Cho f : (C2, 0) → (C, 0) là một mầm hàm giải tích chính quy cấpm theo biến x.
Đường cong được xác định bởi ∂∂xf = 0 được gọi là một đường cực. Một nghiệm Newton–Puiseux của ∂∂xf =0được gọi là mộtnhánhcủa đường cực hoặc đơn giản gọi lànhánh cực. Ký hiệuΓ(f) là tập các nhánh cực không là nghiệm của f = 0. Theo Teissier [81], ta có định nghĩa thương cực.
Định nghĩa 2.2.1(Tr.309, [27]). Tập hợp
Q(f) := {ordf(γ(y),y)|γ ∈ Γ(f)}
được gọi là tập các thương cực của f.
Ví dụ 2.2.2. Xét hàm f(x,y) = x
3 3 −xy
3. Ta có f chính quy theo x và ∂f
∂x = 0
có nghiệm Newton-Puiseux là x = ±y32,y ≥ 0. Hai nghiệm này đều không là nghiệm của f =0. Suy ra, tập hợp các thương cực là
Q(f) := 9 2 .
Trong phần này ta sẽ chứng tỏ rằng tập hợp các thương cực là một bất biến tô pô, kể cả trong trường hợp không thu gọn. Trước hết, ta cho một công thức tường minh của các thương cực theo xấp xỉ của các nghiệm Newton-Puiseux của f.
Cho γ(y) := ∑iaiyαi là một chuỗi Puiseux. Với mỗi số thực dương ρ, chuỗi
∑αi<ρaiyαi + gyρ, với g là một hằng số đủ tổng quát, được gọi là ρ-xấp xỉ của
γ(y). Với hai chuỗi Puiseux phân biệt γ1(y) và γ2(y), xấp xỉ của γ1(y) và γ2(y)
được định nghĩa là chuỗi ρ-xấp xỉ của γ1(y) (và vì vậy cũng là của γ2(y)), với
ρ:=ord(γ1(y)−γ2(y))làbậc tiếp xúccủaγ1(y)vàγ2(y).
Ví dụ 2.2.3. Hai chuỗiγ1(y) = y12 +y32 +y52 +. . . vàγ2(y) = y12 +y32 −y52 +. . . có chuỗi 52−xấp xỉ là
γ(y) = y12 +y32 +gy52.
Định lý 2.2.4. Cho f: (C2, 0)→ (C, 0)là một mầm hàm giải tích chính quy cấpmtheo
xvà lấyξ1, . . . ,ξr (r ≥2)là các nghiệm Newton–Puiseux phân biệt của f = 0. Khi đó
Q(f) =
trong đóξi,j là xấp xỉ củaξi vàξj.
Chứng minh. Lấy bất kỳ γ ∈ Γ(f). Từ định nghĩa ta có γ khơng là nghiệm của
f = 0nhưng là nghiệm của ∂∂xf =0.Vì vậy, nếu ta viết
f(X+γ(Y),Y) = ∑cijXiYNj , thì
f(γ(Y),Y) = ∑c0jYNj và ∂f
∂x(γ(Y),Y) = ∑c1jYNj ,
vớic0j 6= 0với jnào đó và c1j =0với mọi j.Do đó, trong đa giác NewtonP(f,γ)
của f tương ứng với γ, có một chấm trên đường thẳng X = 0nhưng khơng có chấm nào trên đường thẳngX = 1.Hơn nữa vì f chính quy cấpmtheox nên từ Định lý chuẩn bị Weierstrass, ta có thể giả sử
f(x,y) = xm +a1(y)xm−1+· · ·+am(y).
Vì vậy sau khi đổi biến f(X+γ(Y),Y)thì ta vẫn có(m, 0)là một đỉnh của đa giác NewtonP(f,γ).Bây giờ ta lấy EH là cạnh cao nhất vàEH là đa thức kết hợp của cạnh này. Khi đó, vì khơng có chấm Newton nào nằm trên X = 1 nên cạnh cao nhấtEH nối chấm thấp nhất trên X = 0với một chấm trênX = kvới k ≥ 2, cho nên ta có
degEH ≥ 2, EH(0)6=0, và d
dzEH(0) = 0.
