Mối liên hệ giữa các giá trị Fedoryuk và s tn ti ca cỏc cn sai s H ăolder toàn cục đã được biết đến trong nhiều cơng trình trước đây như [10, 32, 43, 56, 57]. Trong mục này, chúng tôi thiết lập mối liên hệ này thông qua việc chứng tỏ rằng
h+ ∈ Ke∞(f)∪ {±∞}và F+1 ⊂Ke∞(f).
Định nghĩa 3.2.1. Cho f : Rn → R là một hàm đa thức. Tập cácgiá trị Fedoryuk
của f (hay còn gọi làtập Fedoryuk) được xác định như sau:
e
K∞(f) :={t ∈ R :∃{xk} ⊂ Rn,kxkk → ∞,k∇f(xk)k → 0, f(xk) → t}. (3.14)
Nhận xét3.2.2. Chú ý rằng Ke∞(f) có thể là một tập vơ hạn phần tử, chẳng hạn, xét ví dụ sau (xem [72]), nếu f(x,y,z) = x+x2y+x4yz, thì
e
K∞(f) = RvàKe∞(f2) = [0,+∞).
Mệnh đề 3.2.3. F+1 ⊂ Ke∞(f).
Chứng minh. Đặt X := {x ∈ Rn : f(x) ≥ t}với t ∈ [inf f,+∞). Khi đó X là một khơng gian metric đủ với metric Euclid thông thường và hàm f : X → Rbị chặn dưới. Giả sửt ∈ F+1 và{xk}là dãy loại một của[f ≤ t], khi đó
Đặtek = f(xk)−t. Ta có ek > 0 vàek → 0(khi k → +∞). Đặtλk = √
ek. Từ Bổ đề 1.3.6, tồn tại một dãy{yk} ⊂X sao cho
f(yk)≤ t+ek = f(xk)và dist(yk,xk) ≤λk,
hơn nữa, với bất kỳx ∈ X,x6= yk, ta có
f(x) ≥ f(yk)− ek λk dist(x,yk). (3.15) Ta códist(yk,xk) ≤ λk = √ ek → 0và dist(xk,[f ≤ t]) ≥ δ > 0, do đó hình cầu B(yk,δ 2) = {x ∈ Rn : dist(yk,x) ≤ δ
2}chứa trong X. Khi đó, bất đẳng thức (3.15)
kéo theo bất đẳng thức f(y
k+τu)− f(yk)
τ ≥ −√ek với mọi u∈ Rn,kuk =1và
τ ∈ [0,δ
2). Choτ → 0ta có
h∇f(yk),ui ≥ −√ek.
Vìykkhơng phải là điểm tới hạn của f nên ta có∇f(yk) 6= 0. Đặtu =− ∇f(yk) k∇f(yk)k, ta được k∇f(yk)k ≤ √ek → 0. Rõ ràng là f(yk) → t và kykk → ∞. Vì vậy t ∈ Ke∞(f).
Mệnh đề 3.2.4. Nếu [f ≤ t]có một dãy loại hai {xk}, thì tồn tại một dãy loại hai{yk}
cũng của[f ≤t]thoả mãn các tính chất sau:
t ≤ f(yk) ≤ f(xk)vàk∇f(yk)k → 0.
Hơn nữa, tồn tại một dãy con{y0k}của dãy{yk}sao cho lim k→∞ f(y
0k)∈ Ke∞(f).
Chứng minh. Giả sử{xk}là một dãy loại hai của [f ≤ t]. Đặt
X = {x∈ Rn : f(x) ≥t},ek = f(xk)−t vàλk = 2
dist(xk,[f ≤ t]).
Theo Bổ đề 1.3.6, tồn tại dãyyk ∈ Xsao cho
f(yk) ≤t+ek = f(xk),
dist(xk,yk) ≤ 1
λk,
Lấyyek ∈ [f ≤t]sao chodist(yk,[f ≤t]) = dist(yk,yek). Ta được dist(yk,[f ≤t]) ≥ dist(xk,yek)−dist(xk,yk)
≥ dist(xk,[f ≤ t])− 1
λk
= dist(xk,[f ≤ t])− dist(xk,[f ≤ t])
2 → ∞.
Từ đó tồn tại δ > 0 sao cho dist(yk,[f ≤ t]) ≥ δ
2 với k đủ lớn, kết hợp với dist(xk,yk) ≤ 1
λk ta có dist(xk,yk) → 0. Vì vậy, hình cầu B(yk,δ
2) chứa trong X\[f ≤ t]. Đặt xk = yk+tu ∈ B(yk, δ 2) với u ∈ Rn,kuk = 1 và t ∈ [0,δ 2). Từ (3.16), lấyt ∈ (0,δ 2), ta được 1 t(f(y k+tu)− f(yk)) ≥ −ekλkkuk = −ekλk.
Do đóh∇f(yk),ui ≥ −λkekvới bất kỳu ∈ Rnthoảkuk =1. Đặtu= − ∇f(yk) k∇f(yk)k, chú ý rằng mẫu số khác0vìykkhơng phải là điểm tới hạn của f, suy ra
k∇f(yk)k ≤ekλk = 2ek
dist(xk,[f ≤t]).
Từ t+ek = f(xk), ta cót ≤ f(xk) ≤ M với M = supk f(xk). Do đó, tồn tại dãy con của dãy{f(xk)} hội tụ đếnt0 ∈ [t,M]. Gọi dãy con đó chính là {f(xk)}, khi đó, f(xk) → t0. Chú ý rằngyk ∈ Rn \[f ≤t]nên ta có
kykk → ∞, t ≤ f(yk) ≤ f(xk) ≤ M < +∞, dist(yk,[f ≤ t]) → ∞,k∇f(yk)k → 0. Từ đó suy ra tồn tại dãy con{y0k}là dãy loại hai của[f ≤t]thoả mãn
lim k→∞ f(y
0k)∈ Ke∞(f) và k∇f(y0k)k → 0.
Hơn nữa,[t,M]∩Ke∞(f) 6= ∅.
Mệnh đề 3.2.5. NếuF+2 6=∅vàh+ là hữu hạn thìh+ ∈ Ke∞(f).
Chứng minh. Vì Ke∞(f) là một tập đóng (xem [54]) nên để chứng minh h+ (hữu hạn) thuộc tậpKe∞(f)thì ta chỉ cần chỉ ra rằng với mọie > 0đủ bé, ta có
Từ giả thiết,F+2 chỉ có thể là một khoảng hoặc một điểm.
NếuF+2 là một khoảng thì ta có thể giả sử với mọie > 0đủ bé, tập[f ≤ h+−e]
khác rỗng và có một dãy loại hai{xk} ⊂Rn, tồn tại M thoả mãn
h+−e ≤ f(xk) ≤ M và dist(xk,[f ≤h+−e]) → ∞.
Không mất tổng quát, giả sử rằng dãy{f(xk)}là dãy hội tụ. Có ba trường hợp con sau:
1. Nếu lim k→∞f(x
k)< h+, thì từ Mệnh đề 3.2.4 ta có dãy{yk}sao cho
t < f(yk) ≤ f(xk)
và dãy{yk} có dãy con hội tụ đến điểm thuộc tập Fedoryuk. Do đó
[h+−e,h+]∩Ke∞(f) 6=∅.
2. Nếu lim k→∞ f(x
k) = h+, thì ta có thể giả sử rằng f(xk) ≤ h++evới mọik. Lập
luận tương tự như trên, cũng sử dụng Mệnh đề 3.2.4, ta có
[h+−e,h++e]∩Ke∞(f) 6= ∅.
3. Nếu lim k→∞f(x
k) = h++e0 với e0 > 0 thì ta có thể giả sử rằng0 < e < e0. Với mỗiklấyyk là điểm của f−1(h++e)sao cho
dist(xk,[f ≤ h++e]) = kxk−ykk với mọik.
Do e > 0 nên [f ≤ h++e] khơng có dãy loại hai, do đó {xk} khơng là dãy loại hai của [f ≤ h+ +e]. Điều này kéo theo tồn tại A > 0 sao cho
kyk−xkk ≤ Avới mọik.Khi đó ta có
kykk ≥ kxkk − kyk−xkk ≥ kxkk − A,
và vì vậy kykk → ∞khik→ ∞.
