8. Giải thích một số khái niệm và thuật ngữ sử dụng trong luận án
2.1.1. Cơ sở lý thuyết về tổ hợp hình học Fractal
2.1.1.1. Phương pháp tạo hình Fractal theo tư duy hình khởi tạo hình phát
Có nhiều cách thức để tạo hình Fractal trong đồ họa. Về cơ bản, chúng đều phải áp dụng tính chất tự đồng dạng [2] theo kiểu đệ quy: lặp đi lặp lại một quá trình với mức độ nhỏ dần đều. Trong phần cơ sở này, chúng ta nghiên cứu phương pháp tư duy đơn giản nhất đó là tư duy hình khởi tạo - hình phát sinh [19, 40]. Theo đó, một số khái niệm cần làm rõ như sau:
- Hình khởi tạo - Initiator: Hình khởi tạo hay đối tượng ban đầu để tạo hình Fractal
được gọi là Initiator. Một Initiator có thể là một đoạn thẳng, một đa giác hay một đường cong (Hình trịn, ellip, v.v). Trong tự nhiên, một Initiator có thể là một đối tượng bất kỳ.
- Hình phát sinh - Generator: Một tập hợp được sắp hết từ những hình đồng dạng
của yếu tố khởi tạo (đoạn thẳng, đa giác v.v) được sử dụng để thay thế Initiator nhằm tạo nên hình Fractal mong muốn được gọi là một Generator.
- Mức - Level: Khi Initiator được thay thế bởi Generator, ta có “hình Fractal mức
1”. “Hình Fractal mức 1” này trở thành tập hợp Initiator với tỷ lệ nhỏ hơn và lại được thay thế bởi các Generator, ta được “hình Fractal mức 2”.
Hình 2.1. Ví dụ về hình khởi tạo, hình phát sinh, mức trong tam giác Sierpinski Hình khởi tạo Mức 0 Hình phát sinh Mức 1 Hình phát sinh Mức 2
Quá trình sinh hình Fractal lại được tiếp tục, v.v. Như vậy, có thể hiểu mức (hay level) của hình Fractal là số lần lặp lại việc thay thế Intiator bởi các Generator (Hình 2.1).
Để khiến cho hình ảnh mang tính chất tự nhiên, người ta có thể bổ sung thêm 1 biến thể ngẫu nhiên nào đó trong các bước. Ví dụ: Tạo một biến thể trên tam giác Sierpinski bằng cách xoay ngẫu nhiên các điểm góc sau mỗi lần q trình lặp lại được thực hiện. Giả sử chúng ta bắt đầu với hình tam giác bên dưới. Chúng ta bắt đầu, như trước đây, bằng cách loại bỏ tam giác giữa, sau đó thêm vào một số ngẫu nhiên (Hình 2.2).
Hình 2.2. Ví dụ về tạo ra biến thể ngẫu nhiên trong quá trình xây dựng thảm Sierpinski [81]
Quá trình này nếu cứ tiếp diễn, chúng ta có thể tạo ra cấu trúc tương tự như đồi núi. Bức phong cảnh (Hình 2.3) được tạo ra nhờ vào việc sử dụng Fractal kiểu như vậy, kết hợp tô màu và gán vật liệu, cho ra một hiệu quả bất
ngờ. Hình 2.3. Cảnh quan đồi núi dựa trên nguyên tắc
2.1.1.2. Đặc điểm của tổ hợp hình học Fractal
Kể từ khi Madelbrot đưa ra khái niệm Fractal vào năm 1975 đến nay, định nghĩa chính xác về Fractal vẫn cịn là một tranh luận trong giới khoa học. Tuy vậy, để nhận dạng một Fractal, các học giả, các nhà nghiên cứu [19, 23, 31, 62] đều có chung quan điểm:
- Mỗi tổ hợp Fractal là một hình thể có hình dạng bất thường, nhấp nhơ hoặc
gãy khúc, khó có thể mơ tả bẳng hình học Euclid; - Có tính tự đồng dạng trên nhiều tỷ lệ (self - similarity); - là hình thể siêu kích thước với số chiều lẻ.
