Chúng tơi nhắc lại khái niệm về dưới vi phân của một hàm thực liên tục, khái niệm này đóng vai trị như ánh xạ gradient trong trường hợp hàm trơn [78]. Bên cạnh đó là một số kết quả trong Tối ưu các hàm thuần [42]. Những kết quả này sẽ được sử dụng trong chương 4.
Định nghĩa 1.3.1. (i) Dưới vi phân Fréchet ∂ˆf(x) của hàm liên tục f : Rn → R
tạix ∈ Rn được cho bởi ˆ ∂f(x):= v ∈ Rn | lim inf khk→0,h6=0 f(x+h)− f(x)− hv,hi khk ≥0 ;
(ii) Dưới vi phân giới hạn của f tại x ∈ Rn, ký hiệu là ∂f(x), là tập hợp các điểm tụ của dãy{vk}k≥1 sao chovk ∈ ∂ˆf(xk)và (xk, f(xk)) → (x, f(x)) khi
k → ∞.
Nhận xét1.3.2. Nếu f là một hàm định nghĩa được thì ∂ˆf(x) và ∂f(x) là các tập định nghĩa được (xem [42, Mệnh đề 3.1]).
Định nghĩa 1.3.3. Độ dốc không trơncủa hàm liên tục f được xác định bởi
mf(x):= inf{kvk : v∈ ∂f(x)} nếu∂f(x) 6= ∅ +∞ nếu∂f(x) = ∅.
Định nghĩa 1.3.4. Độ dốc mạnhcủa một hàm liên tục f được xác định bởi
|∇f|(x) := lim h→0sup h6=0 [f(x)− f(x+h)]+ khk , với[a]+ = max{a, 0}.
Nhận xét1.3.5. Ta có một số kết quả sau:
(i) Mối liên hệ giữa độ dốc mạnh, độ dốc không trơn và dưới vi phân được thể hiện qua bất đẳng thức sau (xem [42, trang 1900]):
inf{kyk : y∈ ∂ˆf(x)} ≥ |∇f|(x) ≥mf(x).
(ii) Nếu f là một hàm định nghĩa được thìmf(x)và|∇f|(x)là định nghĩa được (xem [42, Mệnh đề 3.1]).
(iii) Nếu f là một hàm khả vi thì ∂f(x) = ∂ˆf(x) = {∇f(x)} và mf(x) =
|∇f|(x) = k∇f(x)k(xem [78, trang 304]).
Bổ đề sau được sử dụng khá nhiều trong lý thuyết Tối ưu, còn được gọi là Nguyên lý biến phân Ekeland.
Bổ đề 1.3.6(I. Ekeland, [23]). ChoV là một không gian mê tric đầy đủ và hàm
F : V →R∪ {+∞}
là một hàm nửa liên tục dưới, khác+∞và bị chặn dưới. Khi đó với mọi u∈ V thoả mãn
infF ≤ F(u) ≤ infF+e (vớie > 0cho trước) và mọiλ > 0, tồn tại một điểmv ∈ V
sao cho
F(v) ≤ F(u), dist(u,v) ≤λ,
∀w 6= v,F(w) > F(v)− e
Chương 2
BẤT BIẾN TÔ PÔ CỦA KỲ DỊ ĐƯỜNG CONG PHẲNG: CÁC THƯƠNG CỰC VÀ SỐ MŨ ŁOJASIEWICZ GRADIENT
Các thương cực (còn gọi là bất biến cực) của các kỳ dị mặt cô lập được giới thiệu trong các cơng trình của B. Teissier trong thập niên 70 của thế kỷ trước nhằm nghiên cứu các bài toán về đẳng kỳ dị (xem [80, 81]). Chúng là thương của bậc tiếp xúc giữa một siêu mặt và các nhánh của đường cực đủ tổng quát. Những kết quả của Teissier cho thấy rằng các thương cực là một bất biến tô pô của kỳ dị mặt phức, cô lập và hơn nữa, đó là một bất biến tơ pơ của kỳ dị đường cong phẳng (xem [27,81]). Số Milnor, số mũŁojasiewicz gradient và những bất biến số có thể được tính tốn theo các thương cực này (xem [27, 81]). Trong nhiều cơng trình trước đây trong lý thuyết kỳ dị và hình học đại số về thương cực thì hầu hết các tác giả đều giả thiết rằng kỳ dị là thu gọn rồi tính tốn các thương cực, khai thác thương cực lớn nhất hoặc dùng thương cực để khảo sát về tô pơ địa phương cũng như tồn cục (xem [27, 75, 79–82]). Các thương cực của Teissier cũng đã được Lê Dũng Tráng định nghĩa cho trường hợp siêu mặt có kỳ dị khơng cơ lập (xem [79]). Tuy nhiên, dường như khó có thể đạt được những kết quả tương tự của Teissier trong trường hợp kỳ dị không thu gọn tổng qt. Bài tốn của chúng tơi cụ thể như sau: Nghiên cứu về tính bất biến tơ pơ của thương cực và các số mũ
Łojasiewicz trong trường hợp kỳ dị đường cong phẳng, khơng nhất thiết thu gọn.
