Dạy học giải bài tập bằng dạy học khám phá

Bảng 3 .1 Các mẫu thực nghiệm sƣ phạm đƣợc chọn

12. Cấu trúc của luận văn

2.2. Dạy học giải bài tập bằng dạy học khám phá

Ở nhà trƣờng phổ thơng, hoạt động giải tốn cĩ thể xem là hoạt động chủ yếu của hoạt động học tập mơn tốn. Các bài tốn ở trƣờng phổ thơng là một phƣơng tiện rất hiệu quả và khơng thể thay thế đƣợc giúp HS nắm vững tri thức, phát triển tƣ duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo ứng dụng tốn học vào thực tiễn. Hoạt động giải bài tập tốn học cĩ vai trị quyết định đối với chất lƣợng dạy học tốn.

Mỡi bài tập tốn đều chứa đựng một cách tƣờng minh hay tiềm ẩn những chức năng khác nhau. Theo [9], dạy học giải bài tập tốn cĩ những chức năng sau đây:

+ Chức năng dạy học: Hình thành, củng cố cho HS những tri thức, kỹ năng, kỹ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học.

+ Chức năng giáo dục: Hình thành cho HS thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất ngƣời lao động mới.

+ Chức năng phát triển: Phát triển năng lực tƣ duy cho HS, đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tƣ duy khoa học.

+ Chức năng kiểm tra: Đánh giá mức độ, kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập học tốn và trình độ phát triển của học sinh.

Các chức năng này khơng bộc lộ riêng lẻ và tách rời nhau, khi nĩi đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể tức là cĩ ý nĩi chức năng ấy đƣợc thực hiện một cách tƣờng minh, cơng khai.

2.2.1. Dạy học giải tốn theo hướng khám phá

Dạy học bài tập theo hƣớng khám phá bao gồm các hoạt động sau:

+ Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn

Để tìm hiểu nội dung bài tốn, GV trƣớc hết phải yêu cầu HS hiểu rõ bài tốn bằng việc trả lời một số các câu hỏi nhƣ:

 Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Đâu là điều kiện? Điều kiện cĩ đủ để xác

định ẩn hay khơng?

 Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện. Cĩ thể biểu diễn các

thành phần đĩ bằng cơng thức hay khơng?

+ Hoạt động 2. Xây dựng chương trình giải

Giáo viên giúp học sinh khám phá ra các bƣớc tiến hành khi thực hiện lời giải cĩ thể bằng các câu hỏi gợi ý nhƣ sau:

+ Bạn đã gặp bài tốn này lần nào chƣa? Hay đã gặp bài tốn này ở dạng khác?

+ Bạn cĩ biết một bài tốn nào cĩ liên quan khơng? Bài tốn liên quan đến định lí nào?

+ Cĩ thể phát biểu bài tốn một cách khác khơng?

+ Nếu bạn chƣa biết giải bài tốn thì hãy đƣa nĩ về bài tốn đơn giản hơn , nhờ vào thêm giả thiết nào?

+ Bạn đã sử dụng hết mọi dữ kiện của bài tốn chƣa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài tốn chƣa?

+ Hoạt động 3. Trình bày lời giải

Học sinh trình bày bài tốn theo các bƣớc đã xây dựng. Giáo viên cĩ thể dùng các câu hỏi sau để gợi ý cho HS thực hiện chƣơng trình giải một cách chính xác. Khi thực hiện chƣơng trình giải hãy kiểm tra lại từng bƣớc bạn đã thấy rõ ràng là mỡi bƣớc đều đúng chƣa? Bạn cĩ thể chứng minh nĩ đúng khơng? Bạn cĩ thể kiểm tra tính đúng sai của kết quả khơng?

+ Hoạt động 4. Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải

Sau khi thực hiện chƣơng trình giải xong thì vẫn chƣa thể đảm bảo lời giải cho bài tốn là chính xác. Học sinh vẫn mắc nhiều sai lầm trong lời giải. GV hƣớng dẫn HS kiểm tra lại lời giải của mình bằng các câu hỏi sau:

- Bạn cĩ thể kiểm tra lại kết quả của bài khơng? Bạn cĩ thể kiểm tra lại tồn bộ quá trình thực hiện lời giải khơng? Cĩ thể tìm đƣợc kết quả theo một cách khác khơng ?

Nhiều bài tốn mà nĩ là tiền đề để xây dựng các bài tốn khác. Để HS phát triển đƣợc khả năng tƣ duy của mình thì khơng nên dừng lại một bài tốn khi đã cĩ

lời giải của bài mà nên phát triển thành một bài tốn khác hay tìm cách giải hay khác cho bài tốn đĩ.

2.2.2. Dạy học giải tốn theo hướng khám phá cĩ hướng dẫn

+ Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài tốn tức là tìm hiểu:

 Giả thiết là gì? Kết luận là gì? Hình vẽ minh họa ra sao? Sử dụng kí hiệu

nhƣ thế nào?

