3.3 Các kiể un nh ca cỏc cn sai sH ăolder ton cục
3.3.2 Trường hợp tập Fedoryuk là một tập hữu hạn và khác rỗng
Bây giờ ta sẽ phân loại các kiểu ổn định của cận sai s H ăolder trong trng hp tập các giá trị Fedoryuk là hữu hạn và khác rỗng.
Định lý 3.3.4. Cho Ke∞(f) là tập hữu hạn, khác rỗng và t ∈ [inf f,+∞). Khi đó t là một trong các kiểu ổn định sau:
Trường hợp A Nếu h+ = inf f vàinf f >−∞thì
(i) t là y-ổn định nếu và chỉ nếut >h+vàt ∈/ F+1;
(ii) t là y-ổn định phải nếut =h+ ∈ Λ+(f)và f−1(inf f) 6= ∅;
(iii) t là n-ổn định trái nếut =h+ ∈/Λ+(f)hoặc f−1(inf f) = ∅;
(iv) t là n-cô lập nếu và chỉ nếut ∈ F+1.
Trường hợp B Nếuh+ > inf f >−∞và h+ hữu hạn thì (i) t là y-ổn định nếu và chỉ nếut >h+vàt ∈/ F+1;
(ii) t là y-ổn định phải nếu và chỉ nếut = h+ vàh+ ∈ Λ+(f);
(iii) t là n-ổn định nếu và chỉ nếuinf f ≤t < h+;
(iv) t là n-ổn định trái nếu và chỉ nếut = h+ ∈/ Λ+(f);
(v) t là n-cô lập nếu và chỉ nếut > h+ vàt ∈ F+1.
Chứng minh. Chú ý rằng từ giả thiết tập Ke∞(f)là một tập hữu hạn khác rỗng, ta có tậpF+1 cũng là tập hữu hạn.
Xét trường hợp A: h+ = inf f > −∞. Từ Định lý 3.1.4, ta có
Λ+(f) = [inf f,+∞)\F+1 hoặc Λ+(f) = (inf f,+∞)\F+1. Suy ra[f ≤t]cú cn sai s H ăolder ton cc vi mit >h+ vàt ∈/ F+1.
Xét trường hợp B: h+ là một giá trị hữu hạn và h+ > inf f > −∞. Từ Định lý
3.1.4, ta có
Λ+(f) = [h+,+∞)\F+1 hoặc(h+,+∞)\F+1. Quan sát cơng thức trên của tậpΛ+(f), ta được:
• t là y-ổn định nếu và chỉ nếut ∈ (h+,+∞)\F+1, suy ra khẳng định (i); • NếuΛ+(f) = [h+,+∞)\F+1 thìt = h+là y-ổn định phải, từ đó ta có khẳng
định (ii);
• inf f < t < h+ nếu và chỉ nếu t ∈ F+2. Từ (inf f,h+) ⊆ F+2 kéo theo rằngt là n-ổn định nếu và chỉ nếuinf f ≤t <h+. Ta có khẳng định (iii);
• t = h+ nhưng h+ ∈/ Λ+(f)cho nênΛ+(f) = (h+,+∞)\F+1, điều này kéo theo(h+−e,h+]∩Λ+(f) = ∅. Do đót = h+là n-ổn định trái, ta có khẳng định (iv);
• Bởi tính hữu hạn của tập F+1 nên các điểm của tập này là cơ lập. Do đót là n-cơ lập nếu và chỉ nếut ∈ F+1. Ta có khẳng định (v).
Nhận xét3.3.5. Ở đây, nếu ta có khẳng định (ii), tức là t là y-ổn định phải thì ta khơng thể có khẳng định (iv) (tức làtlà n-ổn định trái) và ngược lại. Nói các khác là trong trường hợp này thì 2 kiểu ổn định trên loại trừ nhau.
Bây giờ, ta đưa ra ước lượng về số thành phần liên thông của tậpΛ+(f).
Mệnh đề 3.3.6. Cho f :Rn → Rlà một đa thức bậcd. Khi đó, nếu#KeC∞(f) <+∞thì số thành phần liên thơng củaΛ+(f)bị chặn bởi
(d−1)n−1 +1.