Mục đích của chương này là thiết lập các kết quả về bất biến tô pô của thương cực (Định lý 2.2.6) trong trường hợp phức và số mũŁojasiewicz gradient của kỳ dị đường cong phẳng trong cả trường hợp thực (Định lý 2.3.5) và phức (Định lý 2.3.1). Ngồi việc tính tốn các số mũŁojasiewicz, chúng tơi cịn ước lượng chúng
một cách hiệu quả theo bậc trong trường hợp đa thức (Định lý 2.3.10).
Trong chương này, chúng tôi sử dụng khái niệm đa giác Newton tương ứng với một cung và phương pháp trượt (xem [31,50]), để tính các khai triển Newton- Puiseux địa phương tại gốc (xem [7, 25, 85]). Đa giác Newton là một đối tượng cơ bản, đóng vai trị quan trọng trong lý thuyết kỳ dị (xem [1, 25]).
Chương này được trình bày theo bài báo thứ hai trong danh mục cơng trình.
2.1 Đa giác Newton tương ứng với một cung
Trong mục này, chúng tôi nhắc lại khái niệm về đa giác Newton tương ứng với một cung theo Kuo and Parusi ´nski [50] (xem thêm [30] và [31]) và phương pháp trượt để tính các khai triển Newton-Puiseux địa phương.
Cho f : (K2, 0) → (K, 0)là một mầm hàm giải tích với khai triển Taylor:
f(x,y) = fm(x,y) + fm1(x,y) +· · · ,m < m1 < . . .
với mỗi fklà một đa thức thuần nhất bậck,và fm 6≡ 0.Giả sử rằng f là chính quy cấp m theo x, khi đó fm(1, 0) 6= 0.(Nếu f khơng chính quy theo x thì ta đổi biến
x0 = x,y0 =y+cx vớiclà một hằng số đủ tổng quát, khi đó f(x,y+cx)là chính quy theox).
Một cung giải tíchφtrongK2 là tập ảnh của ánh xạ giải tích
Φ : K→ K2,t 7→(x(t),y(t)).
Lấyφ là một cung giải tích trong K2 khơng tiếp xúc với trục x. Khi đó ta có thể
tham số hóa cung ấy bởi
x = c1tn1+c2tn2+· · · ∈K{t}và y= tN
và vì vậy có thể đồng nhất nó với một chuỗi Puiseux sau:
x= φ(y) = c1ynN1 +c2ynN2 +· · · ∈K{yN1}
với N ≤ n1 < n2 < · · · là các số nguyên dương. Đặt X := x−φ(y)vàY := y, ta
được
6 - s s s s E1 E2 θ1 θ2 S S S S S S L L L L L 5 8 3 4 3 1 2 3
Hình 2.1: Đa giác Newton của f tương ứng với ϕtrong Ví dụ 2.1.1.
