Thời gian xây dựng RAT là O(n2) (Độ phức tạp của thuật toán khi xây dựng MST với n node)
Định lý 3.2.3: (Kirousis et al. 2000)
Cho một tập hợp những điểm (nodes) trong không gian 2 hoặc 3 chiều, và cho RAT được định nghĩa như trên, cho RA là một optimal range assignment với vấn đề RA thì
c(RAT) < 2c(RA).
Chứng minh: Việc chứng minh được thực hiện qua hai bước. Trước tiên chúng ta chứng minh c(RA) lớn c(T) nghĩa là chi phí của RA lớn hơn chi phí cả MST. Và sau đó chúng ta sẽ chứng minh c(RAT) < 2c(RA).
3.1.4. Vấn đề về tính đối xứng
Trong vấn đề về RA chúng ta đã quan tâm đến việc thiết lập một đồ thị giao tiếp với những kết nối mạnh. Từ việc những node có những vùng ảnh hưởng khác nhau, những liên kết vơ hướng xuất hiện, và chúng có thể đảm bảo cho sự kết nối mạnh. Mặc dù việc triển khai việc liên kết không dây vô hướng là một công việc có thể thực thi được nhưng lợi ích mang lại của nó đang là một vấn đề phải nghi ngờ. Những vấn đề của liên kết không dây vô hướng được đề cập trong tài liệu Marina and Das 2002
Hầu hết các giao thức định tuyến cho mạng ad-hoc ( DSC, AODV) đều dựa trên nền tảng là sự ngầm định của liên kết khơng dây đều có tính 2 chiều. Điều này cũng đang được áp dụng tương tự với sự thực thi của tầng MAC trong chuẩn IEEE 802.11 nó chính là cơ sở của việc trao đổi các thông điệp RequestToSend/ClearToSend: Khi một node u muốn send một bản tin tới v trong transmitting range nó sẽ gửi một RTS tới v và sẽ đợi CTS từ v gửi lại. Nếu u không nhận được CTS trong một khoảng thời gian giới hạn nào đó, thì bản tin được gửi sẽ bị ngắt và sau đó nó sẽ cố gắng gửi lại sau một khoảng thời gian nào đó. Nếu liên kết gữa node u và node v là vô hướng, một trong hai bản tin RTS hoặc CTS là không nhận được và sự liên kết ở đây cũng là khơng có. Việc hỗ trợ liên kết vơ hướng ngầm định rằng có những node trung gian sẽ đại diện cho u hoặc v nhận và gửi các bản tin RTS và CTS. Ngồi ra một cơ chế truy cập khác( ví dụ như cơ chế phát hiện xung đột thay vì tránh xung đột) cũng nên được sử dụng. Dù sao thì việc hỗ trợ liên kết khơng dây vơ hướng sẽ tạo ra một cuộc cách mạng thay đổi những giao thức đang được thực thi hiện thời trong chuẩn IEEE 802.11
Những lý do trên đây là động cơ thúc đẩy các nhà khoa học nghiên cứu những hạn chế trong vấn đề RA, và điều chắc chắn rằng tính đối xứng bắt buộc phải được thêm vào trong đồ thị truyền thông tạo ra.
Chi tiết hơn, hai vấn đề sau đây đã được định nghĩa và đã được nghiên cứu.
3.4.1 (Vấn về WSRA): Cho N là một tập hợp những node trong không gian d chiều, với d = 1, 2, 3. Cho RA là một vùng ảnh hưởng cho N và G là là một đồ thị liên thơng có hướng. Đồ thị con đối xứng của G được xác định là GS, thu được bằng cách bỏ đi các liên kết có hướng, vấn đề WRSA là xác định một hàm Range assigment RA khi mà GS được kết nối và c(RA)=∑u∈N((RA(u))α là nhỏ nhất với α là độ suy giảm cường độ theo khoảng cách.
3.4.2 Vấn đề SRA: Cho N là một tập hợp những node trong không gian d chiều, với d = 1, 2, 3. Một range assignmnet RA cho N được gọi là đối xứng nếu nó sinh ra một đồ thị liên thơng trong đó đồ thị này chỉ bao gồm những liên kết 2 chiều. Đó là RA(ui) ≥
δ(ui, uj) ⇔RA(uj) ≥ δ(ui, uj). Vấn đề Symmetric Range Assignment (RSA) là xác định một hàm RA khi có một đồ thị liên thơng có hướng được kết nối và c(RA)=∑u∈N((RA(u))α
là nhỏ nhất với α là độ suy giảm cường độ theo khoảng cách.