Do đó, phương trình EH(z) = 0 có ít nhất hai nghiệm phân biệt khác không, đặt là c1,c2. Lấy γi,∞,i = 1, 2 là một kết quả cuối cùng của phép trượt của cung
y 7→ γ(y) +ciytanθH theo f,với θH là góc tương ứng với cạnh cao nhất EH.Ta có ord(γ1,∞(y)−γ2,∞(y)) =tanθH và
f(γi,∞(y),y)≡ 0 với i = 1, 2.
Lấyγ1,2 là xấp xỉ củaγ1,∞ vàγ2,∞.Áp dụng Bổ đề 2.1.2, ta suy ra rằng ordf(γ(y),y) = ordf(γ1,2(y),y),và vì vậy
Q(f)⊂
Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy cặp nghiệm phân biệt bất kỳ
ξ1,ξ2 của f và gọiξ1,2 là xấp xỉ củaξ1và ξ2. Khi đó ta có thể viết
ξ1,2(y) = ξ1(y) +gyρ +các từ cấp cao hơn
với glà hằng số đủ tổng quát vàρlà bậc tiếp xúc củaξ1 vàξ2. Ta có
f(X+ξ1(Y),Y) = ∑cijXiYNj .
Ký hiệu ∆ là tập hợp chứa các chấm Newton của đa giác Newton P(f,ξ1) thoả mãn hàm tuyến tính (i,j) 7→ ρi + Nj xác định trên P(f,ξ1) đạt giá trị nhỏ nhất, ta gọi là h0. Ký hiệu(i1, j1
N) là chấm thấp nhất của ∆, tức là chấm thuộc ∆ với i1
cực đại. Doξ1là một nghiệm của f = 0nên khơng có chấm nào củaP(f,ξ1)nằm trên đường thẳngX = 0,và bởi vậyi1 ≥ 1.
Ta ký hiệu φ(y) := ξ1(y) +gyρ và
F(X,Y) := f(X+φ(Y),Y) = ∑cij(X+gYρ)iYNj = ∑aijXiYNj . Chú ý rằng, vì (X+gYρ)iYNj = i ∑ k=0 CkiXk(gYρ)i−kYNj = i ∑ k=0 CkiXkgi−kYρ(i−k)+Nj
nên tất cả các chấm Newton của đa giác NewtonP(f,φ) của f tương ứng với φ
phải có dạng(k,ρ(i−k) + Nj )vớicij 6=0vàk =0, 1, . . . ,i, và(i1, j1
N)là một chấm Newton của P(f,φ) vì ai1j1 = ci1j1 6= 0. Vì g là hằng số đủ tổng quát nên điểm
(0,h0) với h0 như trên cũng là một chấm Newton của P(f,φ) (thật ra, ta lấy g
thỏa∑(i, j
N)∈∆cijgi 6=0). Ngoài ra, tất cả các chấm Newton củaP(f,φ)thuộc hoặc nằm bên trên đường thẳng chứa hai chấm là(0,h0)và(i1, j1
N). Điều này chứng tỏ
rằng cạnhEH nối(0,h0) và(i1, j1
N) là cạnh Newton cao nhất củaP(f,φ). LấyθH
vàEH(z) lần lượt là góc và đa thức kết hợp với cạnh Newton cao nhất EH. Ta có (xem Hình 2.2) tanθH = h0− j1 N i1 = ρi1 i1 = ρ, EH(z) = ∑ (i,Nj )∈EH aijzi = ∑ (i,Nj )∈∆ cij(z+g)i.
Từ định nghĩa củaφ, ta có thể viết
ξ1(y) = φ(y) +a1yρ+ các từ cấp cao hơn,
ξ2(y) = φ(y) +a2yρ+ các từ cấp cao hơn
vớia1 6=a2.Từ Bổ đề 2.1.2 thìa1 và a2 là các nghiệm của đa thứcEH(z).Đặc biệt, ta códegEH(z) ≥2.
Xét lược đồ Newton của f tương ứng với φ, vì ∂
∂X(XiYNj ) = iXi−1YNj nên ta dịch chuyển mọi chấm Newton(i, Nj )củaP(f,φ)tới(i−1,Nj ),nếui ≥1,và xóa tất cả các chấm Newton (0,Nj ). Từ đó ta có thể nhìn thấy lược đồ của ∂∂xf tương ứng vớiφtừP(f,φ).
Chú ý φ(y) = ξ1 + gyρ và do g đủ tổng quát nên ta có dzd EH(g) 6= 0. Vì vậy, trên lược đồ Newton f tương ứng φ, tồn tại một chấm Newton trên đường
thẳng X = 1. Vì vậy cạnh Newton cao nhất của đa giác NewtonP(∂∂xf,φ)có các đỉnh có tọa độ(0,h0−tanθH)và (i1 −1, j1
N), bởi vì với chấm Newton(0,h0)của
P(f,φ) thì cạnh cao nhất của đa giác này cắt X = 1 tại (1,h0−tanθH) và với chấm Newton cịn lại(i1, j1
(i1−1, j1
N). Phương trình cạnh cao nhất của đa giác đó là dzd EH(z) = 0. DoEH(z)
có hai nghiệm phân biệta1,a2, từ đó dễ thấy rằng tồn tại một sốc ∈ C\ {0} sao cho
EH(c)6=0 và d
dzEH(c) = 0.
Lấyγ∞ là một kết quả của phép trượt cungφ theo ∂∂xf. Từ Bổ đề 2.1.2 ta có ordf(γ∞(y),y) = ordf(φ(y),y).
Hơn nữa, từord(ξ1,2(y)−φ(y)) > ρ= tanθH, áp dụng tiếp Bổ đề 2.1.2 ta được ordf(ξ1,2(y),y) = ordf(φ(y),y).
Do đó, bao hàm thức ngược lại thỏa mãn. Định lý được chứng minh.
Tiếp theo, ta sẽ liên hệ kết quả trên với sự tương đương giữa hai mầm hàm. Hai mầm hàm liên tục f,g: (K2, 0) → (K, 0) được gọi là tương đương tô pô phải,
nếu tồn tại một mầm đồng phôiΦ: (K2, 0) → (K2, 0)sao cho f = g◦Φ. Ta cần đến kết quả sau của Parusi ´nski (xem [73, Định lý 0.1 và Chú ý 0.4]).
Định lý 2.2.5(Parusi ´nski [73]). Cho f,g: (C2, 0) → (C, 0) là các mầm hàm giải tích (khơng nhất thiết là thu gọn). Khi đó các điều sau đây là tương đương
(i) f và glà tương đương tô pô phải.
(ii) Tồn tại một tương ứng một–một giữa các nghiệm Newton–Puiseux phân biệt
x = αi(y) của f−1(0) và x = βk(y) của g−1(0) sao cho chúng bảo toàn bội của các nghiệm Newton–Puiseux này và các bậc liên kết, tức là các ord(αi−αj)
vàord(βk−βl), của các cặp nghiệm phân biệt bất kỳ.
Bây giờ ta sẽ chứng minh định lý sau đây về tính bất biến tơ pơ của tập các thương cực.
Định lý 2.2.6. Tập các thương cực của kỳ dị đường cong phẳng (không nhất thiết là thu gọn) là một bất biến tô pô.
Chứng minh. Cho f: (C2, 0) → (C, 0) là một mầm hàm giải tích thỏa mãn điều kiện chính quy theoxvà gọi ξ1, . . . ,ξr là các nghiệm Newton–Puiseux phân biệt với bội tương ứng làm1, . . . ,mr, khi đó:
f(x,y) = u(x,y)
r
∏
k=1
(x−ξk(y))mk,
trong đóulà một phần tử khả nghịch trong vànhC{x,y}. Nếur = 1thì tập các thương cực của f là rỗng và hiển nhiên định lý đúng. Bởi vậy giả sử rằngr ≥ 2. Ký hiệuξi,j là xấp xỉ của hai nghiệm phân biệtξi và ξj.Ta có
ord f(ξi,j(y),y) =
r ∑ k=1 mkord(ξi,j−ξk) = r ∑ k=1 mkmin{ord(ξi−ξk), ord(ξj−ξk)}.
Do đó, định lý là hệ quả trực tiếp của Định lý 2.2.4 và 2.2.5.