2.3 Các số mũ Łojasiewicz gradient và một vài ước lượng hiệu quả
2.3.3 Ước lượng hiệu quả các số mũ Łojasiewicz
Trong mục này chúng tôi sẽ đưa ra một số chặn trên cho các số mũŁojasiewicz của các hàm đa thức hai biến. Các cận này chỉ phụ thuộc vào bậc của đa thức. Kết quả sau đây tinh hơn của D’Acunto và Kurdyka trong trường hợp 2 biến (xem [13, Định lý chính]), nói cách khác chúng tơi thu được cận trên chặt hơn của các tác giả trên.
Định lý 2.3.9. Cho f: K2 →Klà một đa thức bậcdvới f(0) = 0.Khi đó
L(f) ≤1− 1
(d−1)2+1.
Trước khi chứng minh định lý này, ta nhắc lại khái niệm về bội giao của hai mầm đường cong phẳng (xem [25, Mục 3.2]). Cho f ∈ C{x,y}là bất khả quy. Khi đóbội giaocủa g∈ C{x,y} với f được cho bởi cơng thức
trong đó t 7→ (x(t),y(t)) là một tham số hóa của mầm đường cong xác định bởi
f.Ở đây mộttham số hóacủa mầm đường cong f =0là một mầm ánh xạ giải tích
φ: (C, 0) → (C2, 0), t 7→ (x(t),y(t)),
với f ◦φ ≡ 0 và thỏa mãn tính phổ dụng sau đây: mỗi mầm ánh xạ giải tích
ψ: (C, 0) → (C2, 0)với f ◦ψ≡ 0,tồn tại mầm ánh xạ giải tíchψ0: (C, 0) → (C, 0)
sao cho ψ = φ◦ψ0. Tổng quát, lấy f ∈ C{x,y} là một chuỗi lũy thừa hội tụ và
f = fα1
1 · · · fαr
r là một phân tích bất khả quy của f trong vành C{x,y} với fi là bất khả quy và các fi nguyên tố cùng nhau từng cặp. Khi đó bội giao của gvới f
được xác định bởi tổng sau
i(fα1
1 · · · fαr
r ,g) :=α1i(f1,g) +· · ·+αri(fr,g).
Chứng minh Định lý 2.3.9. Từ định nghĩa số mũ Łojasiewicz gradient, nếu f là một đa thức thực và coi f như một đa thức phức và gọi là fCthì
L(f) ≤L(fC).
Do đó, ta chỉ cần xét trường hợp phức. Khơng mất tính tổng qt, giả sử rằng f
là chính quy theoxvới cấpm ≤ d.Từ Định lý 2.3.1 ta suy ra rằng, nếu Γ(f) = ∅
thì
L(f) = 1− 1
m ≤1−
1
(d−1)2+1.
Bây giờ ta giả sử Γ(f) 6= ∅. Lấy một nhánh cực γ trong Γ(f) trên đó số mũ Łojasiewicz gradient đạt được:
L(f) = `(γ) = 1− 1
ord f(γ(y),y).
Lấy g là một nhân tử bất khả quy của ∂∂xf trong C{x,y} nhận γ là một nghiệm Newton–Puiseux. Khi đó t 7→ (γ(tN),tN) là một tham số hóa của mầm đường congg =0,với N là cấp của g.Chú ý lài(∂y∂f,g)hữu hạn vì f(γ(y),y) 6≡ 0. Ta có
i ∂f ∂y,g = ord∂f ∂y(γ(t N),tN) = N·ord∂f
∂y(γ(y),y) ≥ord ∂f
vàord∂∂yf(γ(y),y) = ord f(γ(y),y)−1.Lấyh ∈ C[x,y]là một thành phần bất khả quy của đa thức ∂∂xf chia hết cho gtrongC{x,y}. Chú ý rằng hkhông là ước của
∂f
∂y doi(∂∂yf,g)là hữu hạn. Từ Định lý Bezout (xem [7, Định lý 2, tr. 232]), ta có
i ∂f ∂y,h ≤ (d−1)·degh ≤(d−1)2. Doi(∂∂yf,g) ≤i(∂∂yf,h),ta được
L(f) = 1− 1 ord f(γ(y),y) ≤1− 1 i(∂∂yf,g) +1 ≤1− 1 i(∂∂yf,h) +1 ≤1− 1 (d−1)2+1. Ta có điều phải chứng minh.
