(a) Đồ thị biến khớp chủ động b) Đồ thị biến khớp bị động Hình 3.18: Kết quả của điều khiển PD
a) Kết quả của động lực học thuận b) Kết quả của điều khiển PD Hình 3.19. Đồ thị biểu diễn giá trị định thức và giá trị đáp ứng của phương trình liên kết
Đồ thị trên: det(J ) – nét liền, det(Jx ) – nét đứt; Đồ thị dưới: giá trị phương trình liên kết
Nhận xét: Từ các Hình 3.17 và Hình 3.18 ta thấy rằng chuyển động của robot là trơn tru. Hình 3.19 cho thấy các liên kết được duy trì ổn định mà khơng bị phá vỡ mặc dù robot chuyển động rất nhiều lần qua các cấu hình kỳ dị, tại đó det(J ) = 0
hoặc det(Jx ) = 0. Giá trị của các phương trình liên kết khi qua các điểm kỳ dị có tăng nhưng vẫn duy trì ở mức nhỏ, cỡ 10 7 và 10 8 [m]. Trong trường hợp robot chuyển động trong mặt ngang, với bộ điều khiển PD đơn giản nhưng vẫn đảm bảo đưa được robot đến vị trí mong muốn (Hình 3.18a).
Trong phần này, vấn đề vượt kỳ dị trong mô phỏng động lực học robot song song đã được giải quyết thành công nhờ không gian bù của ma trận Jacobi. Cùng với phương pháp ổn định Baumgarte, phương pháp chiếu hiệu chỉnh sau tích phân được bổ sung nhằm đảm bảo các liên kết khơng bị phá vỡ trong q trình mơ phỏng. Bài tốn hiệu chỉnh được giải quyết dựa trên cơ sở tối ưu hàm mục tiêu cùng với nhân tố phạt. Ưu điểm quan trọng nhất của việc sử dụng không gian bù là mơ phỏng số có thể được thực hiện liên tục vượt qua được các vị trí kỳ dị. Các mơ phỏng số được thực hiện đã chứng minh tính hiệu quả của phương pháp tiếp cận đề xuất.
3.6 Kết luận chương 3
Xây dựng mơ hình động lực cho robot song song là việc làm cần thiết để nghiên cứu chuyển động và điều khiển chúng. Sự ảnh hưởng của động lực học cơ cấu dẫn động lên robot song song đã được nghiên cứu và trình bày. Quá trình này làm cho các phương trình chuyển động mơ tả sát thực hơn với thực tế của các robot song song dẫn động bằng động cơ điện một chiều. Từ đây, các thuật tốn điều khiển có thể đưa ra thơng tin điều khiển chính xác hơn so với các thuật tốn thiết kế từ các mơ hình khơng tính tới hệ dẫn động. Các vấn đề về kỳ dị và vượt kỳ dị động lực học bằng thuật toán đề xuất đã được trình bày. Các kết quả mơ phỏng số đã cho thấy tính hiệu
quả của phương án đề xuất. Các nội dung trên đây là cơ sở cho nghiên cứu về điều khiển robot song song ở các chương tiếp theo.
Các nội dung trình bày trong chương này đã được tác giả công bố trong các
CHƯƠNG 4:
ĐIỀU KHIỂN TRƯỢT ROBOT SONG SONG CÓ KỂ ĐẾN HỆ DẪN ĐỘNG
4.1 Mở đầu
Mục đích của điều khiển trượt là đưa ra một bộ điều khiển có cấu trúc hạ bậc, tối thiểu là một bậc so với bậc của hệ thống. Tức là đặc tính trạng thái của hệ phải bám theo một đặc tính tiêu chuẩn cho trước gọi là mặt trượt. Để cho bộ điều khiển trượt hoạt động thì trạng thái của hệ từ một điểm bị sai lệch ban đầu phải tiến về mặt trượt (Hình 4.1). x2 x(t0) x1 Mặt trượt s = 0
Hình 4.1: Mơ hình điều khiển trượt
Đây là phương pháp điều khiển thích hợp với các hệ phi tuyến như robot song song. Lý thuyết cơ sở về điều khiển trượt được đưa ra bởi Emelyanov và cộng sự vào những năm 1950 [92][106]. Lý do chính để bộ điều khiển này được sử dụng rộng rãi là khả năng đáp ứng mạnh mẽ và độ ổn định trong điều khiển [107]–[109]. Mặc dù bộ điều khiển này được sử dụng trong phạm vi rộng nhưng nó cũng vẫn tồn tại những nhược điểm như: hiện tượng rung động tần số cao ở đầu ra của bộ điều khiển (hiện tượng chattering). Ngoài ra, bộ điều khiển này cũng rất nhạy cảm với tín hiệu nhiễu khi tín hiệu đầu vào rất gần với khơng và cuối cùng và cũng là vấn đề quan trong nhất để đảm bảo cho chất lượng điều khiển tốt đó chính là các thành phần động lực học phi tuyến trong cấu trúc của bộ điều khiển. Đây cũng là yếu tố khó xác định nhất vì nó phụ thuộc vào độ chính xác phương trình động lực học mơ tả chính xác đối tượng [110]–[113]. Nhằm làm tăng độ chính xác mơ tả động lực và điều khiển trong các phần tiếp theo đây sẽ nghiên cứu về bộ điều khiển trượt cho đối tượng robot song song có phương trình động lực mơ tả bao gồm cả động cơ đẫn động.
