Trong phần này, bộ điều khiển trượt đã được triển khai thành công đề điều khiển robot song song 3RRR. Kết quả mô phỏng cho thấy chuyển động của bàn máy là trơn tru. Bộ điều khiển đã giúp cho bàn máy động bám quỹ đạo rất nhanh, thời gian đáp ứng chỉ khoảng 0.2 giây. Song song với đó, các dữ liệu điều khiển của bộ điều khiển SMC cũng được so sánh với bộ điều khiều khiển PD cho hệ động lực phi tuyến là robot song song phẳng 3RRR. Kết quả mô phỏng đã cho thấy ưu thế của bộ điều khiển SMC với robot song song.
4.4 Điều khiển trượt robot song song trong khơng gian thao tác4.4.1 Biến đổi hệ phương trình động học về dạng tọa độ tối thiểu trong 4.4.1 Biến đổi hệ phương trình động học về dạng tọa độ tối thiểu trong
khơng gian thao tác
Hệ phương trình động lực học mơ tả chuyển động của robot sử dụng hệ tọa độ suy rộng dư thuận tiện cho quá trình xây dựng cũng như q trình mơ phỏng. Để thực hiện điều khiển trong khơng gian thao tác, các phương trình động lực cần được chuyển về dạng tọa độ suy rộng tối thiểu với các biến trong không gian thao tác x với
số phương trình bằng với số bậc tự do của robot. Đạo hàm theo thời gian phương trình (3.10) ta thu được.
Jq(q )q J y J x 0,với y [qT , bT ]T (4.29)
y x
Giả thiết rằng ma trận Jacobi J y (q) f / y là chính quy. Biến đổi biểu thức
(4.29) ta thu được
q R x x . (4.30)
Trong đó ma trận Rx (q) m f được định nghĩa
1 (4.31)
Rx Jy J
x .
E
Đạo hàm theo thời gian phương trình (4.31) ta có
(4.32)
q Rxx Rxx .
Cần chú ý rằng ma trận R x (q) được định nghĩa bởi (4.31) thỏa mãn phương trình
J Rx 0 hoặc R T JT 0 . (4.33)
q x q
Để loại bỏ nhân tử l trong phương trình (3.19) thực hiện nhân hai vế của
phương trình với RxT
R xT M s (q )q C s (q , q )q D sq g s (q ) R xT J qT (q ) R xT B s u (4.34) Để có được phương trình chuyển động ở dạng tọa độ tối thiểu, q , q từ phương
trình (4.30) và (4.32) được thay vào phương trình (4.34) thu được
M x (x )x C x (x , x )x D x x g x (x ) RxT B s u : x (4.35) Trong đó: M (x ) RT M (q )R , x xs x C (x , x ) RT C (q , q )R M x , x (q )R x s xs Dx ( x) RxT Ds Rx , g x (x ) RxT g s (q) .
Tương tự như việc chứng mình tính chất với các ma trận M và N , trong
phương trình (4.35) các tính chất sau vẫn được đảm bảo: M x (x) là ma trận đối xứng, xác định dương và ma trận N x [M x (x ) 2C x (x , x)] là ma trận phản đối xứng [99]. Các tính chất này sử dụng để thiết kế bộ điều khiển trong không gian thao tác cho robot song song ở phần tiếp sau đây.
4.4.2 Xây dựng luật điều khiển trong không gian thao tác
Mục tiêu của bài tốn điều khiển là tìm ra quy luật của điện áp đặt vào động cơ dẫn động để cho bàn máy động của robot di chuyển theo một quỹ đạo mong muốn trong không gian thao tác được định nghĩa bởi phương trình xd (t ) . Cơ sở để điều
khiển robot song song trong không gian thao tác dựa trên phương trình động lực (4.35). Với bộ điều khiển trượt, mặt trượt được chọn như sau
s e x (t ) Le x (t ), L diag([ 1 , 2 ,... n ]) 0 , (4.36) Với sai lệch bám quỹ đạoe x (t ) x (t ) xd (t ) .