a. Hình dạng bất thường
a) b)
Hình 2.4. VD về hình dạng bất thường của Fractal trong tự nhiên [21] a) và toán học [25] b) trong tự nhiên [21] a) và toán học [25] b)
Được biết đến như là hình học của tự nhiên, Fractal được tìm thấy trong hầu hết cấu trúc thiên nhiên. Sự khác biệt nổi bật của hình học Fractal so với các loại hình học khác đó là: các phân dạng hình học Fractal khơng phải là một hình thể đơn lẻ mà là cả một tổ hợp cấu trúc vốn phức tạp, nhiều tầng, nhiều lớp, khơng thể miêu tả chính xác bằng hình học Euclid (Hình 2.4). Như Mandelbrot đã nhận định, chúng ta khơng thể chỉ dùng hình cầu để đại diện cho các đám mây hay dùng hình nón thay cho các ngọn núi. Giống các hình thức tự nhiên và hỗn loạn, hình học Fractal có thể được thể hiện qua các đối tượng thô, xốp hoặc phân mảnh. Fractal bất thường và tự tương tự,
có độ phức tạp vơ hạn, được phát triển thông qua lặp đi lặp lại, phụ thuộc vào điều kiện ban đầu và là những dạng tổ hợp phổ biến trong tự nhiên [19, 57].
b. Tính tự đồng dạng (self - similarity)
a) VD về tính chất tự đồng dạng của Fractal trong tự nhiên - sơ đồ của Ed Mortimer về quá trình phân nhánh phát triển của cây cối [73]
b) VD về tính chất tự đồng dạng của Fractal trong tốn học [27]
Hình 2.5. Một số ví dụ về tính chất tự đồng dạng của Fractal
Theo Madelbrot, mỗi THHH Fractal là "một đối tượng hình học có thể được chia thành các phần nhỏ hơn, mỗi một trong số đó hoặc ít nhất mỗi mảnh trong số đó là bản sao kích thước thu nhỏ của tồn bộ" [23, 47]. Như vậy, tính tự đồng dạng chính là sự lặp đi lặp lại một hình thức nào đó ở các quy mơ khác nhau trong một tổng thể lớn hơn (Hình 2.5). Q trình này có thể diễn ra mãi mãi hoặc kết thúc ở một số bước lặp nhất định, tạo nên những sản phẩm có kích thước khác nhau nhưng chính nhờ tính tự đồng dạng mà người ta vẫn có thể nhận ra sản phẩm đó. Ví dụ, một miếng khoai tây chiên bị đập vỡ vụn thành nhiều mảnh nhỏ, nhưng khi quan sát các mảnh vỡ nhỏ khác nhau, người ta vẫn có thể nhận ra đó là miếng khoai tây chiên nhờ những đặc điểm đồng dạng về hình dáng và độ nhám bề mặt cùng với màu sắc, mùi vị. Với những THHH Fractal, tính chất tự đồng dạng cũng được phân ra nhiều loại, nhiều mức độ.
c. Kích thước / số chiều Fractal
Mỗi một Fractal được coi là mơt hình thể “siêu kích thước" [106] nghĩa là: rất khó xác định chính xác kích thước của các hình này với các đại lượng thơng thường chiều dài, chu vi, diện tích hay khối lượng. Chẳng hạn, khi các nhà sinh vật học so sánh hình dáng hai bộ rễ cây cùng loại (rễ cây được coi là những phân dạng Fractal tự nhiên), người ta đương nhiên sẽ nghĩ ngay đến độ phức tạp, chi tiết của các nhánh rễ. Khơng thể dùng khối lượng hoặc kích thước bao tổng thể dựa trên tốn học Euclid truyền thống để đánh giá số lượng nhánh, chi trong bộ rễ. Từ đó, khái niệm kích thước Fractal đã được đề xuất ra - đặc trưng cho sự phức tạp và mức độ che phủ khơng gian của chúng. Để xác định kích thước Fratal, người ta có thể dùng các phương pháp khác nhau, tiêu biểu là: Kích thước tự đồng dạng (self - similarity dimension) [14, 18, 56]. Kích thước này thường được dùng để tính tốn, áp dụng cho các tổ hợp Fractal được tạo ra chính xác bằng phương pháp tốn học. Gọi Ds là kích thước tự đồng dạng, N là số bản sao, r là số phân đoạn được chia trên một cạnh.