4.2 Một số bộ điều khiển truyền thống cho robot song song4.2.1 Điều khiển vị trí - điều khiển PD+bù trọng lực 4.2.1 Điều khiển vị trí - điều khiển PD+bù trọng lực
Đối với bài tốn điều khiển vị trí, ta có thể áp dụng luật PD + bù trọng lực như sau:
u (R T B s ) 1 K pe K d e gs (4.1)
với e = q -q d d 0 .
0 và e = q -q
Sự ổn định của hệ với luật điều khiển trên được chứng minh bằng cách chọn hàm Lyapunov sau
V 1T 1 T (4.2)
2q M (q )q 2e Kpe
Đạo hàm theo thời gian hàm V , chú đến phương trình (3.43), và chú ý đến tính chất phản đổi xứng của ma trận [M 2C ], ta có được
T 1 T T T
V q M (q )q 2q M (q )q e K pe q D (q )q Kdq 0 (4.3) Sơ đồ điều khiển vị trí - điều khiển PD + bù trọng lực được thể hiện trong Hình 4.2.
- u(t)
+ Tính u
- Robot
theo (4.1) +
Hình 4.2: Sơ đồ điều khiển vị trí - PD + bù trọng lực
Trong sơ đồ trên, Khối tính tốn nhận thơng tin phản hồi để tính ra giá trị tín hiệu điều khiển dựa theo thuật tốn PD. Khối “robot”, nhận tín hiệu điều khiển để thực hiện giải bài tốn động lực học thuận và đưa ra vị trí, vận tốc của các biến khớp.
4.2.2 Điều khiển PID dựa trên mơ men tính tốn
Bằng phương pháp điều khiển theo mơ men tính tốn (hoặc phương pháp tuyến tính hóa chính xác), ta chọn luật điều khiển như sau:
TB s )1 (4.4)
u (R M (q )v C (q , q )q b (q , q)
t
v qd K De K Pe K I 0 e ( )d
Tác động điều khiển (4.4) lên hệ (3.43) ta nhận được
M (q)( v) 0 . q Vì ma trận M (q) là xác định dương, nên từ (4.6) ta có q v 0 Chú ý đến (4.5) ta được (4.5) (4.6) (4.7) e K De K Pe K I t e ( ) d 0 (4.8) 0 hay e K De K Pe K I t e ( ) d 0 (4.9) 0
Đạo hàm phương trình (4.9) theo thời gian ta nhận được
e K e K e K e 0 . (4.10)
D P I
Nếu các ma trận xác định dương K D , K P ,KI được chọn là dạng đường chéo, từ (4.10) ta có được hệ các phương trình vi phân tuyến tính bậc 3 như sau
e k e k eik Iiei 0 i 1, 2, 3 (4.11)
i Di i Pi
Phương trình đặc trưng của (4.11) có dạng
i3 k Di i2 k Pi i kIi 0 i 1, 2, 3 (4.12)
Các điều kiện để nghiệm của phương trình đặc trưng (4.12) có phần thực âm được đưa ra theo tiêu chuẩn Hurwitz như sau:
k Di 0, k Pi 0, k Ii 0, k Di k Pi kIi 0, i 1, 2, 3 (4.13)
Như thế, nếu ta chọn các hệ số k Di , k Pi , kIi thỏa mãn điều kiện (4.13), thì nghiệm của hệ (4.11) sẽ tiệm cận về không theo luật mũ. Điều này dẫn tới q ( t ) qd ( t). Sơ đồ luật điều khiển PID dựa trên mơ men tính tốn được thể hiện trong hình Hình 4.3.