Với mỗi cij 6= 0, điểm có tọa độ (i, Nj ) được gọi là một chấm Newton. Tập các chấm Newton được gọi là lược đồ Newton. Ta gọi biên của bao lồi của các chấm Newton này là đa giác Newton của f tương ứng với cung φ, ký hiệu P(f,φ). Nếu
φ là một nghiệm Newton-Puiseux của f = 0 (tức là f(φ(y),y) = 0), thì khơng tồn tại chấm Newton nào nằm trên đường thẳng X = 0 và ngược lại. Giả sử
φ không phải là nghiệm Newton-Puiseux của f, khi đó các số mũ của chuỗi
f(φ(y),y) = F(0,Y) tương ứng với các chấm Newton trên đường thẳng X = 0. Đặc biệt,ordf(φ(y),y) = h0,với(0,h0)là chấm Newton thấp nhất trên X =0. Ta gọi các cạnh của đa giác NewtonP(f,φ)làEs và các góc tương ứng của chúng là
θsđược xác định một cách thơng thường như minh họa trong ví dụ sau.
Ví dụ 2.1.1. Cho f(x,y) := x3−y4+y5 vàφ : x =y43.Ta có
F(X,Y) := f(X+φ(Y),Y) = X3+3X2Y43 +3XY83 +Y5.
Từ định nghĩa, đa giác Newton của f tương ứng với φ có hai cạnh compact là
E1,E2 vớitanθ1 = 43, tanθ2 = 73 (xem Hình 2.1).
Lấy một cạnhEsbất kỳ, gọi đa thức kết hợp với cạnh đó làEs(z)được xác định bởiEs(z) := Es(z, 1),trong đó
Es(X,Y) := ∑
(i,Nj )∈Es
Cạnh Newton cao nhất, ký hiệu bởi EH, là cạnh compact của đa giác P(f,φ) với một đỉnh là chấm Newton thấp nhất trênX = 0.Chẳng hạn, trong ví dụ trên thì cạnhE2 chính là cạnh Newton cao nhất.
Tiếp theo, ta nhắc lạiphương pháp trượttheo [50].
Giả sử φ không là nghiệm của f = 0. Xét đa giác Newton P(f,φ). Lấy một nghiệm khác không bất kỳccủaEH(z) = 0với EH(z)là đa thức kết hợp với cạnh Newton cao nhấtEH.Ta gọi
φ1(y): x = φ(y) +cytanθH
là mộtphần tử trượtcủaφ theo f,với θH là góc tương ứng của EH.Một q trình trượt đệ quyφ → φ1 → φ2 → · · · cho ta một giới hạn làφ∞, đó sẽ là nghiệm của
f = 0. Nghiệm φ∞ được gọi là một kết quả cuối cùng của quá trình trượtφ theo f. Mỗi lần trượt sẽ cho ta một đa giác Newton mớiP(f,φ)mà chấm Newton(0,h0)
tương ứng trênX = 0sẽ dịch chuyển lên trên, từ đó với φ∞ thì khơng cịn chấm Newton nào trênP(f,φ∞)nữa. Chú ý rằngφ∞có dạng
φ∞: x =φ(y) +cytanθH +các từ cấp cao hơn. Phương pháp trượt dựa trên một bổ đề kỹ thuật sau đây:
Bổ đề 2.1.2. Choφlà một chuỗi Puiseux không là nghiệm của f =0và lấyθH vàEH(z)
lần lượt là góc và đa thức kết hợp với cạnh Newton cao nhấtEH.Xét chuỗi
ψ: x = φ(y) +cyρ+ các từ cấp cao hơn, vớic ∈ Kvà ρ∈ Q,ρ >0.Khi đó ta có các khẳng định sau:
(i) Nếu hoặc tanθH < ρhoặc tanθH = ρvà EH(c) 6= 0thì P(f,φ) = P(f,ψ),và vì vậyordf(φ(y),y) = ordf(ψ(y),y).
(ii) NếutanθH =ρvàEH(c) = 0thìordf(φ(y),y) <ordf(ψ(y),y).
Chứng minh. (xem [7, 85]) Chứng minh chi tiết có thể được tìm thấy trong [30]. Thật vậy, trường hợp đặc biệt, khi ψ : x = φ(y) +cytanθH được chứng minh trong [30, Bổ đề 2.1]. Khi đó, Bổ đề được chứng minh bằng cách áp dụng trường hợp đặc biệt này vô hạn lần.