𝐷𝑠 = log 𝑁 log 𝑟
Theo đó, khác với các đối tượng trong hình học Euclid có số chiều là số tự nhiên (điểm có số chiều bằng 0, đường thẳng có số chiều bằng 1, diện phẳng có số chiều bằng 2, khối có số chiều bằng 3), các tổ hợp Fractal VD như hoa tuyết Kock (Hình 2.6) sẽ có số chiều là một số thập phân. Đó là một đường gãy khúc vơ hạn trên mặt phẳng vì phát triển theo hai phương (đường thẳng phát triển theo một phương) nhưng lại khơng thể bao kín mặt phẳng. Theo lý thuyết Fractal, số chiều của hoa tuyết Kock sẽ lớn hơn 1 (số chiều đường thẳng) nhưng nhỏ hơn 2 (số chiều mặt phẳng). 2.1.1.3. Một số tổ hợp hình học Fractal căn bản
a. Đường Von Kock
Đường Von Kock hay còn gọi là hoa tuyết Kock là tổ hợp do nhà toán học Thụy Điển Helge Von Kock giới thiệu năm 1904 (Hình 2.6) [9, 23, 25].
- Giai đoạn 0 (ban đầu), cho một đoạn thẳng bất kỳ.
- Giai đoạn 1, đoạn thẳng được chia làm 3 -
đoạn nhỏ ở giữa được thay thế bằng 2 đoạn
giống hệt tạo góc nghiêng 600 thu được 4
đoạn nhỏ hay bốn bản sao
- Giai đoạn tiếp theo, lặp lại tương với các đoạn thẳng bản sao thu được từ giai đoạn trước đó.
* Ds = Log 4 / Log 3 = 1,2619… b. Đường Minkowski
Đó là một tổ hợp đoạn thẳng được phát triển tương tự nguyên tắc của hoa tuyết Von Kock (Hình 2.7) [ 23, 25].
Cách xác lập:
Đoạn thẳng ban đầu được chia làm bốn đoạn - hai đoạn ở giữa được bỏ đi thay bằng một đường zigzag vuông từ sáu đoạn nhỏ. So với đường VonKock, tốc độ phát triển của đường này nhanh hơn, dày đặc hơn.
* Ds = Log 8 / Log 4 = 1,5. c. Tam giác Sierpinski
Đó là tổ hợp diện tam giác do nhà toán học Ba Lan Waclaw Sierpinski giới thiệu vào năm 1919 (Hình 2.8) [9, 23, 25].
Cách xác lập:
Cho một tam giác lớn ban đầu, chia đôi mỗi cạnh, nối các trung điểm tạo thành
một lõi tam giác chính giữa và ba tam giác nhỏ đồng dạng tam giác lớn ở xung Hình 2.6. Quá trình xây dựng tập Von Kock [30]
Hình 2.7. Quá trình xây dựng đường Minkowski [30] dựng đường Minkowski [30]
Hình 2.8. Quá trình xây dựng tam giác Sierpinski [30] tam giác Sierpinski [30]
quanh. Giai đoạn tiếp theo, qua trình này được lặp lại với ba tam giác bản sao xung quanh lõi. Mỗi cạnh tam giác lớn được chia làm hai.
* Ds = Log 3 / Log 2 = 1,585 d. Thảm Sierpinski
Đó là tổ hợp phát triển từ nguyên lý tam giác Sierpinski (Hình 2.9). Hình vng đầu (góc trái phía trên) của tấm thảm này bị khoét một lỗ trắng ở giữa. Sau khi chia mỗi cạnh làm ba, nó tạo thành 8 bản sao trong hình vng ban đầu [9, 23, 25].
* Ds = Log 8 / Log 3 = 1,8927.
e. Bọt biển Menger
Bọt biển Menger hay còn gọi là khối Sierpinski, được Karl Menger mô tả lần đầu tiên vào năm 1926 [23, 25, 93].
Cách xác lập
Bọt biển Menger là sự khái quát 3 chiều của thảm Sierpinski. Từ khối lập phương ban đầu, các diện bề mặt phân chia tương tự thảm Sierpinski cấp và đục thủng từ ơ vng chính giữa (Hình 2.10).
* Ds = Log 20 / Log 3 = 2,726
Hình 2.9. Quá trình xây dựng Thảm Sierpinski [9]
2.1.1.4. Một số hình thức phân loại trong hình học Fractal a. Theo mức độ tự đồng dạng
a.1. Đồng dạng tuyệt đối (exact - self similarity): Trong hình học, tốn học và
đồ họa máy tính nói chung, khái niệm tự đồng dạng có thể được diễn đạt rất trực quan và chính xác và ta có thể gọi đó là đồng dạng tuyệt đối [23, 25, 88] (Hình 2.11b).
a.2. Đồng dạng tương đối (quasi - self similarity): là những tổ hợp mà những
phân mảnh nhỏ hơn không giống hệt phân mảnh to hơn mà chúng là những phiên bản xấp xỉ (có thể là thối hóa, méo mó, thêm bớt các chi tiết...) [23, 25, 88]. Phần lớn các tổ hợp thiên nhiên được coi là Fractal đều có tính chất đồng dạng khơng hồn tồn như cành lá cây, đồi núi (Hình 2.11a).
a) a) b) Hình 2.11. Ví dụ phân loại Fractal theo mức độ tự đồng dạng [48, 93]
a) Đồng dạng tương đối - cây tự nhiên b) Đồng dạng tuyệt đối - cây dựng bằng máy
a.3. Đồng dạng thống kê (statistical self - similarity): Rất nhiều hình ảnh trong
tự nhiên có sự tương tự một cách thống kê, có nghĩa là mỗi phần có thể được coi là
Hình 2.12. Ví dụ đồng dạng thống kê biểu diễn bản đồ nước Anh [25]
một hình ảnh quy mơ nhỏ của tồn bộ [23]. Đường bờ biển, sự dao động của biểu đồ thời tiết hay thị trường chứng khốn là những ví dụ về đồng dạng thống kê. Với những đường Fractal đồng dạng thống kê, điển hình như đường bờ biển, chiều dài là thứ không xác định. Ở mỗi một tỉ lệ khác nhau, mức độ chi tiết và số phân đoạn là khác nhau. Tỉ lệ càng to, số phân đoạn càng lớn (Hình 2.12).
b. Theo quy luật đồng dạng
b.1. Đồng dạng có quy tắc: được tạo ra một cách "quy tắc" với cách thức phân hình được lặp lại chính xác theo từng cấp vì thế cấu trúc đồng dạng của nó có thể được dự báo trước [25] (Hình 2.13a).
b.2. Đồng dạng ngẫu nhiên (random Fractal) [25]: các quy tắc thực hiện cũng
một cách ngẫu nhiên khiến cho cấu trúc tổ hợp ở các cấp khác nhau là khác biệt và biến hóa khơn lường. Ví dụ trong tập Cantor, khơng xóa đi phần giữa, mà xóa đi một phần ngẫu nhiên. Có thể là, gieo con xúc xắc nếu rơi một hoặc hai chấm thì có thể bỏ đi phần 1. Nếu xuất hiện ba, bốn thì ta bỏ đi phần 2. Cịn nếu xuất hiện năm, sáu thì bỏ đi phần 3 (Hình 2.13b).
c. Theo nguồn gốc
c.1. Fractal tốn học (nhân tạo)
Đó là các tổ hợp Fractal do con người tạo ra dựa trên các quy luật đồng dạng
có quy tắc, đồng dạng tuyệt đối, có thể biểu diễn bằng các thuật tốn và lập trình trong máy tính [19, 93] (Hình 01a).
c.2. Fractal trong tự nhiên
Đó là các cấu trúc bất thường trong tự nhiên tương ứng với quy luật đồng dạng ngẫu nhiên, tương đối hoặc mang tính thống kê trên các tỷ lệ, ví dụ hoa lá, cành cây, rễ cây, sơng ngịi, vết nứt trên mắt kính v.v. Một số học giả gọi chúng là các cấu trúc tương tự Fractal [19, 93] (Hình 01b).
a) b) Hình 2.13. Ví dụ phân loại Fractal
theo quy luật đồng dạng
2.1.2. Cơ sở lý thuyết về tổ hợp kiến trúc
2.1.2.1. Ngơn ngữ và quy luật tạo hình của tổ hợp kiến trúc
Ngôn ngữ THKT được quy về 4 thành phần cơ bản của hình học đó là: Điểm, tuyến, diện, khối.