+
Tính
u theo (4.4) Robot
Hình 4.3: Sơ đồ luật điều khiển PID dựa trên mô men tính tốn
Trong sơ đồ trên, Khối tính tốn nhận thơng tin phản hồi để tính ra giá trị tín hiệu điều khiển dựa theo thuật tốn PID. Khối “robot”, nhận tín hiệu điều khiển để thực hiện giải bài tốn động lực học thuận và đưa ra vị trí, vận tốc của các biến khớp.
4.3 Điều khiển trượt robot song song trong không gian khớp4.3.1 Xây dựng luật điều khiển 4.3.1 Xây dựng luật điều khiển
Mục đích của việc thiết kế bộ điều khiển là tìm ra giá trị của điệp áp đặt vào các động cơ điện sao cho robot chuyển động bám theo quỹ đạo cho trước. Trong phần phần này trình bày việc thiết kế bộ điều khiển trong không gian khớp cho robot song song. Để thiết kế bộ điều khiển trượt, ta chọn mặt trượt có dạng như sau:
s e q (t ) e q (t ), diag([ 1 , 2 ,..., n ]) 0 (4.14)
i i
trong đó sai lệch e q ( t ) q i ( t ) qid (t) và e q ( t ) q i ( t ) qid ( t) .
i i
Thay vào biểu thức (4.14), ta được:
s q i (t ) q id ( t ) eq ( t) (4.15)
i
Ta đưa vào các ký hiệu q ir ( t ) q id ( t ) eq ( t) , từ đó ta có:
i
s q (t ) q r (t ), s q (t ) qr (t ) (4.16)
i i i i
Bằng cách đưa mặt trượt s 0 thì nghiệm eq (t ) của phương trình (4.14) sẽ
i
có dạng hàm mũ với số mũ âm. Vì vậy, theo thời gian eq (t ) 0 và như vậy
i
q i (t ) qid (t ) , robot chuyển động bám theo quỹ đạo mong muốn. Để xét tính ổn định của hệ, ta xét hàm Lyapunov có dạng như sau:
V 1s T M q (q i )s (4.17)
2 i
T 1 T (4.18) V s M q (q i )s 2s M q (q i )s i i Từ (3.43), (4.15) và tính chất phản đối xứng của ma trận N q i M (q i ) 2C q i (q i , qi ) ta suy ra:
q i Dq qi gq (qi ) Mq (qi )qi ] (4.19)
V s [tq Cq (qi ,qi )qi
T i i r i i i r
Dựa vào biểu thức (4.19), ta chọn luật điều khiển được xác định bằng công thức sau đây: t q i t eq tsmc , (4.20) với ˆ r ˆ r ˆ r gˆ q (qi ) (4.21) teq M q (q i )q i C q(q i , q i )q i Dq q i i i i i tsmc K pd s K ssgn(s) (4.22) u ( R T B) 1 qi (4.23)
trong đó các ma trận và véc tơ ˆ ˆ ˆ , gˆ q (qi ) là giá trị gần đúng của ma
M q (q ),C q (q , q i ), Dq i i i i trận và véc tơ M q (q ),Cq (q , q ), D , g q (q ) , sgn(s) [sgn(s ),sgn(s),...,sgn(sn)]T , các i q i 1 2 i i i i
ma trận K pd ,Ks là các ma trận đường chéo xác định dương, K pd KTpd 0,
K s KsT 0. Để cho đơn giản, ta chọn hai ma trận trên có dạng như sau:
K pd diag [k 11pd , k pd22 ,..., k pdnn ], Ksdiag [k s11 , k s22 ,..., ksnn ]
Áp dụng luật điều khiển (4.20) vào mơ hình động lực robot, ta thu được:
Mq (q )(qq r ) C q(q , q)(qi q r ) D (qi qr ) i i i i q i (4.24) i i i r r r g q (q) K pd s K ssgn(s ) M q (q )q i C q (q , q i )q i Dq q i i i i i hay Mq(q )s C q (q , q )s D qs K pds K sgn(s ) d q (q , q , q r , qr ) (4.25) i i i s i i i i i i i i với các ký hiệu: ˆ (q i ) M q (q i ), ˆ C q (q i , qi ), M q (q i ) M q C q (q i , q i ) C q (q i , q i ) i i i i i i ˆ Dq , g q(q i ) gˆ q (q i ) g q (qi ), Dq D q i i i i i i d qi (q i , q i , q ir , q ir ) M qi (q i )q ir C qi (q i , q i )q ir D qi q irg qi (qi ).