Cho f : K2 → Klà một đa thức bậcdthỏa f(0) = 0.Nhắc lại rằng e
L(f) :=inf{`| ∃c >0,∃e >0,|f(x,y)| ≥ cdist((x,y),V)`,∀k(x,y)k < e}.
Theo [4, 49], Le(f) là một số hữu tỷ và đạt được trên một đường cong giải tích. Trong trường hợpK= C,Risler và Trotman [76, Định lý 1] đã chỉ ra rằng
e
L(f) = ord f ≤ d,
đồng thời họ đã chứng tỏ số mũLe(f)là một bất biến bi-Lipschitz. Trong trường hợp K = R, cơng thức tính tốn số mũ Le(f) được đưa ra bởi Kuo trong [49]. Ngoài ra, ta có một số kết quả khác về số Łojasiewicz như trong các bài báo [13, 26, 45, 47, 52, 74].
Định lý 2.3.10. Cho f : R2 → Rlà một đa thức bậcdsao cho f(0) = 0.Khi đó
e L(f) ≤ 1 1−L(f). Nói riêng, ta có e L(f)≤ (d−1)2+1.
Chứng minh. Bất đẳng thức đầu tiên là một hệ quả trực tiếp của chứng minh Định lý 2.2 trong [74] (xem thêm [55]). Bất đẳng thức thứ hai có thể suy được từ Định lý 2.3.9.
Nhận xét2.3.11. Theo [47, Ví dụ 1] (xem thêm [26, 45]), ta có thể thấy ước lượng
e
Chương 3
SỰ TỒN TẠI VÀ ỔN ĐỊNH CỦA CẬN SAI S H ăOLDER, BT ĐẲNG THỨC ŁOJASIEWICZ TOÀN CỤC VÀ CÁC GIÁ TRỊ
FEDORYUK ĐẶC BIỆT
Cn sai s H ăolder ton cc thực chất là một dạng của bất đẳng thứcŁojasiewicz tồn cục xét từ một phía, chẳng hạn phía bên trên của tập dưới mức.
Định nghĩa 3.0.1( [32]). Cho f : Rn → Rlà một hàm đa thức. Vớit ∈ [inf f,+∞), đặt[f ≤ t]:= {x ∈ Rn|f(x) ≤ t}và[a]+ := max{0,a}. Ta nói rằng tập[f ≤ t]có
cn sai s Hăolder ton ccnếu tập đó khác rỗng và tồn tạiα,β,c >0sao cho
[f(x)−t]α
++ [f(x)−t]β
+ ≥ cdist(x,[f ≤ t])với mọix ∈ Rn. (3.1) Nếuα = β=1, thì (3.1) được gọi là cận sai số Lipschitz toàn cục của[f ≤ t](chú ý rằng nếuinf f = −∞thì phát biểu trên khơng cần điều kiện khác rỗng của tập dưới mức[f ≤t]).
Cận sai số nói chung hay cịn gọi là biên sai là một bất đẳng thức (trong không gian Euclid) chặn khoảng cách từ các vec tơ đến một tập thử (tập nghiệm, tập ràng buộc,...) so với một hàm, thường được gọi là hàm thặng dư. Cụ thể, cho
S,T ⊆ Rn và r : S∪T → R+ thoả mãn r(x) = 0 nếu và chỉ nếu x ∈ S. Khi đó,
cận sai số củaStrênT (xem [70]) là bất đẳng thức:
dist(x,S) ≤cr(x)γ,∀x ∈ T. (3.2) Cận sai số còn dùng để đánh giá chặn trên và dưới của sai số xuất hiện trong các bài tốn tối ưu, tính tốn. Nghiên cứu về cận sai số là một chủ đề cơ bản trong
Tối ưu hố và tính tốn số. Những ứng dụng quan trọng của cận sai số bao gồm: Tính hội tụ của nghiệm trong các bài toán tối ưu hố [22,67], giải tích nhạy [2,46], bất đẳng thức biến phân [58], mê tric chính quy [42, 43],...