 Dạng tốn nào? (tốn chứng minh hay tốn ).

 Kiến thức nâng cao cần cĩ là gì? (các khái niệm, các định lí, các điều kiện

tƣơng đƣơng, các phƣơng pháp chứng minh, …)

+ Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải

Xây dựng chƣơng trình giải, tức là chỉ rõ các bƣớc cần tiến hành:

 Bƣớc 1 làm gì?

 Bƣớc 2 giải quyết vấn đề gì?

…

Để HS cĩ thể làm tốt hoạt động xây dựng chƣơng trình giải, GV cĩ thể hƣớng dẫn gợi mở cho HS bằng cách đƣa ra hệ thống câu hỏi hiệu quả. Từ đĩ giúp HS xác định đúng các cơng việc cần làm trong hoạt động này. Các câu hỏi GV nên sử dụng trong hoạt động này là:

 Em đã gặp bài tốn nào tƣơng tự thế này chƣa? Hay ở một dạng hơi

khác?

 Em hãy liệt các các kiến thức cần sử dụng trong bài?  Em cần sử dụng giả thiết của bài tốn này nhƣ thế nào?

 Em giải bài tốn này trực tiếp hay gián tiếp? Cĩ cần giải bài tốn phụ

dễ hơn cĩ liên quan, một trƣờng hợp riêng, tƣơng tự, tổng quát hơn?

+ Hoạt động 3: Thực hiện chương trình giải

Hoạt động thực hiện kế hoạch giải tốn bao gồm: việc chọn một cách giải và trình bày lời giải bài tốn dễ hiểu nhất, phù hợp nhất với trình độ HS. Lời giải bài tốn đƣợc hiểu là tập hợp các thao tác sắp theo thứ tự để đi đến mục đích yêu cầu

địi hỏi của bài tốn. Thao tác cĩ thể là phép tính nâng cao, phép dựng hình nâng cao, hoặc một dãy các suy luận, …

+ Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Việc kiểm tra và nghiên cứu lời giải là một hoạt động khơng thể thiếu trong dạy học giải tốn. Cần tạo cho HS thĩi quen kiểm tra lại từng bƣớc giải, xem xét lời giải đã tối ƣu chƣa, đáp số của bài tốn cĩ hợp lí hay khơng? Và một điều luơn phải khuyến khích HS là cần khai thác và phát triển bài tốn theo nhiều hƣớng khác nhau hoặc rút ra những kinh nghiệm cần thiết mỡi khi giải xong một bài tốn.

Để HS thực hiện tốt hoạt động này, GV cĩ thể sử dụng các câu hỏi hiệu quả sau: [?] Em hãy kiểm tra lại kết quả của bài tốn?

[?] Em hãy đƣa ra một hƣớng khác để giải bài tốn? Lời giải ngắn gọn hơn, đặc sắc hơn?

[!] Em cĩ thể áp dụng cách giải này vào các dạng tốn nào? …

Tĩm lại, thơng qua việc giải bài tốn cụ thể cần nhấn mạnh để HS nắm đƣợc phƣơng pháp chung bốn bƣớc và cĩ ý thức vận dụng các bƣớc này trong quá trình giải tốn. Ngồi ra, bằng cách đặt các câu hỏi gợi ý, những tình huống để HS dần dần biết sử dụng câu hỏi này nhƣ những biện pháp kích thích suy nghĩ, tìm tịi, dự đốn, phát hiện để thực hiện từng bƣớc giải tốn. Những câu hỏi này lúc đầu do GV đƣa ra, dần dần biến thành vũ khí của bản thân HS, đƣợc HS nêu ra đúng lúc, đúng chỡ để gợi ý cho từng bƣớc đi của mình trong quá trình giải tốn.

2.2.3. Một số tình huống dạy học giải bài tập tốn bằng DHKP cĩ hướng dẫn

a. Dạy học dạng tốn viết phƣơng trình đƣờng thẳng

Khi viết phƣơng trình của đƣờng thẳng trong mặt phẳng chúng ta cần lƣu ý giúp HS biết cách xác định đƣờng thẳng thơng qua bài tốn nâng cao sau: Xác định đƣờng thẳng khi biết một điểm thuộc đƣờng thẳng và một VTCP hoặc VTPT của đƣờng thẳng đĩ.

+ Nếu biết điểm và vectơ pháp tuyến thì viết đƣợc phƣơng trình đƣờng thẳng tổng quát.

+ Biết điểm và vectơ chỉ phƣơng thì viết đƣợc phƣơng trình tham số hoặc phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng.

+ Khi cho đƣờng thẳng dƣới dạng phƣơng trình tham số hay phƣơng trình chính tắc, ta cĩ thể dễ dàng chỉ ra một điểm nằm trên đƣờng thẳng và vectơ chỉ phƣơng của đƣờng thẳng đĩ. