D. 𝑃⊥ 𝑎, 𝑎
B. OA//BC C OA⊥ O
C. OA⊥ OI
D. BC⊥ mp(OAI)
Câu 5. Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh bằng a. I trọng tâm tam giác
BCD. Chọn kết luận đúng. A. BC⊥ mp(ADI) B. DI⊥ DB C. AI⊥ mp(ABC) D. AC⊥ mp(ABD) Bài tập về nhà
Bài 1. Giải bài 17(103)
Bài 2. Hãy dùng giản đồ ý phân chia và ghi lại những tính chất của hai loại
tứ diện trực tâm và tứ diện có ba mặt là những tam giác vng tại một đỉnh. Tìm thêm hai tính chất của tứ diện trực tâm.
Giáo án số 3. BÀI TẬP HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I. Mục tiêu
a) Về kiến thức
- Nắm đƣợc khái niệm góc giữa hai mặt phẳng, đặc biệt khái niệm hai mặt phẳng vng góc.
- Xác định đƣợc góc giữa hai mặt phẳng.
- Nắm đƣợc điều kiện để hai mặt phẳng vng góc. - Hiểu đƣợc định lý và hệ quả.
- Hình lăng trụ và tính chất.
- Hình chóp đều và hình chóp cụt đều - Biết vận dụng các ý trên vào giải Toán.
b) Về kĩ năng
- Áp dụng đƣợc dấu hiệu hai mặt phẳng vng góc vào giải Tốn.
- Phân biệt đƣợc các loại hình lăng trụ, nêu đƣợc một số tính chất đơn giản.
- Đƣa ra đƣợc cách chứng minh một hình lăng trụ là lăng trụ đứng, cách chứng minh một hình chóp là hình chóp đều.
- Đƣa ra đƣợc cách chứng minh một hình chóp cụt là hình chóp cụt đều.
c) Về thái độ
- Liên hệ đƣợc với thực tế.
- Tự tin, có tinh thần hứng thú trong học tập.
- Phát huy khả năng cá nhân, các ý kiến riêng xây dựng bài.
II. Tiến trình bài dạy
1. Kiểm tra bài cũ
Giáo viên đƣa ra những câu hỏi:
- Định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng? cách xác định góc giữa hai mặt phẳng?
- Định nghĩa hai mặt phẳng vuông góc? Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng vng góc?
- Khái niệm về các hình lăng trụ, hình chóp đều.
2. Nội dung
Đặt vấn đề
Qua hai bài trƣớc ta đã biết cách chứng minh hai đƣờng thẳng vng góc, chứng minh đƣờng thẳng vng góc với mặt phẳng. Vậy kiến thức của hai bài trƣớc giúp ích gì cho việc tính góc giữa hai mặt phẳng? chứng minh các bài tập về hai mặt phẳng vng góc và ta có thể chứng minh bằng những cách nào? Ta sẽ tìm hiểu cụ thể qua một số bài tập sau:
Bài 1.
Cho tứ diện đều A.BCD cạnh a.
a) Tính góc cosin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy. b) Tính cosin của góc giữa mặt bên và mặt đáy.
Giáo viên đƣa ra hệ thống câu hỏi hƣớng dẫn học sinh giải bài tập.
Hình 3.4
HS:
GV: Yêu cầu học sinh vẽ hình? Nêu ra các nhận xét, tính chất đã biết về tứ diện đều mà em cho là liên quan đến câu trả lời?
HS:
- Các mặt là nhứng tam giác đều bằng nhau.
- Chân đƣờng cao hạ từ một đỉnh trùng với trực tâm mặt đối diện. - Có thể tính đƣợc đƣờng cao của tứ diện.
- Phải đƣa về trƣờng hợp tính góc giữa hai đƣờng thẳng.
- Do đây là tứ diện đều nên chỉ cần tính cosin của một cạnh bên với mặt đáy. Cịn lại có thể suy ra đƣợc.
- …..
GV: Cho học sinh quan sát hình vẽ trên màn hình máy chiếu.
Hãy tìm cách tính cosα với α là góc của cạnh bên AC với
mp(BCD)? HS:
- Phải tìm hình chiếu của AC lên mp(BCD) rồi tính cosin của góc giữa hai đƣờng thẳng đó…
- Gọi I, K lần lƣợt là trung điểm của BD, DC thì CI∩ BK = H là trực tâm ΔBCD. Dễ thấy AH⊥ mp(BCD) nên CH là hình chiếu của AC lên mp(BCD).
GT Tứ diện A.BCD đều cạnh a
KL
a) Tính cosin góc giữa cạnh bên và mặt đáy.
b) Tính cosin của góc giữa mặt bên và mặt đáy.
- Có thể tính đƣợc cos(AC, CH) bằng cách dựa vào tam giác vng ACH.
GV: u cầu học sinh trình bày lời giải sau đó sửa chữa, tìm cách trình bày khoa học nhất.
Lời giải tham khảo
Gọi I, K lần lƣợt là trung điểm của BD, CD. CI∩ BK = H thì H là trực tâm Δ𝐵𝐶𝐷.
AI ⊥ BD do ΔABD đều
CI ⊥ DB(do ΔBCD đều) ⇒ BD⊥ mp(ACI) ⇒ BD⊥ AH.(1)
Tƣơng tự
BK ⊥ CD do ΔCBD đều
AK ⊥ CD(do ΔACD đều) ⇒ CD⊥ mp(ABK) ⇒ CD⊥ AH.(2)
Từ (1),(2) suy ra AH⊥ mp(BCD). Vậy H là hình chiếu của A lên mp(BCD) và do vậy (AC, CH) = (AC, (BCD)) = α.
Tính cosα Do ΔBCD đều cạnh a nên CI = a 3 2 ⇒ CH = 2 3. a 3 2 = a 3 3
Mặt khác ΔAHC vuông tại H nên cos ACH =CH
AC =
3
3 . Vậy cosα = 3
3 . Tƣơng tự cosin của góc giữa các cạnh bên AB, AD với mặt đáy cũng bằng 3
3 .
Giải câu b
GV: Trƣớc tiên hãy tính cosin của góc giữa mặt bên (ACD) với mặt đáy (BCD). Gọi góc giữa hai mặt này là 𝛽.
GV: Thực chất của việc tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng trong trƣờng hợp này là công việc nào?
HS: là tính cosin của góc giữa hai đƣờng thẳng vuông lần lƣợt vuông nằm trong hai mặt phẳng trên và vng góc với giao tuyến DC của chúng.
GV: Em hãy tìm hai đƣờng thẳng nhƣ thế? HS: Dựa vào chứng minh câu a có thể nhận thấy:
K là trung điểm CD, các mặt của tứ diện là tam giác đều bằng nhau nên AK⊥ CD và BK⊥ CD. Vậy 𝛽 = (AK, BK).
Dựa vào ΔAHK vng tại H có thể tính đƣợc cosβ.
GV: Yêu cầu một học sinh lên giải.
Lời giải tham khảo
Do các mặt bên của hình chóp là những tam giác đều bằng nhau cạnh a, K là trung điểm CD, nên ta có:
AK⊥ CD và BK⊥ CD. Mặt khác mp(ACD)∩ mp(BCD) = CD nên: ((ACD), (BCD)) = (AK, BK) = β.
Xét ΔAHK vuông tại H có AK = a 3
2 ; HK = 1 3BK = 1 3. a 3 2 = a 3 6 .
Vậy cosβ = cosAKH = KH
AK =
1 3.
Làm tƣơng tự ta cũng tính đƣợc cosin của góc giữa hai mặt (ABD), (ABC) với mặt đáy (BCD) bằng 1
3.
GV: Củng cố lại cách xác định góc giữa hai mặt phẳng.
GV: Ta có thể mở rộng bài Tốn này cho hình chóp đều, cạnh bên là b, đáy là hình vng cạnh a đƣợc khơng? lúc đó u cầu của bài Tốn cịn có thể thực hiện đƣợc khơng?
HS: có thể nhìn ra ngay u cầu của bài Tốn vẫn thực hiện đƣợc, bởi nó gần tƣơng tự nhƣ bài trên.
Cho hình chóp đa giác đều, cạnh bên là b, cạnh đa giác đáy là a. Hãy tính cosin của góc giữa cạnh bên và mặt đáy và cosin của góc giữa mặt bên và mặt đáy?