Sau khi các cơng trình mở đường của Hoffman [38],Łojasiewicz [63] và Robin- son [77] ra đời, việc nghiên cứu về cận sai số và ứng dụng của cận sai số nhận được sự quan tâm ngày càng nhiều trong những bài báo về Quy hoạch toán học, nhất là trong những năm gần đây, xin xem một số bài báo tổng quan về lĩnh vực này như [43, 56, 70].
Bên cạnh bài toán nghiên cứu về các điều kiện tồn tại của cận sai số thì nhiều người cịn quan tâm đến sự ổn định của cận sai số khi một số dữ liệu đầu vào bị nhiễu. Sự ổn định của cận sai số thật sự cần thiết trong các thuật toán lặp giải các bài toán cực tiểu hoá [67] hoặc bất đẳng thức biến phân [70],... Nghiên cứu sự ổn định của cận sai số trong những bài tốn về giải tích nhạy (Azé-Corvellec [2]), sự ổn định của cận sai số khi nhiễu những yếu tố đầu vào như tậpS trong (3.2) (Ngãi-Kruger-Théra [48, 69]) và xem sự ổn định khi hằng sốctrong (3.2) bị nhiễu như trong Daniel [14], Luo-Tseng [65], Deng [15],... đã được các tác giả khảo sát rất kỹ. Tuy nhiên, theo chúng tôi được biết, chưa có một sự phân loại cụ thể nào cho các kiểu ổn định của cận sai s H ăolder ton cc khi nhiu mct.
Bài tốn của chúng tơi cụ thể như sau:Nghiên cứu sự tồn tại và ổn định của cận sai s Hăolder ton cc(3.1)của tập dưới mức [f ≤ t] của hàm đa thức thực tương ứng với giá trịt.
Trước hết, chúng tôi khảo sát tập các giá trị t sao cho tập dưới mức [f ≤ t]
có cn sai s H ăolder ton cc, ký hiu Λ+(f). Từ việc tính tốn tập Λ+(f) vấn đề về tính ổn định của việc có (hay khơng có) cận sai s H ăolder ton cc ca tập[f ≤ t], khi t thay đổi, được giải quyết trọn vẹn. Mặt khác, như một hệ quả của cơng thức tính tậpΛ+(f), ta tính được tập Λ(f) của tất cả các giá trị t, mà
thớ f−1(t)có bất đẳng thứcŁojasiewicz tồn cục. Từ đó, chúng tơi quan tâm đến tập các điểm biên củaΛ(f), chúng bao gồm hữu hạn điểm và chúng tơi gọi tập
những điểm đó là tập các giá trị Łojasiewicz của f. Tính có hay khơng có cận sai s H ăolder thay i (t đang có chuyển sang khơng có và ngược lại) khi t chạy
qua các điểm này. Quan sát tiếp theo, được gợi ý bởi một kết quả trong [16] của Đinh Sĩ Tiệp, Hà Huy Vui và Nguyễn Thị Thảo, dẫn đến vấn đề về khảo sát mối liên hệ giữa các giá trịŁojasiewicz nói trên và các giá trị rẽ nhánh tại vô hạn, là những giá trị quan trọng, được nghiên cứu rất nhiều trong khoảng hơn 40 năm nay [12, 19, 28, 29, 54, 71, 84]. Đây là một vấn đề có vẻ rất thú vị và khó. Những hiểu biết chúng tơi thu được về vấn đề này cịn rất hạn chế.
Các kết quả chính của chương này bao gồm:
• Cho một hàm đa thức f : Rn → Rbất kỳ, khi đó có thể xác định đượcΛ+(f)
tập các giá trịt sao cho tập dưới mức[f ≤ t]cú mt cn sai s H ăolder ton cục (Định lý 3.1.4). Công thức củaΛ+(f)được phát biểu thông qua các giá trị khá đặc biệt của tập các giá trị FedoryukKe∞(f)(tập các giá trị Fedoryuk được nhiều tác giả sử dụng để nghiên cứu hiện tượng kỳ dị tại vô hạn của đa thức [19, 29, 71]).
• Dựa vào cơng thức của Λ+(f), cho câu trả lời trọn vẹn về tính ổn định của tính chất "có (hoặc khơng có) cận sai s H ăolder ton cc" ca [f ≤ t] khi nhiễu t. Hơn nữa, đưa ra một bảng đầy đủ tất cả các kiểu ổn định có thể
xuất hiện (Định lý 3.3.4).
