CHƢƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
2.2.3.4. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
Bài 1. Cho tứ diện RTUY có RT, RU, RY đơi một vng góc với nhau
và RTRURY a . Gọi I là trung điểm của UY. Hãy dựng và tính độ dài đoạn vng góc chung của:
a) RT và UY. b) TI và RY. Lời giải
a)
Bƣớc 2: (?) Đây là dạng tốn gì?
(!) Xác định khoảng cách giữa hai đường th ng chéo nhau. (?) Ta làm thế nào?
(!) Xác định đoạn vng góc chung. (?) Cách làm thế nào?
(!) Trong sách giáo khoa đã đề cập, cần xác định mặt ph ng chứa đường này và song song với đường kia.
(?) Còn cách nào khác?
(!)xác định mặt ph ng chứa đường này và vng góc với đường kia. (?) Ở đây ta dùng cách nào? Vì sao?
(!) Cách 2 vì có nhiều yếu tố vng góc. (?) Em làm được chưa? (!) Rồi. Bƣớc 3: Trong (RUY), Dựng RI UY. E J R T Y K H U
Ta có: RT RU RT RUY RI RT RI RT RY .
Suy ra RI là đoạn vng góc chung của UY và RT.
Bƣớc 4:
(?) Qua đó, ta có cách tính khoảng cách giữa hai đƣờng thẳng chéo nhau a, b như sau:
“+ Cách 1: Dựng đoạn vng góc chung MN của a và b
Nếu a b
- Dựng P chứa b và vng góc a.
- Tìm giao điểm O a P .
- Dựng OHb.
oạn OH chính là đoạn vng góc chung của a và b.
Nếu a, b khơng vng góc với nhau.
Cách 1:
- Dựng P chứa b và //a.
- Dựng hình chiếu của một điểm bất kì thuộc a trên P .
- Trong P dựng a đi qua và // với a c t b tại M, từ M dựng đường // c t a tại N. oạn MN chính là đoạn vng góc chung của a và b.
Cách 2:
- Dựng P vng góc a.
- Tìm giao điểm O a P . Dựng hình chiếu b của b trên P .
- Trong P dựng OH b' tại H.
- Từ H dựng đường thẳng //a c t b tại .
- Từ dựng đường thẳng //OH c t a tại .
+ Cách 2: Xem khoảng cách giữa hai đường thẳng a, b chéo nhau bằng khoảng cách từ 1 điểm thuộc a đến P chứa b và //a.
- d a b , da, P d A P , ” [13].
Bài 2. Cho hình tứ diện đều TUYZ, cạnh a6 2cm. Hãy xác định và tính độ dài đoạn vng góc chung của hai đường th ng TZ và UY.
Bài 3. Cho hình chóp RTUY, có đáy TUY là tam giác vng cân tại U,
, , 2a
UYa RT TUY RT . Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh
RU, YT.
a) Tính khoảng cách giữa RU và YT. b) Tính khoảng cách giữa MN và UY.
Bài 4. Hình chóp RTUY có đáy TUY là tam giác vuông tại U và
2a
RT ; cạnh bên RT TUY và RT2a. M là trung điểm của cạnh TY. a) Tính khoảng cách giữa hai đường th ng TU và RY.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường th ng UY và RM.
Bài 5. Cho tứ diện TUYZ có TUY là tam giác vuông tại T, TU a , 3,
TY a ZTZUZT. Tính khoảng cách giữa hai đường th ng TZ và UY, biết tam giác ZUY vuông.
Bài 6. Cho hình chóp RTUY có đáy TUY là tam giác vuông tại U, UY
= a, TY = 2a, tam giác RTU đều. Hình chiếu vng góc của đỉnh R trên mặt đáy trùng với trung điểm M của TY. Tính khoảng cách giữa RT và UY.
Bài 7. Cho tứ diện đều TUYZ cạnh a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm
của TU và YZ. Tính khoảng cách giữa UN và YM.
Bài 8. Cho hình chóp R.TUYZ có đáy TUYZ là hình vng cạnh a,
cạnh bên RTa 3và vng góc với đáy. Gọi M là trung điểm của RZ. Tính khoảng cách giữa TM và RU.
Bài 9. Cho hình chóp R.TUYZ có đáy TUYZ là hình vng cạnh a, tam
giác RTZ đều và nằm trong mặt ph ng vng góc với đáy. a) Tính khoảng cách giữa TZ và RU.
b) Tính khoảng cách giữa RT và UZ.
Bài 10. Cho hình chóp R.TUYZ có đáy TUYZ là hình vng cạnh
a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của TZ, ZY. Hai đường th ng YM và UN cắt nhau tại H, RH a 3 và vng góc với đáy. Tính khoảng cách
giữa TN và RU.
Bài 11. Cho hình chóp tứ giác đều R.TUYZ có đáy TUYZ là hình
vng cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của Z qua trung điểm của RT, M là trung điểm của TE, N là trung điểm của UY. Tính khoảng cách giữa MN và TY.
Bài 12. Cho hình chóp R.TUYZ có đáy TUYZ là hình chữ nhật với
, Z 2
TUa T a . Gọi H là trung điểm cạnh TU, tam giác RTU cân tại R và nằm trong mặt ph ng vng góc với đáy, góc giữa (RTY) và (TUYZ) bằng
Bài 13. Cho hình chóp R.TUYZ có đáy TUYZ là hình chữ nhật với
, Z 3
TUa T a . Hình chiếu của R trên mặt đáy trùng với trọng tâm tam giác TUY. Mặt ph ng (RTY) tạo với đáy một góc 60. Gọi I là trung điểm của RU. Tính khoảng cách giữa TI và RZ.
Bài 14. Cho lăng trụ đứng TUY.T’U’Y’ có đáy TUY là tam giác
vuông, TU = UY = a, cạnh bên TT'a 2. Gọi M là trung điểm cạnh UY. Tính khoảng cách giữa TM và U’Y.
Bài 15. Cho lăng trụ đều TUY.T’U’Y’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của TT’ và UU’. Tính khoảng cách giữa U’M và YN.
Bài 16. Cho lăng trụ đứng TUY.T’U’Y’ có tất cả các cạnh bằng a. Gọi
M là trung điểm của TT’. Tính khoảng cách giữa UM và U’Y.
Bài 17. Cho lăng trụ TUY.T’U’Y’ có đáy TUY là tam giác đều cạnh a,
cạnh bên TT’ = 2a. Hình chiếu của T’ trên (TUY) trùng với trọng tâm tam giác TUY. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của TT’ và YY’. Tính khoảng cách giữa UN và U’M.
Kết luận chƣơng 2
Thơng qua hướng dẫn học sinh giải 12 dạng tốn này theo qui trình của G.Polya, điều quan trọng khơng chỉ ở chỗ học sinh giải được bài tập thuộc các dạng đó mà dần dần truyền cho học sinh cách thức, nghệ thuật tiến tới kinh nghiệm trong việc suy nghĩ và tìm tịi lời giải của các bài toán. Tức là học sinh còn học được tri thức phương pháp về giải bài tập tốn. Chính vì vậy, chúng tơi hi vọng rằng sau khi được tiếp cận 12 dạng tốn này, các em học sinh có thể tự mình giải quyết các dạng tốn cịn lại một cách hiệu quả.