Lấyzk ∈ f−1(h+−e)sao cho
Hơn nữa
kyk−zkk ≥ kxk−zkk − kyk−xkk ≥dist(xk,[f ≤ h+−e])−A,
suy ra dist(yk,[f ≤ h+ −e]) → ∞. Vì vậy {yk} là một dãy loại hai của
[f ≤ h+−e]. Do f(yk) = h++etừ Mệnh đề 3.2.4, ta có
[h+−e,h++e]∩Ke∞(f) 6= ∅.
Nếu F+2 chỉ gồm một điểm, tức là F+2 = {inf f}. Từ Định nghĩa 3.1.3, ta có
h+ =inf f. Do đó[f ≤ h+−e] = ∅và[f ≤h+]6=∅. Theo Mệnh đề 3.2.4, tồn tại
một dãy loại hai{xk}của[f ≤ h+]sao cho lim k→∞ f(x
k) = h++e0. Lập luận tương tự như trường hợp 3 ở trên, ta có dãy{yk} ⊂ f−1(h++e)(vớie < e0)là dãy loại hai của[f ≤h+]. Áp dụng Mệnh đề 3.2.4, ta có
[h+,h++e]∩Ke∞(f) = ∅.
Từ hai trường hợp ta đều có (3.17) đúng và do đó Mệnh đề được chứng minh.
Hệ quả 3.2.6. NếuKe∞(f) = ∅thì ta có:
(i) Λ+(f) = [inf f,+∞)nếuinf f > −∞và f đạt infimum;
(ii) Λ+(f) = (inf f,+∞)nếuinf f > −∞và f không đạt infimum; (iii) Λ+(f) = Rnếuinf f = −∞.
Chứng minh. Giả sử rằng Ke∞(f) = ∅. Khi đó từ Mệnh đề 3.2.3, ta có F+1 = ∅.
Hơn nữa, từ Mệnh đề 3.2.4 thì tập F+2 cũng là tập rỗng. Vì vậy, hệ quả này được suy trực tiếp từ Định lý 3.1.4.
Định lý 3.2.7. Nếu#Ke∞(f) <+∞, thìΛ+(f) 6= ∅.
Chứng minh. Bằng phản chứng, giả sử Λ+(f) = ∅. Từ giả thiết #Ke∞(f) < +∞
và Mệnh đề 3.2.3, ta có#F+1 < +∞. Khi đó, từ Định lý 3.1.4 ta cóΛ+(f) =∅nếu và chỉ nếu h+ = +∞. Vì vậy, với t1 ∈ (inf f,+∞), tồn tại một dãy loại hai của
cho M1 < t2, do h+ = +∞ nên tồn tại một dãy loại hai của [f ≤ t2]. Vì vậy tồn tạiM2 > t2 vàa2 sao choa2 ∈ [t2,M2]∩Ke∞(f). Lặp lại quá trình này, ta tìm được
dãy vơ hạn a1 < a2 < a3, . . . thuộc tập Ke∞(f). Do đó, #Ke∞(f) = +∞, điều này
mâu thuẫn với giả thiết của định lý. Vì vậy ta có điều phải chứng minh.
Trong trường hợp đa thức hai biến thực, ta có kết quả sau đây.
Hệ quả 3.2.8. Cho f : R2 → Rlà một hàm đa thức hai biến, khi đóΛ+(f) 6= ∅.
Chứng minh. Dễ thấyKe∞(f)⊂ KeC∞(f), trong đó e
K∞C(f) := {t ∈ C : ∃{xk} ⊂Cn,kxkk → ∞,k∇f(xk)k → 0, f(xk) → t}.
Khi đó, theo Định lý 1.3.2 của H. V. Hà [29] (xem thêm [50]), ta có#KeC∞(f) <+∞,
từ đó#Ke∞(f) <+∞. Áp dụng Định lý 3.2.7, ta cóΛ+(f) 6= ∅.
Sau đây, chúng tơi trình bày một ví dụ mà tập Ke∞(f) là một tập vô hạn và
Λ+(f)là tập rỗng. Ví dụ này chỉ ra rằng Định lý 3.2.7 khơng cịn đúng nếu bỏ đi giả thiết tậpKe∞(f)là hữu hạn.
Ví dụ 3.2.9. Cho đa thức (xem [17, Ví dụ 3.1])
Φ(x,y,z) = z[y2 + (xy−1)2]. Khi đó, ta cóKe∞(Φ) = RvàΛ+(Φ) = ∅. Thật vậy, lấy x = 1 y −y+y 3 vàz= t y2(t 6=0), ta có k(x,y,z)k → ∞,k∇Φ(x,y,z)k → 0,Φ(x,y,z) → t (khiy → 0). Từ đây suy rat ∈ Ke∞(Φ),∀t 6= 0. Tương tự, lấy x = 1
y −y+y
3 và z = 1
y, ta có 0∈ Ke∞(Φ). Vì vậy,Ke∞(Φ) = R.
Để chứng minh rằngΛ+(Φ) = ∅, ta chỉ cần chứng minh rằngh+ = +∞, tức
là với mọi a > 0thì a ∈ F+2. Cụ thể, ta sẽ chỉ ra rằng[Φ ≤ a](với a > 0) ln có một dãy loại hai.
Với mọie >0đủ bé, xét dãywn = (xn,yn,zn)sao cho yn > 0,yn →0,xn = 1 yn,zn = a+e y2 n . Dễ thấywn ∈ Φ−1(a+e)và ta có khẳng định sau: Khẳng định 5. dist(wn,Φ−1(a)) → +∞(n → ∞). Do đóa∈ F+2. Chứng minh. Giả sử rằng
dist(wn,Φ−1(a)) = kwn−unk, trong đóun = (an,bn,cn) ∈ Φ−1(a).
Bằng phản chứng, giả sử tồn tại M > 0 sao cho dist(wn,Φ−1(a)) ≤ M, khi đó kwn−unk < M. Do đó ta có|xn−an|< M. Điều này kéo theo:
xn−M < an < xn+M tức là 1 yn −M < an < 1 yn +M. (3.18) Ta có|zn−cn| < Mvàzn → +∞nêncn → +∞. Chú ý rằngcn = a b2 n+ (anbn −1)2 nên anbn−1→ 0 và bn →0. Xétbn >0. Từ (3.18) suy ra bn yn −Mbn−1 ≤ anbn−1 ≤ bn yn +Mbn−1, ta được−Mbn ≤ (anbn−1)− bn yn −1 ≤ Mbn,do đó (anbn−1)− bn yn −1 ≤ Mbn. (3.19) Vìbn → 0,anbn−1→ 0nên ta có bn yn −1 → 0hay bn yn → 1.Sử dụng bất đẳng thức|zn−cn|< M, ta có: a+e y2n − a (anbn−1)2+bn2 < M tức là (a+e)b2n y2n − ab2n (anbn−1)2+b2n < Mb2n. Dobn → 0,bn yn → 1nên ab 2 n (anbn−1)2+b2 n → a+e.Mặt khác ab2n (anbn−1)2+b2 n ≤ a.
Điều này dẫn đến mâu thuẫn.
Trường hợpbn <0suy luận tương tự, chỉ cần thay (3.19) bằng (anbn−1)− bn yn −1 ≤ −Mbn
và cũng suy ra mâu thuẫn.
Do đó,dist(wn,Φ−1(a)) → +∞(n → ∞). Chú ý rằngwn ∈ Φ−1(a+e)nên dist(wn,Φ−1(a)) =dist(wn,[Φ ≤ a]).
Từ đó ta códist(wn,[Φ ≤a])→ +∞(n → ∞)và suy raa ∈ F+2. Khẳng định được chứng minh.
Từ Khẳng định 5, ta có a ∈ F+2 với mọi a > 0. Từ đó nếu t < a thì t ∈ F+2. Do inf f = −∞nên ta được F+2 =R, khi đóh+ = +∞. VậyΛ+(Φ) = ∅.
Ví dụ trên cho ta nhận thức sõu hn v cn sai s H ăolder ton cc. Cụ thể là trong trường hợp tập Fedoryuk vơ hạn thì khái niệm về cận sai s H ăolder ton cc cú thể trở nên khơng cịn hữu dụng.