Từ phương trình (4.25) suy ra:
Mq(q )s C q (q , q )s D s K pds K sgn(s ) d q(q , q , q r , qr ) (4.26)
i i i q s i i ii
i i i i
T 1 T V s M q (q i )s 2s M q (q i )s i i T T 1 T (4.27) s [K pd D ]s s [K sgn(s ) d qi ] s M (q ) 2C (q , q ) s qi s 2 qii qii i s T [K pd Dqi ]s s T [K ssgn(s ) dqi ] Giả sử thành phần nhiễu dq bị chặn, tức là d q d0 hoặc d i d0 , rõ ràng n n i i s i d i s
i di,0 . Biểu thức (4.27) có thể viết lại dưới dạng như sau:
i 1 i 1 n n s T T T T (ii) V (K pd Dqi )s s K ssgn(s )s d qi s (K pd Dqi)sK s si sidi (4.28) i 1 i 1 n s T (K pd Dqi )s ( K s(ii) d i ,0 ) si i 1
thỏa mãn điều kiện Ks di,0 0 hay
Để V 0 , ta chọn các hệ số của ma trận Ks
(ii)
K s(ii) di,0 0 .
Sơ đồ điều khiển trượt trong khơng gian khớp được thể hiện trong Hình 4.4.
-
s
Tính tốn
và u Robot
Hình 4.4: Sơ đồ điều khiển trượt trong không gian khớp
Trên đây là bộ điều khiển trượt trong không gian khớp, với bộ điều khiển này cần dựa vào các thông tin phản hồi cả biến khớp chủ động lẫn các biến khớp bị động. Tuy nhiên, trong quá trình thiết kế điều khiển robot một số thơng tin của các biến khớp bị động khó có thể thu được bằng cách lắp đặt cảm biến lên thiết bị thực thì sơ đồ điều khiển có thể áp dụng kết hợp với bộ ước lượng động học như Hình 4.5.
1/s Tính theo (2.27) + - Bộ ước lượng động học - Tính tốn - Robot và u + + s - + +
Hình 4.5: Sơ đồ điều khiển trượt trong khơng gian khớp với bộ ước lượng động học
Trên đây là sơ đồ mô tả hoạt động của bộ điều khiển trượt với các thơng tin tính tốn trong khơng gian khớp. Trong đó, khối “tính tốn” thực hiện tính tốn và u theo công thức (4.20) và (4.23) dựa trên thông tin thu được là các biến khớp và sai lệch của biến khớp với giá trị tham chiếu. Khối “robot” thực hiện tính tốn bài tốn động lực học thuận từ các tín hiệu điều khiển nhận được để đưa ra giá trị đáp ứng là vị trí và vận tốc khớp.
4.3.2 Nội dung mô phỏng số
Thực hiện mô phỏng số áp dụng bộ điều khiển trượt vào mơ hình robot song song được trình bày trong mục 1.5. Trong mơ phỏng, các biến khớp bị động được tính tốn bằng cách sử dụng thuật tốn ước lượng động học cho robot song song. Thiết lập luật điều khiển trượt với các hệ số được chọn như sau:
L 8.75diag(1,1,1); K pd 800diag(1,1,1); Ks 750diag(1,1,1).
4.3.3 Kết quả mô phỏng số
Các kết quả mô phỏng được thể hiện từ các Hình 4.6 đến Hình 4.8
[rad] 1 [rad] 2 [rad] 3
Hình 4.7: Đồ thị biến khớp chủ động Hình 4.8: Sai lệch biến khớp chủ động
Trong phần này, bộ điều khiển trượt đã được triển khai thành công đề điều khiển robot song song 3RRR. Kết quả mô phỏng cho thấy chuyển động của bàn máy là trơn tru. Bộ điều khiển đã giúp cho bàn máy động bám quỹ đạo rất nhanh, thời gian đáp ứng chỉ khoảng 0.2 giây. Song song với đó, các dữ liệu điều khiển của bộ điều khiển SMC cũng được so sánh với bộ điều khiều khiển PD cho hệ động lực phi tuyến là robot song song phẳng 3RRR. Kết quả mô phỏng đã cho thấy ưu thế của bộ điều khiển SMC với robot song song.
