γ2λ2− (λ + ε)2− (m − 1)(2(λ + ε)2 − (γ λ)2− λ2) ≥ 0 Chúng ta kết thúc việc chứng minh ở đây

Chú ý rằng đồ thị phẳng 2 chiều G và đồ thị trực giao của G là D(G) và cho 2h là số node được thêm vào trong bước thứ 2 của việc xây dựng. Gán cho mỗi node trong G và D(G) một ‘chi phí’ bằng với cấp bậc của nó. Bổ đề sau đây nêu lên mối quan hệ giữa chi phí của những đỉnh bao bọc bên ngoài của G với những đỉnh bọc bên ngoài của D(G).

Bổ đề 4.4.5: đồ thị phẳng 2 chiều G và đồ thị trực giao của G là D(G) và cho 2h là số node được thêm vào trong bước thứ 2 của việc xây dựng Gán cho mỗi node trong G và D(G) một ‘chi phí’ bằng với cấp bậc của nó. Ta có chi phí của những node bao bọc của G ≤ k khi và chỉ khi chi phí của các cạnh bao bọc của D(G) ≤ k + 2h.

Chứng minh: phần chứng minh của bổ đề này được trình bày trong Kirousis et al. 2000.

Bây giờ chúng ta hãy xem xét tập hợp những điểm trong không gian 2 chiều S(G) thu được bằng cách xây dựng các gadget như đã được giới thiệu ở phần trên. Trong tài liệu Clementi et al. (1999) đã chứng minh rằng vơi bất kỳ một D(G) nào đều có thể suy ra được S(G) trong thời gian đa thức, và những điểm này nằm trong những gadget đều thỏa mãn những điều kiện (a)… (e), cho những hằng số xác định γ , λ, λ’ , ε với λ + ε > λ’ và

2 2 2 2 2 2 2 ( 1)(( ) ) ( ) 1(( ) ) ( ) ) (γλ > − λ+ε −λ + λ+ε > − λ+ε −λ + λ+ε m m m

Có thể nhận thấy rằng, chúng ta nên chọn cùng một giá trị cho λ, λ’ , ε cho các điểm trong các gadget, chúng ta sẽ có thêm các tính chất là (b’), (c’), (d’)

Chi phí của các đỉnh bao bọc C trong D(G) là k khi và chỉ khi S(G)có chi phí là (|X| + |V | − |C |) λ2+ (|Y | + |Z| − k))λ2+ (|C | + k) (λ + ε)2.

Hãy chú ý rằng range assingment chính tắc RAc trên S(G) có các tính chất sau: RAc(v) = λ + ε với bất kỳ v ∈ C

RAc(v) = λ với bất kỳ v ∈ V \C.

Bây giờ hãy chú ý rằng với bất kỳ một range assignment kết nối đối xứng nào RA cho S(G), theo bổ đề 7.4.4 chúng ta có range assignment chính tắc RAc thì c(RAc) ≤ c(RA).Vì vậy chúng ta có thể giới hạn sự quan tâm của chúng ta vào range assignment chính tắc. Cho k là số lượng các điểm nằm trong Y có transmitting range là λ + ε, và C là tập hợp những điểm trong V có transmitting range là λ + ε. Chi phí của RAc là (|X| + |V | − |C |) λ2+ (|Y | + |Z| − k))λ’2+ (|C | + k) (λ + ε)2 . Vì RAc là chính tắc , điều này kéo theo C là các

đỉnh bao bọc của D(G) và do tính đối xứng nên chi phí của C phải là k. Đây là điều phải chứng minh

3.2.Chi phí năng lượng của Range Assignment tối ưu.

Trong phần trước chúng ta đã xem xét 2 vấn đề giới hạn của RA và chúng ta thấy rằng trong trường hợp mạng 2 và 3 chiều thì độ phức tạp tính tốn của các vấn đề là không thay đổi với những trường hợp thông thường. Điều này cũng đồng nghĩa rằng chúng ta cần đánh giá những yêu cầu về chi phí năng lượng cho mọt Range tối ưu như thế nào để duy trì được các kết nối mạnh trong đó. Nói một cách khác, cRA, cWS và cS là

chi phí cho RA , WSRA và SRA, như vậy đâu là mối quan hệ giữa các chi phí này.

Rõ ràng răng cRA≤ cWS≤ cS Bằng nhiều thực nghiệm, người ta đã chứng minh được rằng cWS/cRA = O(1). Còn đối với cS/cRA chúng ta sẽ tìm hiểu xem mối quan hệ giữa chúng là như thế nào.