• Đưa ra tiêu chuẩn khi nào thì tập Λ+(f) khác rỗng. Cụ thể là nếu tập Fe- doryuk là tập hữu hạn thìΛ+(f)ln khác rỗng (Định lý 3.2.7). Nói riêng, với mọi đa thức hai biến thì Λ+(f) ln khác rỗng (Hệ quả 3.2.8). Đưa ra một ví dụ mà Λ+(f)bằng rỗng (Ví dụ 3.2.9).
• Đưa ra cơng thức tính tập Λ(f) gồm các giá trị t sao cho thớ f−1(t) có bất đẳng thứcŁojasiewicz tồn cục (Định lý 3.5.4). Dựa trên cơng thức này, đưa ra một ví dụ về đa thức 2 biến, với tập Λ(f)bằng rỗng (Ví dụ 3.5.11).
3.1 Cận sai s Hăolder ton cc ca tp di mc
Trong mục này, chúng tôi khảo sát s tn ti ca cn sai s H ăolder ton cục của tập dưới mức[f ≤ t]tương ứng vớit ∈ [inf f,+∞). Chúng tơi sẽ chỉ ra rằng có một tập thử để quyết định xem[f ≤ t]có cận sai s H ăolder ton cc hay khụng.
Cho f : Rn →Rlà một hàm đa thức. Đặt
Λ+(f) := {t ∈ [inf f,+∞) : [f ≤ t]cú cn sai s H ăolder ton cc (3.1)}. (3.3)
Định nghĩa 3.1.1( [16, 32]). ChoSlà một tập con củaRn.
(i) Dãy {xk} ⊂ S được gọi là dãy loại một của [f ≤ t] trên S nếu [f ≤ t] khác rỗng và
• kxkk → ∞,
• f(xk) >t, f(xk) → t,
• ∃δ >0 : dist(xk,[f ≤t]) ≥ δ> 0.
(ii) Dãy{xk} ⊂Sđược gọi làdãy loại hai của[f ≤t]trênSnếu[f ≤t]khác rỗng và
• kxkk → ∞,
• ∃M ∈ R :t < f(xk) ≤ M <+∞,
• dist(xk,[f ≤t]) → ∞.
NếuS =Rn thì ta quy ước gọi các dãy trên làdãy loại một (hoặc hai) của [f ≤ t]. Một số kết quả về cận sai số yêu cầu phải có điều kiện Slater và tính lồi. Định lý sau đây (xem [32, Định lý A]) là một tiêu chuẩn cho sự tồn tại của cận sai số H ăolder ton cc ca[f ≤ t]được đặc trưng hố bởi hai loại dãy nêu trên, khơng cần tính lồi hay điều kiện Slater.
Định lý 3.1.2. ( [32, Định lý A])Các điều kiện sau là tương đương:
(ii) [f ≤ t]có cận sai s Hăolder ton cc, tc l tn tiα,β,c >0sao cho
[f(x)−t]α
++ [f(x)−t]β+ ≥ cdist(x,[f ≤ t])với mọi x∈ Rn. Đặt
F+1 := {t ∈ R: [f ≤ t]có dãy loại một}, F+2 := {t ∈ R: [f ≤ t]có dãy loại hai}.
Định nghĩa 3.1.3. Đặt h+ := sup{t ∈ R: t ∈ F+2} nếu F+2 6= ∅, inf f nếu F+2 = ∅.
Ta gọih+ làngưỡng của cận sai số Hăolder ton cc ca f hoặc cịn gọi làngưỡng của bất đẳng thứcŁojasiewicz phía trên của f.
Định lý sau cho ta một công thức củaΛ+(f).
Định lý 3.1.4(Công thức thứ nhất của Λ+(f)). Ta có Λ+(f) = (h+,+∞)\F+1 nếu F+2 6=∅vàh+ ∈ F+2, [h+,+∞)\F+1 nếu F+2 6=∅,h+ 6=−∞vàh+ ∈/ F+2,
[inf f,+∞)\F+1 nếu F+2 = ∅, inff > −∞và f đạt infimum,
(inf f,+∞)\F+1 nếu F+2 = ∅, inff > −∞và f không đạt infimum,
R\F1
+ nếu F+2 = ∅và inf f = −∞.
