Biện pháp 1: Dạy các kỹ năng và các thao tác tư duy để học sinh tự tìm các

2.2. Một số biện pháp nhằm bổ trợ năng lực giải toán trắc nghiệm khách quan cho

2.2.1. Biện pháp 1: Dạy các kỹ năng và các thao tác tư duy để học sinh tự tìm các

giải khác nhau, từ đó lựa chọn cách giải nhanh cho bài toán trắc nghiệm khách quan

Trong việc dạy cho học sinh tự học, việc hình thành ý thức tự giác chiếm lĩnh kiến thức, sẵn sàng tiếp thu những cái mới và biết thay đổi là điều tất yếu. Trong quá trình hình thành việc tự học, tự giải quyết vấn đề thì việc xây dựng ý tưởng, đường đi cho học sinh rất quan trọng, người dạy phải trang bị đầy đủ kiến thức cho người học. Việc hình thành ý tưởng khi học và tìm ra được biện pháp cho vấn đề đang học là mục đích người dạy muốn người học làm được. Giáo viên cần cho học sinh hiểu ý tưởng của mình, giải pháp của mình có thể đúng có thể khơng đúng, nhưng học sinh phải nhận ra được điều đó, sau đó tìm ra cách giải tối ưu để giải quyết được vấn đề của mình. Do đó, khi giải quyết các vấn đề người học phải hiểu được:

 Cách giải đó đúng chưa, giải nhanh hay chậm?

 Vấn đề đưa ra có bao nhiêu cách giải quyết.

 Cách giải đó đã tốt nhất chưa?

 Cách giải đó có thể dùng để giải một số bài tốn khác khơng?

 Một vấn đề có nhiều cách giải thì nên chọn cách nào là tối ưu nhất? Có thể nói đó là các tiêu chí mà người học cần hiểu rõ, phải ý thức được khi giải quyết các vấn đề của mình. Sau khi giải được bài toán, bước quan trọng tiếp theo là học sinh phải đánh giá được lời giải của mình xem đúng hay sai, bài tốn đó có bao nhiêu cách giải, cách giải mình làm đã tốt nhất chưa hay cịn những cách khác và có thể dùng cách giải đó để làm các bài tốn khác hay khơng. Tất cả những điều đó bỗi dưỡng học sinh

độ khác nhau, có cách nhìn bao qt. Từ đó giúp học sinh phát triển năng lực giải toán theo nhiều hướng, rèn luyện các kỹ năng cho học trò:

 Kỹ năng lập luận, phân tích tổng hợp, lập luận và tốc độ giải tốn

 Kỹ năng định hướng, tìm cách giải nhanh cho bài toán

 Kỹ năng chọn phương pháp giải toán phù hợp

 Kỹ năng suy luận lời giải, đánh giá bài giải

 Kỹ năng phát hiện bài toán mới, huy động các kiến thức liên quan

Các kỹ năng này được thể hiện ở các ví dụ sau:

Vi dụ 2.1: Cho hàm số 3 2

3 9 1

yx  x  x . Xác định khoảng nghịch biến của hàm số?

A. (4: +∞) B. (0:2) C. (−∞: −1) D. (-2:4)

- Giáo viên hỏi: Hàm số nghịch biến khi nào?

- Học sinh: đạo hàm phải âm tức y'0 với mọi x thuộc khoảng xác định

- Học sinh giải bài toán: HS dùng máy tính cầm tay để giải bài tốn, tính giá trị đạo hàm tại một số điểm thuộc khoảng mà ta đang xét (chọn giá trị phù hợp thuộc khoảng đó) Các đáp án A, C, D đều sai vì y' 5 0; 'y   2 ; ' 3,5y  0 , dùng phương pháp loại trừ ta được đáp án là B.

- Giáo viên nhận xét: đây là bài tốn nhận biết nên chúng ta có thể dùng cách này (y'0

với mọi x thuộc khoảng đang xét, một trường hợp sai là sai). - Giáo viên hỏi: Khó khăn của cách này là gì?

- Học sinh: phải nhớ điều kiện dấu đạo hàm, quan trọng nữa là chọn điểm phù hợp để tính giá trị đạo hàm, tìm ra sự khác biệt giữa các đáp án với nhau, mất thời gian để lựa chọn điểm rơi.

- Giáo viên nhận xét: chỉ nên áp dụng cho những bài toán đơn giản.