Chứng minh. Dễ thấyKe∞(f)⊂ KeC∞(f). Khi đó, theo [44, Định lý 1.1], ta có
#Ke∞(f)≤ #KeC∞(f) ≤ (d−1)n−1.
Do đó, từ Định lý 3.1.4 và Mệnh đề 3.2.3, ta có số thành phần liên thơng của
3.3.3 Trường hợp tập Fedoryuk là một tập vô hạn
Từ cấu trúc đơn giản của tập Λ+(f) trong Định lý 3.1.4, ta có thể phân loại tất cả các kiểu ổn định có thể có của các cận sai s H ăolder ton cc ca [f ≤ t] khi
t thay đổi trong trường hợp Ke∞(f) là một tập vơ hạn. Trong trường hợp này, ta có thể liệt kê ra 8 kiểu ổn định trong Định nghĩa 3.3.1, về mặt lý thuyết, chúng có thể cùng tồn tại. Chúng tơi khơng liệt kê ra đây vì việc này đơn giản là tương tự như phát biểu của Định lý 3.3.4.
3.4 Tập Λ+(f) trong trường hợp đa thức hai biến thực
3.4.1 Tính tốn tập Λ+(f) trong trường hợp hàm hai biến
a. Khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của các đường cong đại số affine
Chog(x,y)là một đa thức 2 biến thực monic theoy. Để mơ tả quỹ tích thực của
đường congg(x,y) = 0, ta sử dụng nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn của
g(x,y) = 0(Định nghĩa 1.1.12). Xét y(x) = ∑m
k=−∞ckx
k
p, chú ý rằng nếu x > 0 thì ckxkp ∈ R, với ck ∈ R.
Do đó các quỹ tích thực của g(x,y) = 0, với x > r 1 được mô tả bởi các nghiệm Newton-Puiseux tại vô hạn của g(x,y) = 0. Để mơ tả quỹ tích thực của đường congg(x,y) = 0trong nửa đường thẳng (−∞,−r),r 1. Ta sử dụng các nghiệm Newton-Puiseux tại vô hạn của đường congg(x,y) = g(−x,y)với x >r
vàr 1. Với đa thức g, ký hiệu
• RP+(g)là tập tất cả các nghiệm Newton-Puiseux thực tại vô hạn củag(x,y); • RP−(g)là tập tất cả các nghiệm Newton-Puiseux thực tại vơ hạn củag(x,y). ĐặtRP(g) = RP+(g)∪RP−(g). Từ định nghĩa củaRP+(g)vàRP−(g)ta có V+(g) = [ y(x)∈RP+(g) {(x,y) ∈ R2 : x > r,y =y(x)}, V−(g) = [ y(x)∈RP−(g) {(x,y) ∈ R2 : x > r,y =y(x)}.
Đặt
V(g) := V+(g)∪V−(g).
Để tính tập RP(g), ta có thể sử dụng thuật tốn Newton cổ điển để tính các khai triển Newton-Puiseux tại vơ hạn của đường cong affine (xem mục 3.4.1 b ở dưới đây), ngồi ra ta có thể sử dụng cơng cụ hỗ trợ, đó là phần mềm MAPLE. Dùng lệnh "puiseux" của gói lệnh "algcurves", ta có thể tìm được các khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của đường congg(x,y) = 0.
Giả sử ϕlà chuỗi Newton–Puiseux tại vơ hạn, có dạng:
ϕ(x) =
m
∑
k=−∞
ckxkp =cmxmp + các số hạng có bậc thấp hơn.
Cấp tăng tại vô hạn của chuỗiϕ, ký hiệuv(ϕ), được xác định như sau:
v(ϕ) := m p nếu ϕ 6≡0 −∞ nếu ϕ ≡0
Để kiểm tra một giá trị cho trước có thuộc vào tậpΛ+(f) hay khơng thì ta cần ước lượng khoảng cách từ một điểm đến tập dưới mức. Nói chung đây là một bài tốn khó trong trường hợp tổng qt. Tuy nhiên, với trường hợp hàm hai biến, tức n = 2, ta có thể sử dụng Hệ quả 3.1.9 với công thức của tập Λ+(f) và bổ đề sau đây để vượt qua khó khăn này.