3.3 Các kiểu ổn định ca cỏc cn sai s Hăolder ton cc
Từ cấu trúc nửa đại số một chiều và công thức của tập Λ+(f) (Định lý 3.1.4), ta đi đến định nghĩa sau đây của tất cả các kiểu ổn định của cận sai số H ăolder ton cc.
Định nghĩa 3.3.1. Cho t ∈ [inf f,+∞) và f là một đa thức n biến thực. Ta nói rằng
1. t lày-ổn địnhnếu t ∈ Λ+(f)và tồn tại e >0sao cho(t−e,t+e)⊂ Λ+(f); 2. t lày-ổn định phảinếut ∈ Λ+(f)và tồn tạie >0sao cho[t,t+e)⊂ Λ+(f)
và(t−e,t)∩Λ+(f) = ∅;
3. t là y-ổn định tráinếu t ∈ Λ+(f)và tồn tại e > 0sao cho (t−e,t] ⊂ Λ+(f)
4. t lày-cô lậpnếu t ∈ Λ+(f)và với mọie > 0đủ nhỏ thì
[(t−e,t)∪(t,t+e)]∩Λ+(f) = ∅;
5. t làn-ổn địnhnếu t ∈/ Λ+(f)và tồn tại e >0sao cho
(t−e,t+e)∩Λ+(f) = ∅;
6. tlàn-ổn định phảinếut ∈/ Λ+(f), tồn tạie > 0sao cho[t,t+e)∩Λ+(f) = ∅
và(t−e,t) ⊂Λ+(f);
7. tlàn-ổn định tráinếut ∈/ Λ+(f), tồn tạie >0sao cho(t−e,t]∩Λ+(f) = ∅
và(t,t+e) ⊂Λ+(f);
8. t làn-cô lậpnếu t ∈/ Λ+(f)và với mọie > 0đủ nhỏ thì
[(t−e,t)∪(t,t+e)] ⊂ Λ+(f).
Ta xét 3 trường hợp tương ứng của tập các giá trị Fedoryuk.
3.3.1 Trường hợp tập Fedoryuk là tập rỗng
Từ Hệ quả 3.2.6 và Định nghĩa 3.3.1, ta có hệ quả sau.
Hệ quả 3.3.2. NếuKe∞(f) = ∅thìt ∈ [inf f,+∞)là một trong các kiểu sau: (i) Trường hợpinf f > −∞:
• Nếut ∈ (inf f,+∞), thìt là y-ổn định.
• Nếut = inf f và f−1(inf f) 6= ∅thì tlà y-ổn định phải.
• Nếut = inf f và f−1(inf f) = ∅, thìt là n-ổn định trái. (ii) Trường hợpinf f = −∞:t là y-ổn định với mọit ∈ R.
Nhận xét3.3.3. Định lý C trong [32] chứng tỏ rằng nếu f là một đa thức đủ tổng quát (về tính đủ tổng qt, xem [35]) thìKe∞(f) = ∅và từ Hệ quả 3.3.2, ta chỉ có hai trường hợp và các kiểu ổn định như trên.
3.3.2 Trường hợp tập Fedoryuk là một tập hữu hạn và khác rỗng
Bây giờ ta sẽ phân loại các kiểu ổn định của cận sai s H ăolder trong trng hp tập các giá trị Fedoryuk là hữu hạn và khác rỗng.
Định lý 3.3.4. Cho Ke∞(f) là tập hữu hạn, khác rỗng và t ∈ [inf f,+∞). Khi đó t là một trong các kiểu ổn định sau:
Trường hợp A Nếu h+ = inf f vàinf f >−∞thì
(i) t là y-ổn định nếu và chỉ nếut >h+vàt ∈/ F+1;
(ii) t là y-ổn định phải nếut =h+ ∈ Λ+(f)và f−1(inf f) 6= ∅;
(iii) t là n-ổn định trái nếut =h+ ∈/Λ+(f)hoặc f−1(inf f) = ∅;
(iv) t là n-cô lập nếu và chỉ nếut ∈ F+1.
Trường hợp B Nếuh+ > inf f >−∞và h+ hữu hạn thì (i) t là y-ổn định nếu và chỉ nếut >h+vàt ∈/ F+1;
(ii) t là y-ổn định phải nếu và chỉ nếut = h+ vàh+ ∈ Λ+(f);
(iii) t là n-ổn định nếu và chỉ nếuinf f ≤t < h+;
(iv) t là n-ổn định trái nếu và chỉ nếut = h+ ∈/ Λ+(f);
(v) t là n-cô lập nếu và chỉ nếut > h+ vàt ∈ F+1.
Chứng minh. Chú ý rằng từ giả thiết tập Ke∞(f)là một tập hữu hạn khác rỗng, ta có tậpF+1 cũng là tập hữu hạn.
Xét trường hợp A: h+ = inf f > −∞. Từ Định lý 3.1.4, ta có
Λ+(f) = [inf f,+∞)\F+1 hoặc Λ+(f) = (inf f,+∞)\F+1. Suy ra[f ≤t]cú cn sai s H ăolder ton cc vi mit >h+ vàt ∈/ F+1.
Xét trường hợp B: h+ là một giá trị hữu hạn và h+ > inf f > −∞. Từ Định lý
3.1.4, ta có
Λ+(f) = [h+,+∞)\F+1 hoặc(h+,+∞)\F+1. Quan sát cơng thức trên của tậpΛ+(f), ta được:
• t là y-ổn định nếu và chỉ nếut ∈ (h+,+∞)\F+1, suy ra khẳng định (i); • NếuΛ+(f) = [h+,+∞)\F+1 thìt = h+là y-ổn định phải, từ đó ta có khẳng
định (ii);
• inf f < t < h+ nếu và chỉ nếu t ∈ F+2. Từ (inf f,h+) ⊆ F+2 kéo theo rằngt là n-ổn định nếu và chỉ nếuinf f ≤t <h+. Ta có khẳng định (iii);
• t = h+ nhưng h+ ∈/ Λ+(f)cho nênΛ+(f) = (h+,+∞)\F+1, điều này kéo theo(h+−e,h+]∩Λ+(f) = ∅. Do đót = h+là n-ổn định trái, ta có khẳng định (iv);
• Bởi tính hữu hạn của tập F+1 nên các điểm của tập này là cơ lập. Do đót là n-cơ lập nếu và chỉ nếut ∈ F+1. Ta có khẳng định (v).
Nhận xét3.3.5. Ở đây, nếu ta có khẳng định (ii), tức là t là y-ổn định phải thì ta khơng thể có khẳng định (iv) (tức làtlà n-ổn định trái) và ngược lại. Nói các khác là trong trường hợp này thì 2 kiểu ổn định trên loại trừ nhau.
Bây giờ, ta đưa ra ước lượng về số thành phần liên thông của tậpΛ+(f).
Mệnh đề 3.3.6. Cho f :Rn → Rlà một đa thức bậcd. Khi đó, nếu#KeC∞(f) <+∞thì số thành phần liên thông củaΛ+(f)bị chặn bởi
(d−1)n−1 +1.
Chứng minh. Dễ thấyKe∞(f)⊂ KeC∞(f). Khi đó, theo [44, Định lý 1.1], ta có
#Ke∞(f)≤ #KeC∞(f) ≤ (d−1)n−1.
Do đó, từ Định lý 3.1.4 và Mệnh đề 3.2.3, ta có số thành phần liên thơng của
3.3.3 Trường hợp tập Fedoryuk là một tập vô hạn
Từ cấu trúc đơn giản của tập Λ+(f) trong Định lý 3.1.4, ta có thể phân loại tất cả các kiểu ổn định có thể có của các cận sai s H ăolder ton cc ca [f ≤ t] khi
t thay đổi trong trường hợp Ke∞(f) là một tập vô hạn. Trong trường hợp này, ta có thể liệt kê ra 8 kiểu ổn định trong Định nghĩa 3.3.1, về mặt lý thuyết, chúng có thể cùng tồn tại. Chúng tơi khơng liệt kê ra đây vì việc này đơn giản là tương tự như phát biểu của Định lý 3.3.4.