Một học sinh khác giải như sau:

Tập xác định: D Ta có: 2 ' 3 6 9 ' 0 1 3 y x x y x x          Bảng biến thiên

x - ∞ -1 3 + ∞ y’ + 0 - 0 + y 6 + ∞ - ∞ -26

Từ đó ta chọn đáp án B.

Giáo viên nhận xét: đây là cách giải hồn tồn chính xác, trình bày rõ tư duy và cách suy luận của mình. Tuy nhiên, khi làm trắc nghiệm cần làm chính xác trong thời gian ngắn nên khi trình bày tự luận thì một số khâu có cảm giác thừa, tất nhiên sẽ mất nhiều thời gian. Do đó, việc lựa chọn cách làm sao cho nhanh gọn, hiệu quả là rất quan trọng.

Ví dụ 2.2: Cho hàm số 1 3 2 1

3 3

y x x  x . Hàm số đồng biến trên khoảng nào sau đây? A. 1; B. ;1 C. 10;10 D.  ; 

- Bài tốn liên quan đến tính đơn điệu của hàm số, học sinh cần nhớ lại các nội dung đã học, hãy nêu cách suy nghĩ của mình, nhận xét cách giải của các bạn khác.

- Giáo viên cần tạo môi trường học thực sự tức là học sinh cần hoạt động, tự tìm tri thức. Trong giờ học cần tự mình viết ra cái mình nghĩ, cái đích hướng đến của bài tốn, từ đó chọn cách giải phù hợp nhất.

- Giáo viên cho học sinh lên bảng giải bài toán.

Lời giải thứ nhất:

Học sinh dùng máy tính cầm tay tính các giá trị đạo hàm, học sinh tính mãi thấy đáp án nào cũng đúng cả( vi dụ: y' 2 0; 'y   4 0; '(12)y 0; '( 20)y  0 ), học sinh thấy hoang mang cả 3 đáp án A, B, C đều đúng cả. Vậy đâu là đáp án của bài tốn?

Tất nhiên sẽ có học sinh nghĩ đến đáp án D, nhưng độ tin tưởng không cao.

Lời giải thứ hai:

Tập xác định: D

Ta có: 2  2

' 2 1 1 0,

y x  x  x   x Do đó, hàm số đồng biến trên .

Giáo viên chốt lại một nhận xét quan trọng:

Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên tập D khi đó:

o Nếu f '(x)  0, x D, dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số f x( ) đồng biến trên tập D

o Nếu f x'( )  0, x D, dấu “=” xảy ra tại hữu hạn điểm thì hàm số f x( ) nghịch biến trên tập D

Do dó giáo viên kết luận: tính đồng biến nghịch biến của hàm số phụ thuộc vào dấu của

đạo hàm, khi làm các dạng bài học sinh cần lựa chọn cách phù hợp với năng lực của mình.

Khi cần đưa một vấn đề mới, người thày nên xây dựng từ cái mà học sinh đã có, đã làm được rồi. Từ đó hình thành kiến thức mới một cách tự nhiên, mà do chính học sinh xây dựng nên.

Chẳng hạn khi học sinh đã có cách nhìn về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số, giáo viên muốn xây dựng về kiến thức cực trị hàm số thì nên thế nào? Ta xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 2.3 Tìm khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số sau? Tự xây dựng các

câu hỏi trắc nghiệm cho mình (tối thiểu 2 câu hỏi) y  x4 8x22

Giáo viên tạo điều kiện cho học sinh lên bảng trình bày lời giải.

Lời giải của học sinh

Tập xác định: D Ta có: 3 ' 4 16 ' 0 0 2 y x x y x x          Bảng biến thiên: x - ∞ -2 0 2 + ∞ y’ + 0 - 0 + 0 - y 18 18 -∞ 2 - ∞

Do đó: hàm số đồng biến trên các khoảng (- ∞; -2) và (0;2), nghịch biến trên khoảng (-2;0) và (2; + ∞).

Giáo viên nhận xét: 0; 2 đều thuộc tập xác định và quan trọng hơn là đạo hàmy' đổi dấu qua các giá trị này. Ta có tên gọi như sau:

Đạo hàm đổi dấu từ dương sang âm ta được điểm cực đại, đạo hàm đổi dấu từ âm sang dương ta được điểm cực tiểu của hàm số.

Ta có xCĐ = 2 : điểm cực đại của hàm số và yCĐ = 18 giá trị cực đại của hàm số xCT = 0: điểm cực tiểu của hàm số và yCT = 2 giá trị cực tiểu của hàm số

và điểm (2 ;18) là điểm cực đại của đồ thị hàm số, điểm (0;2) là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.