Đặt biến x r x d (t ) Lex (t ) , ta có s x xr và s x xr . (4.37) Để tìm luật điều khiển, hàm Lyapunov được chọn như sau
V 1s T M x ( x)s (4.38)
2
Đạo hàm theo thời gian ta thu được
T 1 T
V s M x (x )s 2s M x (x )s . (4.39) Từ phương trình (4.35) và (4.37) và tính chất phản đối xứng của ma trận M x
2Cx ta có
s T[ x C x (x , x )x r Dx (x )x g x (x ) M x (x )xr ] . (4.40)
V
Công thức (4.40) ta chọn luật điều khiển như sau
ˆ ˆ (x , x )x r ˆ gˆ x (x ) K pd s K s sgn(s) (4.41)
xM x (x )x r C x Dx (x )x r
ˆ ˆ ˆ (x ), gˆ x (x)là các ma trận ước lượng của ma trận
Trong đó M x (x ),C x (x , x ), D x
M x(x ),Cx(x , x ), D(x ), gx(x) , sgn(s) [sgn( s ),sgn( s ),...,sgn( s ) ]T , K pd và K s là các
x 1 2 n
ma trận đối xứng và xác định dương, K pd KTpd 0 ,K s KsT 0. Để đơn giản, ta
chọn hai ma trận sau có dạng đường chéo.
K pd diag{k 11pd , k pd22 , ..., kpdnn } ,Ks diag{k s11 , k s22 , ..., ksnn}. Thay luật điều khiển (4.41) vào phương trình (4.35) ta thu được
M x (x )(x x r ) C x (x , x )(x x r ) D x (x xr ) (4.42)
g x (q) K pd s K s sgn(s ) M x (x )x r C x (x , x )x r D x x r
Hoặc
M x (x )s C x (x , x ) Dxs K pd s K s sgn(s ) d x (x , x , x r , xr ) (4.43) Trong đó các thành phần bất định được định nghĩa
ˆ ˆ M x (x ) M x (x ) M x (x ), C x (x , x ) [C x (x , x ) C x (x , x)] ˆ g x (q ) gˆ x (q ) g x (q) D x D x D x , và d M x (x )x r C x (x , x )x r D x x r g x (q) từ phương trình (4.43) ta có M x (x )s s C x (x , x ) Dxs K pd s K s sgn(s ) d x (x , x , x r , xr ) (4.44) Thay phương trình (4.44) vào phương trình (4.39) ta thu được
T 1 T
V s M x (x )s 2s M x (x )s 1
T T T (4.45)
s [D x K pd]s s (K s sgn(s ) d x ) 2s [M x (x ) 2C x (x , x )]s
s T [D x K pd ]s s T (K s sgn(s ) dx )
Giả thiết rằng các thành phần bất định trong hệ thống được giới hạn, điều này có nghĩa là
| d | d0 , hoặc | d i | di,0
Với các lựa trọn như trên ta có
V s T [D x K pd ]s s T K s sgn(s ) s T d n s T [D K ]s K (ii) s x pd s i n s i d i i1 n s T [D K ]s ( K (ii) d ) s x pd s i i
Để đảm bảo rằng V 0 , các phần tử của ma trận Ks được chọn để thỏa mãn
K s(ii) di 0 hoặc K s(ii) di 0 .
Trong luật điều khiển (4.41) hàm không liên tục sign ( s) chính là thành phần
gây ra hiện tượng chattering. Nhằm giảm ảnh hưởng của thành phần này, hàm sign ( s) được thay thế bởi (2/ )atan(ks), k >> 1.
Tóm lại, luật điều khiển trượt robot song song trong không gian thao tác được thể hiện trong các công thức sau
s e x (t ) Lex (t ) , e x (t ) x (t ) xd (t ) x
r x d (t ) Lex (t ) , x r x d (t ) Lex (t ) , s x
ˆ ˆ ˆ 2
xM x (q )x r C x (q , q )x r Dxx gˆ x (q ) K pd s K satan( ks) (4.46)
u (RT B ) 1 x . (4.47)
x s
Luật điều khiển trượt robot song song trong không gian thao tác được được thể hiện trong Hình 4.9
s
Tính tốn
và u Robot