Bổ đề 3.4.1. ( [31, Mệnh đề 2.3]).Cho f và glà các đa thức hai biến thực monic theoy
và ϕ ∈ RP+(g)∪RP−(g). Khi đó, tồn tại c> 0vàr 1sao cho với mọix > rthì: Hoặc 1 c|x| v(ϕ,V+(f)) ≤dist (x,ϕ(x)),V+(f) ≤ c|x|v(ϕ,V+(f)) vớiv(ϕ,V+(f)) = min
y∈RP+(f){v(ϕ−y)} nếu ϕ ∈ RP+(g);
hoặc 1 c|x| v(ϕ,V−(f)) ≤dist (x,ϕ(x)),V−(f) ≤ c|x|v(ϕ,V−(f)) vớiv(ϕ,V−(f)) = min
b. Tính khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của đường cong đại số affine
Trong tiểu mục này, ta sẽ nhắc lại cách tính tốn khai triển Newton-Puiseux tại vơ hạn của một đường cong đại số.
Cho g(x,y) là đa thức monic theo y có bậc d. Xét đường cong phức VC(g). Đặt g(x,ˆ y,z) := zdg x
z, y z
.Khi đóVC(g) là compact hố của đường congVC(g)
trong mặt phẳng xạ ảnhCP2, được cho bởi:
VC(g) = {[x :y : z]∈ CP2 : ˆg(x,y,z) = 0}.
TậpVC(g)∩ {z = 0} là giao của đường cong VC(g) với đường thẳng tại vô hạn củaCP2, được xác định như sau:
VC(g)∩ {z= 0} ={[x : y: 0]∈ CP2 : gd(x,y) = 0},
trong đógd(x,y)là thành phần thuần nhất bậcdcủa đa thức g.
Vìgcó dạng monic nên tất cả các điểm thuộcVC(g)∩ {z =0}đều chứa trong bản đồ{x= 1}của đa tạpCP2. Vì vậy,
VC(g)∩ {z =0} = {[1 : ci : 0]∈ CP2,i =1, . . . ,m},
với{ci,i =1, . . . ,m}là các nghiệm của đa thứcgd(1,y) = 0.
Gọi {yi1(z), . . . ,yik(i)(z)},i = 1, . . . ,m là tập tất cả các khai triển Newton- Puiseux của mầm gˆ(1,y,z) tại điểm (0,ci). Chú ý rằng, các chuỗi yi1, ...,yik(i),
i = 1, . . . ,m có thể được tính tường minh bởi thuật tốn Newton (xem, chẳng hạn, [7, Mục 8.3] hoặc [85, Chương 4]). Ta có ∑m
i=1
k(i) = d(tính cả bội) và khi đó
y(x) = xyij 1 x
,i =1, . . . ,m;j =1, . . . ,k(i),
là các khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của đường congVC(g).
Ví dụ 3.4.2. Xétg(x,y) = 2y3+x2y−2y−x. Khi đó, thuần nhất hố, ta được:
b
g(x,y,z) = 2y3+x2y−2yz2−xz2.
= {[1 : y: 0]∈ CP2 : 2y3+y =0} = {A1 = [1 : 0 : 0];A2 = [1 : −i √ 2 2 : 0];A3 = [1 : i√2 2 : 0]}. Ta sẽ tính các nghiệm Newton-Puiseux tại vơ hạn củag(x,y) =0, tương ứng với điểm A1, các điểm khác tương tự. Xét g(z,e y) = g(b 1,y,z) = 2y3+y−2yz2−z2. Ta tính các khai triển Newton-Puiseux của đường congg(z,e y) = 0trong lân cận của(0, 0). Theo thuật toán Newton (xem, chẳng hạn, [7, Mục 8.3, trang 377]), từ đầu tiên củay(z)¯ làz2. Để tính từ tiếp theo của y(z)¯ , đặty(z) =¯ z2(1+ϕ). Ta có 0= g(z, ¯e y(z)) = g(z,e z2(1+ϕ))hay2z6(1+ϕ)3+z2(1+ϕ)−2z4(1+ϕ)−z2 =0. Lặp lại thuật tốn Newton, ta cóϕ =2z2(1+ψ)và:
z2[1+2z2(1+ψ)]3+ψ−2z2−2z2ψ= 0.