Hơn nữa,Λ+(f)là một tập con nửa đại số củaR.
Chứng minh. Nếut ∈ F+2 thì tồn tại một dãy {xk} là dãy loại hai của[f ≤ t]. Lấy
t0sao choinf f ≤ t0 ≤ t, ta có[f ≤ t0] ⊆[f ≤t], giả sử hai tập này đều khác rỗng,
khi đó
dist(xk,[f ≤t0])≥ dist(xk,[f ≤ t]).
• F+2 =∅nếuh+ =inf f hoặch+ = −∞;
• F+2 = [inf f,+∞)hoặc (inf f,+∞)nếu h+ = +∞;
• F+2 = [inf f,h+]hoặc (inf f,h+]hoặc(−∞,h+]nếuh+ ∈ F+2; • F+2 = [inf f,h+)hoặc (inf f,h+)hoặc (−∞,h+)nếuh+ ∈/ F+2. Từ đó suy ra cơng thức của tậpΛ+(f).
Từ công thức của tập Λ+(f), ta chỉ cần chứng tỏ rằng F+1 là một tập nửa đại số. Ta có
F+1 ={t ∈ R|∃δ > 0 : ∀R >0,∀e >0,∃x ∈ Rn :kxk2 ≥ R2,
0 < f(x)−t < e, dist(x,[f ≤ t])≥ δ},
điều này chứng tỏ tậpF+1 có thể được xác định bởi một cơng thức bậc nhất. Từ đó theo Định lý 1.2.4,F+1 là tập con nửa đại số củaR. Định lý được chứng minh.
Nhận xét 3.1.5. Trường hợp [f ≤ inf f] = ∅, tức là f không đạt infimum, theo Định nghĩa 3.0.1, chúng tôi mặc định là tập [f ≤ inf f] không đạt cn sai s H ăolder ton cục. Do đó lúc nàyinf f ∈/ Λ+(f).
Mệnh đề 3.1.6. Cho f : Rn → R là một hàm đa thức và A : Rn → Rn là một đẳng cấu tuyến tính. Khi đó
Λ+(f ◦A) = Λ+(f).
Chứng minh.
Đặtg := f ◦A. Trước hết, ta chứng minh rằng nếut0 ∈ Λ+(g)thì t0 ∈ Λ+(f). Ta
có f(y) = f(A◦ A−1(y)) = g(A−1(y)). Do đó
[f(y)−t0]α
++ [f(y)−t0]+β = [g(A−1(y))−t0]α
++ [g(A−1(y))−t0]β+. (3.4) Dot0 ∈ Λ+(g)nên[g ≤t0]6=∅. Ta có
[g(A−1(y))−t0]α
++ [g(A−1(y))−t0]β+ ≥ cdist(A−1(y),[g ≤t0]). (3.5) Tồn tạix0 ∈ g−1(t),t ≤t0 sao cho
khi đó f(A(x0)) =t. Đặty0 = A(x0)và chú ý rằng Alà một đẳng cấu tuyến tính, ta có f(y0) = tvà tồn tại c0 > 0sao cho
c0ky−y0k ≥ kA−1(y)−A−1(y0)k ≥ 1
c0ky−y0k.
Từ đó kéo theo
dist(A−1(y),[g≤ t0]) =kA−1(y)−A−1(y0)k ≥ 1
c0ky−y0k ≥
1
c0 dist(y,[f ≤t0]).
Kết hợp đánh giá trên với (3.4) và (3.5), ta có
[f(y)−t0]α
++ [f(y)−t0]β+ ≥ c
c0 dist(y,[f ≤t0]),∀y∈ Rn,
tức là t0 ∈ Λ+(f). Khẳng định t0 ∈ Λ+(f) ⇒ t0 ∈ Λ+(g) được chứng minh tương tự.