Hình thành kiến thức một cách tự nhiên, chỉ xem kiến thức như tên gọi mới, giảm căng thẳng cho học sinh.

Giáo viên có thể gợi ý để học sinh quen với cách nghĩ ra câu hỏi mới, đề bài mới để làm và thực hành ở nhà.

Chẳng hạn từ bài trên ta có thể nghĩ đến các câu hỏi và ra đề theo hướng: o Hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng nào.

o Hàm số có bao điểm cực trị

o Ba điểm cực trị tạo thành tam giác gì

o Viết phương trình đường cong đi qua 3 điểm cực trị của đồ thị hàm số o Hàm số bậc 4 khi nào có một cực trị, khi nào có 3 điểm cực trị

o Hai điểm cực đại đối xứng qua trục nào…

Nhận xét: Để xây dựng cho học sinh ý thức học và khai thác những gì đã có phụ thuộc rất

nhiều vào cách dạy và môi trường lớp học, năng lực của học sinh.

Ví dụ 2.4: Cho hàm số 1 3  2  2   3

1 2 1 2018 1 3

y x  m  x  m xm  m

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 khi m bằng A. m2 B. m 1 C. m   1 m 2 D. m   1 m 2018 Giáo viên mời một số bạn lên giải bài toán

Lời giải thứ nhất:

Tập xác định: D

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 nên   2

' 1 0 2 2 4 0 1 2

y    m  m      m m Nên ta chọn đáp án là C

Lời giải thứ hai:

Học sinh thứ hai đem thử các giá trị của m (xét các trường hợp m = 1; m = 2; m = 2018). Bạn ra được đáp án là B

Lời giải thứ ba:

Tập xác định: D

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 nên y' 1      0 m 1 m 2 Thử lại: m = -1: y'' 1 2 nên m = - 1 thỏa mãn

m = 2: y'' 1  4 nên m = 2 không thỏa mãn chọn đáp án là B

Nhận xét: Khi đọc ba cách giải trên, ban đầu ta nghĩ cách nào cũng có lý và hợp lý cả

nhưng khi phân tích kỹ càng thì cần xét lại:

Cách thứ nhất: rõ ràng chưa chuẩn vì mới được điều kiện cần để đạt cực tiểu, chưa phải

điều kiện đủ. Học sinh chưa vững kiến thức cơ bản, cần đọc lại lý thuyết.

Cách thứ hai: chúng ta có thể làm cách thủ công thế này, nhưng sẽ mất nhiều thời gian để

thử và quan sát. Khi làm trắc nghiệm thì gặp bất lợi khơng đủ thời gian, đặc biệt khi có nhiều giá trị m thì quá trình thử sẽ mất rất nhiều công sức.

Cách thư ba: hợp lý nhất, hiểu được cách dùng dấu hiệu hai để tìm cực trị của hàm số tại

một điểm.

Tuy nhiên, vẫn với đề bài trên ta thay đổi câu hỏi thì cách thứ nhất và thứ hai gần như khơng thể làm được hoặc khơng chính xác.

Chẳng hạn ta đổi thành các câu hỏi như sau:

o Có bao nhiêu giá trị m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 o Tính tổng (tích) các giá trị m để hàm số đạt cực tiểu tại x =1 o Có bao nhiêu giá trị dương của m để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 o m là nghiệm của phương trình nào để hàm số đạt cực tiểu tại x = 1…

Như vây, để định hướng cho học sinh chọn giải pháp đúng và hợp lý, giáo viên cần chọn lọc dạng bài cụ thể và đưa ra những chú ý quan trọng, từ đó giúp học sinh tìm ra lỗi trong cách giải của mình.

Nhận xét: Khi giải các bài toán trắc nghiệm, tất nhiên trong bốn đáp án có đến 3 đáp án

nhiễu, khơng đúng. Những đáp án không đúng thường gắn với cách suy nghĩ sai của học sinh, do đó giáo viên phải dạy học sinh cách nhìn nhận, đánh giá lại lời giải của mình.

Ví dụ 2.5 (Đề thi THPT quốc gia 2018): Cho hàm số 4 2  

( ) , ,

f x ax bx c a b c .

Đồ thị hàm số y f x( ) như hình vẽ bên. Số nghiệm của phương trình 4 ( ) 3f x  0 là:

A. 0 B. 2 C. 4 D. 3

Khi gặp bài toán này, học sinh sẽ cảm thấy hơi bất ngờ một chút. Bình thường học sinh thường quen giải phương trình với ẩn là biến x hay y cụ thể, phương trình rõ ràng. Tuy nhiên bài tốn này, đa số học sinh sẽ nghĩ giải để tìm hàm số, tìm nghiệm thế nào đây?

Thực ra đây là bài tốn rất quen thuộc nói về sự tương giao của hai đồ thị hàm số, mà trực tiếp là giữa đồ hàm số y f x( ) và một đường thẳng yd.

Giáo viên mời học sinh lên giải với ẩn f x( ) Học sinh sẽ giải được ngay nghiệm là ( ) 3

4

f x 

Học sinh sẽ nói được thực ra là số nghiệm của phương trình là số giao điểm của đồ thị hàm số y f x( ) và đường thẳng 3

4

y .

Từ đồ thị hàm số y f x( ) ta có số nghiệm của phương trình là 4. Ta chọn đáp án là C.

Như vậy: Khi dạy cho học sinh cũng cần cho học sinh sự điềm tĩnh, suy nghĩ cẩn thận,

chuyển bài toán lạ thành quen thuộc. Khi đã nhìn nhận được vấn đề để làm, giáo viên yêu cầu học sinh đưa thêm những câu hỏi tương tự, chẳng hạn:

o Số nghiệm của phương trình 2 ( ) 3f x  0

o Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt 4 ( )f x  m 0 o Biện luận theo m số nghiệm của phương trình m1 f x( ) m 0 …

Đấy là một số ý tưởng để đưa ra các bài toán, các câu hỏi mới để học sinh tự rèn luyện tư duy, các dạng toán, chuyển lạ thành quen. Bài tốn sẽ cịn thay đổi khi ta thay đổi đồ thị, thay đổi phương trình hay thêm tham số, thêm giá trị tuyệt đối hay căn thức…

Chẳng hạn, vẫn đồ thị trên câu hỏi có thể đổi thành: o Số nghiệm của phương trình 3 2

2f ( ) 3x  f ( ) 2 ( )x  f x 0

o Tìm m để phương trình có nghiệm nhiều nhất( hay ít nhất) 2 ( ) 0 ( )

f x m

f x

  …

Khi giải toán về hàm số, cái đầu tiên học sinh cần hiểu hàm số đang làm xét trên tập nào, đấy chính là tập xác định của hàm số. Ta xét ví dụ sau:

Ví dụ 2.6 (Đề thi THPT quốc gia 2018): Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

2 4 2 x y x x     là: A. 3 B. 0 C. 2 D. 1

Khi gặp bài tốn này học sinh hay nhìn ngay đến mẫu số, vội vàng đưa ra kết luận.

Lời giải thứ nhất: Tập xác định D \1;0 Ta có:  1  1 lim ; lim x x y y           0 0 1 1 lim ; lim 4 4 x x y y       Do đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x = -1. Chọn đáp án D

Lời giải thứ hai: Tập xác định: D   4;  \ 1;0 Ta có:  1  1 lim ; lim x x y y           0 0 1 1 lim ; lim 4 4 x x y y      

Do đó, đồ thị hàm số có một tiệm cận đứng x = - 1. Chọn đáp án D.

Nhận xét: Mới đầu nhìn có vẻ hai cách làm giống nhau, khi suy nghĩ kỹ ta sẽ thấy nó khác

nhau khá lớn.

Lời giải một nhìn nhận sai về tập xác định, cũng có thể học sinh chỉ chú ý đến mẫu số

hoặc chỉ nhìn mẫu số để đưa ra đáp án.

Lời giải thứ hai tìm đúng tập xác định, cách làm chuẩn hợp lý.

Có thể nói đây là một cái khác giữa trắc nghiệm và tự luận. Trắc nghiệm như hiện nay thì học sinh tô đáp án đúng là đúng, còn cách làm hay quan trọng là quá trình tư duy, suy nghĩ của học sinh giáo viên khơng biết được. Thậm chí học sinh nghĩ ngay là nghiệm của mẫu số là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số, nên chọn ngay đáp án C (2 đường tiệm cận). Nếu suy nghĩ như vậy, chắc chắn sai chỉ đúng với một vài trường hợp đơn giản. Chẳng hạn với bài tốn

Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 2 4 2 4 2 1 ; ;.... 5 3 4 x x y y x x x x         khơng có

đường tiệm cận đứng. Khi tìm đường tiệm cận, cần tìm chính xác tập xác định của hàm số sau đó mới tìm các đường tiệm cận.

Ví dụ 2.7: Cho hàm số 2 1 2 2 x y x mx m  

   Hỏi có bao nhiêu giá trị m để đồ thị hàm số có