Vì vậy,ψ= z2+. . . Điều này kéo theoy(z) = z2+2z4 +2z6+. . .. Do đó,
y(x) = xy(1 x) = 1 x + 2 x3 + 2 x5 +. . . là một khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của g(x,y) = 0.
Chú ý rằng ∂
∂ψ[z2[1+2z2(1+ψ)]3+ψ−2z2−2z2ψ](0, 0) = 1nên từ Định lý hàm ẩn,ψlà một hàm giải tích thực. Vì vậy,y(x)là một nghiệm Newton-Puiseux thực tại vơ hạn củag(x,y) = 0.
c. Quy trình tính tốn tậpΛ+(f)
Giả sử đa thức f có dạng monic theoyvà có bậc d. Ta sẽ sử dụng cơng thức thứ
hai củaΛ+(f)để tính tốn tập này. Lưu ý rằng trường hợp 2 biến thìΛ+(f) 6= ∅
theo Hệ quả 3.2.8.
Vớiclà một điểm bất kỳ thuộcR, từ định nghĩa của các tập F+1 vàF+2 và Bổ đề 3.4.1 ta có:
(ic) c ∈ F+1 nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn: Hoặc∃ y(x)e ∈ RP+(∂∂yf)sao cho f(x,y(x))e ≥c, lim
x→+∞ f(x,y(x)) =e cvới min
hoặc∃ y(x)e ∈ RP−(∂∂yf)sao cho f(−x,y(x))e ≥ c, lim
x→+∞ f(−x,y(x)) =e cvới min
y∈RP−(f−c)v(ey−y)≥ 0; (iic) c ∈ F2
+ nếu và chỉ nếu một trong hai điều kiện sau được thoả mãn: Hoặc∃ ye(x) ∈ RP+(∂∂yf)sao cho f(x,ye(x)) ≥c, lim
x→+∞ f(x,ye(x)) 6= ∞với min
y∈RP+(f−c)v(ey−y)> 0,
hoặc ∃ y(x)e ∈ RP−(∂y∂f) sao cho f(−x,y(x))e ≥ c, lim
x→+∞ f(−x,y(x))e 6= ∞ với min y∈RP−(f−c)v(ey−y)> 0. Từ điều kiện(ic), ta có: F+1 = c ∈ R: ∃ey(x) ∈ RP+ ∂f ∂y , f(x,y(x))e ≥c, lim x→+∞ f(x,ey(x)) = c, min y∈RP+(f−c)v(ye−y) ≥ 0 [ c ∈ R: ∃y(x)e ∈ RP−∂f ∂y , f(−x,y(x))e ≥ c, lim x→+∞ f(−x,y(x)) =e c, min y∈RP−(f−c)v(ye−y)≥ 0 .
Vì vậy, từ cơng thức thứ hai củaΛ+(f)(Hệ quả 3.1.9), để tínhΛ+(f)thì ta chuyển về tínhh+. Đặt
P(f) := {c∈ R|∃y(x)e ∈ RP+(∂f
∂y) : limx→+∞ f(x,ey(x)) =c} [
{c ∈ R|∃y(x)e ∈ RP−(∂f
∂y) : limx→+∞ f(−x,ey(x)) =c}.
Giả sửP(f) = {a1,a2, . . . ,as}trong đóa1 < a2 < · · · < as. Từ định nghĩa của tập
F+2 và cơng thức củaΛ+(f)trong Hệ quả 3.1.9, ta có
h+ ∈ P(f)∪ {−∞}.
Nhận xét 3.4.3. Các tính tốn đối với hai phía trục Oy đều thực hiện riêng theo hai phía, phía bên phải đối với f(x,y)và phía bên trái đối với f(−x,y). Điều này thể hiện trong các Bổ đề 3.4.1, các điều kiện(ic),(iic)và các tập F+1,P(f).
Để tínhh+, ta thực hiện các bước lặp sau:
1.Kiểm tra h+ = as hay khơng:
• Nếu(iic)là đúng vớic = as thìh+ = asvà tính tốn hồn thành.