Yêu cầu học sinh về nhà tự tìm lời giải, sẽ kiểm tra sau.
Bài 2.
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a.
a) Chứng minh rằng AC’ vng góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD’).
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABCD) và (A’BD)
c) Cắt hình lập phương bởi mặt phẳng trung trực của AC’. Chứng minh thiết diện tạo thành là một lục giác đều.
Giáo viên dùng hệ thống câu hỏi gợi ý học sinh giải bài tập.
GV: Hãy vẽ hình? HS:
Hình 3.5
GV: Cho học sinh quan sát hình vẽ trên màn hình máy chiếu, thay đổi các góc độ quan sát.
Yêu cầu học sinh suy nghĩ tìm cách giải. Nếu học sinh lúng túng có thể gợi ý tiếp.
- Với hình lập phƣơng ta có thể xác định đƣợc nhiều quan hệ vng góc giữa các cạnh, măt. Vậy có thể dùng dấu hiệu nào để chứng minh: AC’⊥ mp(A’BD)?
HS: chứng minh AC’ vng góc với hai đƣờng thẳng cắt nhau trong mp(A’BD).
- Cụ thể phải chứng minh điều gì?
HS: AC’⊥ BD và AC’⊥ A’B sẽ suy ra đƣợc AC’⊥ mp(A’BD) - Nếu chứng minh đƣợc có thể làm tƣơng tự AC’⊥ mp(CB’D’).
- Yêu cầu một em tóm tắt cách giải, các bạn khác nhận xét đƣa ra cách giải khác.
GV: Gọi một học sinh trình bày lời giải, sau đó các em khác nhận xét để đƣa ra lời giải hoàn chỉnh nhất.
Lời giải tham khảo
Do ABCDA’B’C’D’ là hình lập phƣơng nên BD ⊥ AC
Dễ thấy AA’ ⊥ mp(ABCD) nên AA’ ⊥ BD ⇒BD⊥mp(ACA’C’)
⇒ BD⊥ AC’. (1) Tƣơng tự có:
Do ABCDA’B’C’D’ là hình lập phƣơng nên DA′ ⊥ AD′
Dễ thấy AB ⊥ mp(ADD′A′) nên AB ⊥ DA′ ⇒DA’⊥mp(ABC’D’)
⇒ DA’⊥ AC’. (2) Từ (1)(2) ta có ngay AC’⊥ mp(BDA’).
Vì ABCDA’B’C’D’ là hình lập phƣơng nên ta dễ dàng suy ra BD//B’D’, BA’//CD’.
Từ đó có BDA′ song song với B′D′C
Nhƣng do AC’ ⊥ mp(BDA’) ⇒ AC’⊥ mp(B’D’C).
GV: Sau khi học sinh trình bày lời giải, có thể đặt câu hỏi “có thể chứng minh (1) và (2) theo cách khác không?
HS: Có thể chứng minh dựa vào tích vơ hƣớng của hải vectơ Chẳng hạn để chứng minh (1) BD⊥ AC’.
BD
. AC′ = (BA + AD ).( AA′ + A′D′ + D′C′ )
= BA . AA′ + BA . A′D′ + BA . D′C′ + AD . AA′ + AD . A′D′ + AD . D′C′
= 0 + 0 − a2 + 0 + a2 + 0
= 0. Vậy BD⊥ AC’.
Chứng minh tƣơng tự ta có DA′ . AC′ = 0 hay DA’⊥ AC’.
GV: nhƣ vậy ngay trong từng phần chứng minh nhỏ của bài tập ta cũng có thể áp dụng nhiều cách chứng minh . Qua bài tập trên ta thấy mối liên hệ chặt chẽ về kiến thức và kĩ năng của bài trƣớc với bài học hôm nay.
GV: Yêu cầu học sinh tìm ra trong hình lập phƣơng những kết luận nhƣ ở câu a, có bao nhiêu kết luận nhƣ thế?
HS: có thể tìm đƣợc 3 kết luận nhƣ vậy.