Tạo hình trong THKT tuân theo các quy tắc căn bản về bố cục và liên kết được tóm tắt như bảng 2.1 (xem thêm Phụ lục 1, 2, 3).
Bảng 2.1. Hệ thống quy luật tạo hình tổ hợp kiến trúc [32] A. CÁC DẠNG BỐ CỤC CỦA TỔ HỢP 1. Bố cục hướng tâm 2. Bố cục dạng tuyến 3. Bố cục dạng tia 4. Bố cục tập trung 5. Bố cục dạng lưới C. CÁC NGUYÊN TẮC TỔ CHỨC LIÊN KẾT
1. Trục 2. Đối xứng 3. Tính cấp bậc 4. Mốc liên kết 5. Tính nhịp điệu
2.1.2.2. Đặc điểm của tổ hợp kiến trúc a. Tổ hợp kiến trúc và cơng năng a. Tổ hợp kiến trúc và cơng năng
Có nhiều dạng hình thức tổ hợp, được phân biệt nhau bởi bố cục và các nguyên tắc liên kết. Mỗi dạng tổ hợp lại phù hợp sáng tạo ra các cơng trình với chức năng đặc trưng riêng. Có một số dạng tổ hợp chính [3, 14, 15] với các đặc điểm như sau:
a.1. Tổ hợp kiểu tập trung: Các phòng nhỏ quây xung quanh khơng gian lớn
có tác dụng tạo cho cơng trình sự đồ sộ, bề thế (Hình 2.14). Tác dụng: tạo mối quan hệ công năng chặt chẽ, rõ ràng, tiết kiệm khơng gian diện tích giao thơng. Chức năng kiến trúc phù hợp: loại cơng trình với các hoạt động đơn năng như: sân vận động, rạp chiếu phim, rạp hát, nhà triển lãm sản phẩm công nghiệp, xưởng sản xuất lắp ráp cơ khí...
Tổ hợp hình khối: vì thể tích khối lớn nên việc phát triển tổ hợp với các chỉ tiết phân mảng, tạo nhịp điệu, tạo khoảng đặc rỗng để làm nhẹ bớt khối và lấy sáng là điều cần thiết và chú ý.
a.2. Tổ hợp kiểu thơng phịng, xâu chuỗi: các không gian thông trực tiếp qua nhau, tạo thành chuỗi liên tục, có khả năng tạo thành một hệ thống không gian liên tục, phong phú, nhiều bất ngờ, liên hệ theo một dây chuyền bắt buộc. Tác dụng: tiết kiệm khơng gian giao thơng, có quan hệ cơng năng chặt chẽ, dễ tạo hình khối đa dạng phong phú, tranh thủ được gió mát, tránh nắng (Hình 2.15). Chức năng kiến trúc phù hợp: bảo tàng, phân xưởng lắp ráp, các khu vực vui chơi giải trí khơng địi hỏi các hoạt động đặc biệt cần tách biệt, v.v.
Tổ hợp hình khối: có thể kết hợp dạng xoắn ốc để chuyển tổ hợp từ phát triển chiều ngang trên mặt bằng lên phát triển cả chiều cao và chiều ngang. Hình thức dạng chuỗi cũng có thể tạo nên những khối kiến trúc lớn trên mặt bằng nên cần chú ý: phân vị, tạo khoảng đặc rỗng, tạo các chi tiết có tính nhịp điệu để giảm bớt độ dài và tạo điều kiện chiếu sáng
a.3. Tổ hợp kiểu hành lang: các khơng gian biệt lập bố trí dọc hai bên hành lang (hành lang giữa) hoặc chỉ một phía (hành lang bên) (Hình 2.16). Tác dụng: mối quan hệ công năng rõ ràng, tạo được sự tiện lợi, không ảnh hưởng đến nhau giữa các hoạt động cần sự kính đáo, sự cách ly, tính độc lập tương đối, hình khối dàn trải, có