• Nếu (iic)khơng đúng với c = as thì ta lấy một giá trị bất kỳ b ∈ (as−1,as). Có hai khả năng sau:
Trước hết, nếu(iic)đúng vớic = bthìb ∈ F+2 vàh+ ∈ [b,as].
Doh+ ∈ P(f)∪ {−∞}và [b,as]∩P(f) = {as}, ta có, h+ = as và tính tốn hồn thành;
Nếu (iic) khơng đúng với c = b thì h+ ≤ as−1 và chúng ta chuyển sang bước tiếp theo.
2.Lặp lại bước 1 với asđược thay bằng as−1:
Nếu h+ = as−1 thì tính tốn hồn thành. Ngược lại, ta tiếp tục lặp lại bước 1 vớias được thay bằng as−2.
Theo quy trình này thì hoặc ta tìm được ai0,i0 ∈ {1, . . . ,s} sao cho h+ = ai0
hoặc ta chỉ rah+ < a1. Trong trường hợp sau thìh+ =−∞.
3.4.2 Ví dụ
Đầu tiên, ta sẽ minh hoạ quy trình tính tốn tậpΛ+(f)qua một ví dụ trong [36, Ví dụ 6.1].
Ví dụ 3.4.4. Cho f(x,y) = (y2−1)2+ (xy−1)2. Ta tính tậpΛ+(f). • Tính khai triển Newton-Puiseux tại vơ hạn của ∂∂yf.
Ta có ∂f
∂y(x,y) = 4y
3+2x2y−4y−2x =2(2y3+x2y−2y−x).
Xét g(x,y) = 4y3+2x2y−4y−2x. Bằng phần mềm MAPLE, sử dụng lệnh "puiseux" của gói lệnh "algcurves" để khai triển Newton-Puiseux tại vô hạn của g(x,y) = 0, với lệnh:
Kết quả của MAPLE: x = 1 t,y = 1 t −1+ 13RootOf 2_Z2+1 4 t6 +(−1+1/4RootOf 2_Z2+1)t4+−RootOf 2_Z2+1−1/2t2 +RootOf 2_Z2+1 , x = 1 t,y = 2t6+2t4+t2 t
MAPLE cho ra nghiệm Newton-Puiseux thực tại vơ hạn là: x= 1 t,y = 2t6+2t4+t2 t . Vì vậy ta có, RP+∂f ∂y = e y(x) = 1 x + 2 x3 + 2 x5 +. . . , RP− ∂f ∂y =nye0(x) = −1 x − 2 x3 − 2 x5 +. . .o. • TínhP(f). Sử dụng MAPLE với lệnh: > series(algsubs(x = 1/t, algsubs(PE[2, 2], f)), t = 0, 5); Kết quả của MAPLE:
1−2t2−3t4+O(t8). Từ đó ta có f(x,y(x))e ≤1và lim x→+∞ f(x,y(x)) =e 1, tương tự, f(−x,ye0(x)) ≤1và lim x→+∞ f(−x,ye0(x)) = 1. Do đó ta được P(f) = {1}. • Tínhh+.
Ta kiểm trah+ =1hay khơng: Từ f(x,y(x))e ≤ 1, ta có1 /∈ F2 +.
Ta cũng có thể chỉ ra 1 6∈ F+2 nhờ điều kiện (iic). Thật vậy, ta tính nghiệm Newton-Puiseux tại vơ hạn của f(x,y)−1=0bằng lệnh:
> PG := convert(puiseux(f-1, x = infinity, y, 4, t), list);
MAPLE cho ta các nghiệm thực: h x = 1 t,y = 2t4+t3RootOf _Z2−2+t2 t i . Vì vậy, RP+(f −1) = ny1(x) = 1 x + √ 2 x2 + 2 x3 +. . . ; y2(x) = 1 x − √ 2 x2 + 2 x3 +. . .o. Từ đây suy ra e y(x)−y1(x) = − √ 2 x2 + 2 x3 +. . . ; e y(x)−y2(x) = √ 2 x2 + 2 x3 +. . . . Vì vậy, min
y∈RP+(f−1)v(ye−y) < 0. Lặp lại các lập luận trên cho nghiệmye0(x)
củaRP−∂f ∂y vàRP−(f −1)ta cũng có min y∈RP−(f−1)v(ye0−y) <0. Do đó(iic)khơng thoả mãn nên1 /∈ F2
+.
Chú ý rằng inf f = 0 và f−1(0) = {(1, 1),(−1,−1)}. Lấy 0 ≤ t < 1, ta có thể kiểm trat ∈ F+2 nhanh chóng. Thật vậy, khơng khó để thấy rằng f−1(t)
là compact nếu t ∈ [0, 1). Ngồi ra, f−1(t) là khơng-compact nếut ≥ 1. Vì vậy,h+ =1. • TínhF+1. Do min y∈RP+(f−1)v(ey−y)< 0 cùng với min y∈RP−(f−1)v(ye0−y) <0 ta thấy rằng(ic)khơng thoả mãn. Từ đó suy ra1 /∈ F+1.
VậyF+2 = [0, 1),h+ = 1,F+1 = ∅và vì vậy Λ+(f) = [1,+∞).
Do đó, với bất kỳt ∈ [0,+∞), ta có thể phân loại được tất cả các kiểu ổn định
ca cn sai s H ăolder ton cc ca[f ≤ t]: • Nếut ∈ (1,+∞)thì tlà y-ổn định; • Nếut = 1thì tlà y-ổn định phải; • Nếut ∈ (0, 1)thì t là n-ổn định.
Ví dụ 3.4.5. Xét
f(x,y) = (y+1)[y2+ (xy−1)2].
Ta cóF+2 = ∅, inf f = −∞,F+1 = {0}, vì vậyh+ =−∞và
Λ+(f) = R\ {0}.
Do đó, nếu t 6= 0 thì t là y-ổn định, t = 0 là y-cơ lập. Có thể xét f như một đa thứcnbiến, chẳng hạn f(x1,x2, . . . ,xn) = (x2+1)[x22+ (x1x2−1)2]. Ví dụ 3.4.6. Xét f(x,y) = x2[y2 + (xy−1)2]. Ta cóinf f =0,F+2 ={0},F+1 ={0}, vì vậyh+ =0và Λ+(f) = (0,+∞).
Do đó,t = 0 là n-ổn định trái và t là y-ổn định với mọi t 6= 0. Có thể xét f như một đa thứcnbiến, chẳng hạn
f(x1,x2, . . . ,xn) = x12[x24+ (x1x2−1)2].
3.5 Bất đẳng thứcŁojasiewicz toàn cục cho hàm đa thứcn biến thực
Trong mục này chúng tôi khảo sát sự tồn tại của bất đẳng thứcŁojasiewicz tồn cục theo từng thớ f−1(t). Từ cơng thức của Λ(f), chúng tôi quan sát các giá trị
biên của tập hợp này. Từ đó, chúng tơi đưa ra một số ví dụ thể hiện mối liên hệ giữa các giá trị này và các giá trị rẽ nhánh tại vô hạn.
3.5.1 Tập các giá trị mà thớ tại đó thoả mãn bất đẳng thứcŁojasiewicz
toàn cục
Định nghĩa 3.5.1. Cho hàm đa thức f :Rn → Rvàt ∈ Rsao cho f−1(t) 6= ∅. Ta
nói rằng tập f−1(t)thoả mãn bất đẳng thứcŁojasiewicz tồn cục nếu
∃c,α,β> 0 sao cho |f(x)−t|α+|f(x)−t|β ≥cdist(x, f−1(t)),∀x ∈ Rn. (3.20) Ta xét các tập sau:
Λ−(f):={t ∈ R|[f ≥ t]cú cn sai s H ăolder ton cc}
và Λ(f):={t ∈ R|f−1(t)thoả mãn (3.20)}. Trong mục này, ta sẽ thiết lập công thức cho tậpΛ(f). Ta đặt:
F−1 := {t ∈ R: ∃{xk} ⊂Rn,{xk}là dãy loại một của[f ≥t]}, F−2 := {t ∈ R: ∃{xk} ⊂Rn,{xk}là dãy loại hai của[f ≥ t]},
F1 := F+1 ∪F−1. Định nghĩa 3.5.2. Đặt h− = inf{t ∈ R :t ∈ F−2} nếu F−2 6=∅,