- A’C vng góc với hai mặt phẳng (AB’D’) và (C’BD). - DB’ vng góc với hai mặt phẳng (ACD’) và (A’C’B). - D’B vng góc với hai mặt phẳng (A’C’D) và (ACB’).
GV: Hãy tìm những mặt phẳng vng góc với hai mặt phẳng (A’BD) và (B’CD)? Tại sao em tìm đƣợc? Dựa vào đâu?
HS: dựa vào điều kiện để hai mặt phẳng vng góc (Tr 105 sách hình học 11 nâng cao).
Giải câu b
GV: Muốn tính góc giữa hai mặt phẳng ta dựa kiến thức nào? HS: Dựa vào định nghĩa hai góc giữa hai mặt phẳng
GV: Có thể nêu các bƣớc giải?
- Tìm hai đƣờng thẳng lần lƣợt vng góc với hai mặt phẳng đã cho. - Tính góc giữa hai đƣờng thẳng đó.
GV: u cầu học sinh phân tích, cụ thể hóa các bƣớc giải ở trên để tìm lời giải?
HS: - Đã chứng minh đƣợc AC’⊥ mp(A’BD). Mặt khác có A’A⊥ mp(ABCD).
- Có thể tính đƣợc góc giữa hai đƣờng thẳng AC’ và A’A bằng cách dựa vào tam giác vuông AA’C’.
GV: Yêu cầu một học học sinh trình bày lời giải.
Lời giải tham khảo
Theo chứng minh ở câu a ta có: AC’⊥ mp(A’BD). Nhƣng do ABCDA’B’C’D’ là hình lập phƣơng nên A’A⊥ mp(ABCD).
Từ hai điều trên ta có góc giữa hai mặt phẳng (A’BD) và mặt phẳng (ABCD) là góc giữa hai đƣờng thẳng A’A và AC’.
Cũng do ABCDA’B’C’D’ là hình lập phƣơng nên ACC’A’ là hình chữ nhật, vì vậy AA’⊥ A’C’. Vậy ΔAA′C′ vuông tại A’.(*)
Xét ΔA′D′C′ vng tại D’ thì
A′C′ = A′D′2 + +D′C′ = a2 + a2 = 2a
Áp dụng định lý cosin trong ΔAA′C′ vng tại A’ ta có:
cosA =′AC′ A′A AC′= a 2a hay cosA ′AC′ = 1 2 ⇒ A′AC′ = 450.
Nên góc giữa hai đƣờng thẳng A’A và AC’ bằng 450. Vậy góc giữa hai mặt phẳng cần tìm là 450.
GV: Khai thác thêm bài Tốn.
Góc giữa mp(D’B’C) và mp(ABCD) bằng bao nhiêu? Tại sao? Hãy tìm thêm 3 cặp mặt phẳng mà góc giữa chúng bằng 450?
Giải câu c
Nhắc lại khái niệm mặt phẳng trung trực? Nếu gọi (P) là mặt phẳng trung trực của đoạn AC’, hãy nhận xét về khoảng cách từ một điểm I bất kì thuộc mp(P) với hai điểm A và C’.
Hình 3.6
HS: mp(P) vng góc với AC’ tại trung điểm của nó nên IA = IC’.
GV: Giả sử mp(P)∩ BC = I, hãy dự đốn vị trí của I trên BC? Lấy một vài vị trí đặc biệt, thử và đƣa ra kết luận.
HS: tìm đƣợc I là trung điểm BC do IA = IC′ = a2 +a2 4 = a 5 2 Từ đó dễ tìm đƣợc vị trí các điểm K, L, M, P, Q.
Và nhƣ vậy thì thiêt diện là lục giác đều biết độ dài cạnh nên có thể tính đƣợc diện tích.
Gọi một học sinh lên trình bày lời giải. Các em khác theo dõi, nhận xét, đƣa ra cách giải ngắn gọn hơn.
Lời giải tham khảo
Dễ tính đƣợc: IA = IC′ = a2 +a2
4 =
a 5 2
Vậy I ∈ mp(P). Hoàn toàn tƣơng tự ta có các điểm K, L, M, P ,Q lần
lƣợt là trung điểm của DC, DD’, D’A’, A’B’, B’B có khoảng cách đến hai điểm A, C’ bằng nhau và bằng a 5
2 nên cũng thuộc mp(P).
Có ngay thiết diện của hình lập phƣơng bị cắt bởi mp(P) là lục giác IKLMPQ.
Dễ thấy các cạnh của lục giác bằng nhau ( vì cùng bằng 𝑎 2
2 ). Các
đƣờng chéo của lục giác qua tâm O chia lục giác thành 6 tam giác đều bằng nhau và một
tam giác có diện tích là: 1 2. a 2 2 . a 2 2 = a2 3
8 . Vậy diện tích lục giác là: S = 6.a2 3
8
GV: yêu cầu học sinh về nhà xem lại cách giải câu này, xem nhƣ đó là một chú ý khi gặp bài Tốn liên quan đến hình lập phƣơng.
3) Câu hỏi củng cố và bài tập về nhà
- Câu hỏi củng cố
Câu 1. Các mệnh đề sau đúng hay sai?
A. Hai mặt phẳng cùng vng góc với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.
B. Qua một điểm cho trước có duy nhất một đường thẳng vng góc với một đường thẳng cho trước.
C. Các mặt phẳng cùng đi qua một điểm cho trước và vng góc với một mặt phẳng cho trước thì ln đi qua một đường thẳng cố định.
D. Hình lăng trụ có hai mặt bên là hình chữ nhật là hình lăng trụ đứng.
Câu 2. Cho hình lập phương ABCDA’B’C”D’. Góc giữa đường thẳng AD’
và mp(ABCD) bằng: A. 300
B. 450
C. 600
D. 900
Câu 3. Điền vào chỗ trống sao cho được một mệnh đề đúng.
A. a⊥ (P), a⊂ (Q) thì….. B. 𝑃 ∩ 𝑄 = 𝑐
(𝑅) ⊥ 𝑐 ⇒ (R)……
C. Nếu (P)∩ (Q) = c, mp(R) vng góc với c và (R)∩ (P) = a, (R)∩ (Q) = b thì góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng góc giữa hai đường thẳng….. D. 𝑎 ⊥ 𝑏, 𝑎 ⊥ 𝑐 𝑎 𝑣à 𝑏 𝑐ắ𝑡 𝑛ℎ𝑎𝑢 … … … . ⇒ a⊥ (P) Câu 4. Chọn các mệnh đề đúng A. Hình hộp đứng là hình lằng trụ đứng có đáy là hình bình hành. B. Hình hộp đứng là hình hộp có các cạnh bên vng góc với mặt đáy. C. Hình hộp chữ nhật là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. D. Hình lập phương là hình hộp đứng có đáy là hình vng. Câu 5. Chọn các mện đề đúng
A. Hình chóp là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều.
B. Hình chóp là hình chóp đều nếu đáy là đa giác đều và chân đường cao của hình chóp trùng với tâm đa giác đáy.
D. Hình chóp đều có các cạnh bằng nhau.
Câu 6. Chọn các mệnh đề đúng.
A. Hai đáy của hình chóp cụt song song và bằng nhau.
B. Đoạn thẳng nối tâm hai đáy của hình chóp cụt đều là đường cao của nó.
C. Hai đáy của hình chóp cụt là những đa giác đều.
D. Các cạnh bên của hình chóp cụt cắt nhau tại một điểm.
- Bài tập về nhà
Bài 1. (Tr 112, Hình học 11 nâng cao)
Cho hai tam giác ACD, BCD nằm trên hai mặt phẳng vng góc với nhau và AC = AD = BC = BD = 2a. CD = 2x. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AC và BD.
a) Tính AB, IJ theo a và x.
b) Với giá trị nào của x thi hai mặt phẳng (ABC) và (ABD) vng góc?
Giáo án số 4. BÀI TẬP VỀ KHOẢNG CÁCH I. Mục tiêu
a) Về kiến thức
- Hiểu đƣợc các khái niệm: Khoàng cách từ một điểm đến một đƣờng thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng;
- Khoảng cách giữa đƣờng thẳng và mặt phẳng song song, giữa hai mặt phẳng song song.
- Nắm đƣợc khái niệm về đƣờng vng góc chung và đoạn vng góc chung của hai đƣờng thẳng chéo nhau.