4.4 Điều khiển trượt robot song song trong khơng gian thao tác4.4.1 Biến đổi hệ phương trình động học về dạng tọa độ tối thiểu trong 4.4.1 Biến đổi hệ phương trình động học về dạng tọa độ tối thiểu trong
khơng gian thao tác
Hệ phương trình động lực học mơ tả chuyển động của robot sử dụng hệ tọa độ suy rộng dư thuận tiện cho quá trình xây dựng cũng như q trình mơ phỏng. Để thực hiện điều khiển trong khơng gian thao tác, các phương trình động lực cần được chuyển về dạng tọa độ suy rộng tối thiểu với các biến trong không gian thao tác x với
số phương trình bằng với số bậc tự do của robot. Đạo hàm theo thời gian phương trình (3.10) ta thu được.
Jq(q )q J y J x 0,với y [qT , bT ]T (4.29)
y x
Giả thiết rằng ma trận Jacobi J y (q) f / y là chính quy. Biến đổi biểu thức
(4.29) ta thu được
q R x x . (4.30)
Trong đó ma trận Rx (q) m f được định nghĩa
1 (4.31)
Rx Jy J
x .
E
Đạo hàm theo thời gian phương trình (4.31) ta có
(4.32)
q Rxx Rxx .
Cần chú ý rằng ma trận R x (q) được định nghĩa bởi (4.31) thỏa mãn phương trình
J Rx 0 hoặc R T JT 0 . (4.33)
q x q
Để loại bỏ nhân tử l trong phương trình (3.19) thực hiện nhân hai vế của
phương trình với RxT
R xT M s (q )q C s (q , q )q D sq g s (q ) R xT J qT (q ) R xT B s u (4.34) Để có được phương trình chuyển động ở dạng tọa độ tối thiểu, q , q từ phương
trình (4.30) và (4.32) được thay vào phương trình (4.34) thu được
M x (x )x C x (x , x )x D x x g x (x ) RxT B s u : x (4.35) Trong đó: M (x ) RT M (q )R , x xs x C (x , x ) RT C (q , q )R M x , x (q )R x s xs Dx ( x) RxT Ds Rx , g x (x ) RxT g s (q) .
Tương tự như việc chứng mình tính chất với các ma trận M và N , trong
phương trình (4.35) các tính chất sau vẫn được đảm bảo: M x (x) là ma trận đối xứng, xác định dương và ma trận N x [M x (x ) 2C x (x , x)] là ma trận phản đối xứng [99]. Các tính chất này sử dụng để thiết kế bộ điều khiển trong không gian thao tác cho robot song song ở phần tiếp sau đây.
4.4.2 Xây dựng luật điều khiển trong không gian thao tác
Mục tiêu của bài tốn điều khiển là tìm ra quy luật của điện áp đặt vào động cơ dẫn động để cho bàn máy động của robot di chuyển theo một quỹ đạo mong muốn trong không gian thao tác được định nghĩa bởi phương trình xd (t ) . Cơ sở để điều
khiển robot song song trong không gian thao tác dựa trên phương trình động lực (4.35). Với bộ điều khiển trượt, mặt trượt được chọn như sau
s e x (t ) Le x (t ), L diag([ 1 , 2 ,... n ]) 0 , (4.36) Với sai lệch bám quỹ đạoe x (t ) x (t ) xd (t ) .
Đặt biến x r x d (t ) Lex (t ) , ta có s x xr và s x xr . (4.37) Để tìm luật điều khiển, hàm Lyapunov được chọn như sau
V 1s T M x ( x)s (4.38)
2
Đạo hàm theo thời gian ta thu được
T 1 T
V s M x (x )s 2s M x (x )s . (4.39) Từ phương trình (4.35) và (4.37) và tính chất phản đối xứng của ma trận M x
2Cx ta có
s T[ x C x (x , x )x r Dx (x )x g x (x ) M x (x )xr ] . (4.40)
V
Công thức (4.40) ta chọn luật điều khiển như sau
ˆ ˆ (x , x )x r ˆ gˆ x (x ) K pd s K s sgn(s) (4.41)
xM x (x )x r C x Dx (x )x r
ˆ ˆ ˆ (x ), gˆ x (x)là các ma trận ước lượng của ma trận
Trong đó M x (x ),C x (x , x ), D x
M x(x ),Cx(x , x ), D(x ), gx(x) , sgn(s) [sgn( s ),sgn( s ),...,sgn( s ) ]T , K pd và K s là các
x 1 2 n
ma trận đối xứng và xác định dương, K pd KTpd 0 ,K s KsT 0. Để đơn giản, ta