Gọi d là bậc của đa thức f. Từ Mệnh đề 3.1.6, bằng một phép biến đổi tuyến tính thích hợp, ta có thể viết f dưới dạng monic theoxnsao cho tậpΛ+(f)khơng đổi qua phép biến đổi đó. Đặt
V1 := x ∈ Rn : ∂f ∂xn(x) = 0 . (3.6)
Kết quả sau đây cùng ý chứng minh được lấy cảm hứng từ Định lý 2.3 trong bài báo [34]. Ý tưởng chính là sử dụng Bổ đề 1.2.13 để xác định một tập thử cho cn sai s H ăolder ton cục, tập thử này được đưa ra lần đầu trong bài báo [33] trong trường hợp địa phương. Kết quả này và hệ quả của nó là hữu ích để tính h+ và
Λ+(f)trong trường hợp hai biến.
Định lý 3.1.7. Cho f có dạng monic theo xn. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) Không tồn tại các dãy loại một và loại hai của[f ≤t]trênV1; (ii) Tồn tạiα,β,c >0sao cho
[f(x)−t]α
++ [f(x)−t]β+ ≥cdist(x,[f ≤t]),
(iii) Tồn tại α,β,C >0sao cho
[f(x)−t]α
++ [f(x)−t]+β + [f(x)−t]1d
+ ≥ Cdist(x,[f ≤ t]),
với mọi x∈ Rn;
(iv) [f ≤ t]có một cận sai số Hăolder ton cc. Chng minh.
Ta sẽ chứng minh lần lượt theo sơ đồ sau:(i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv)⇒ (i).
(i) ⇒ (ii). Vớiτ >0, đặt
ψ(τ) := 0 nếu {[f(x)−t]+ = τ} = ∅ sup x∈{[f(x)−t]+=τ}∩V1 dist(x,[f ≤ t]) nếu {[f(x)−t]+ = τ} 6=∅. Theo giả thiết,ψ(τ)được xác định trên [0,+∞) và ψ : [0,+∞) → [0,+∞). Hơn nữa, từ Mệnh đề 1.2.7 và Hệ quả 1.2.8, ta cóψ(τ)là một hàm nửa đại số.
Để chứng minh (ii), ta cần biết dáng điệu của hàm ψ(τ) khi τ → 0 hoặc
τ → +∞. Ta có bốn trường hợp sau:
(a) ψ(τ) ≡0vớiτ đủ bé vàψ(τ) ≡0vớiτ đủ lớn; (b) ψ(τ) ≡0vớiτ đủ bé vàψ(τ) 6≡ 0với τ đủ lớn; (c) ψ(τ) 6≡ 0với τđủ bé và ψ(τ)≡ 0với τ đủ lớn; (d) ψ(τ) 6≡ 0với τđủ bé và τ đủ lớn.
Ta sẽ chứng minh (i)⇒(ii) cho trường hợp (d), các trường hợp khác có thể chứng minh tương tự.
Doψ(τ)là một hàm nửa đại số và do cách xác định hàmψcủa trường hợp (d) nênψ(τ) 6≡ 0với bất kỳ τ ∈ [0,δ)∪[r,+∞)với δ > 0đủ bé và r > 0 đủ lớn. Từ Bổ đề 1.2.12, tồn tại các hằng sốa> 0,b >0vàα, ˜˜ βsao cho
ψ(τ) = aτα˜ +o(τα˜)khiτ → 0, (3.7) và
Rõ ràngα˜ >0. Từ (3.7) tồn tại δ> 0sao cho
[f(x)−t]α1˜
+ ≥ a
2dist(x,[f ≤ t]), (3.9) vớix ∈ {z ∈ V1 :[f(z)−t]+ ≤δ}.
Từ (3.8) tồn tại∆ >0sao cho với x∈ {z ∈ V1 : [f(z)−t]+ ≥∆}thì ta có
[f(x)−t]+ ≥ b 2dist(x,[f ≤ t])nếu β˜ ≤ 0 (3.10) và [f(x)−t] 1 ˜ β + ≥ b 2dist(x,[f ≤ t])nếu β˜ >0. (3.11) Do không tồn tại dãy loại hai nên hàmdist(x,[f ≤ t])bị chặn trên tập
{z∈ V1 : δ ≤[f(z)−t]+ ≤∆}.
Điều này kết hợp với (3.9), (3.10) và (3.11) cho ta chứng minh (i)⇒(ii).
(ii) ⇒ (iii). Giả sử ta có (ii). Khi đó: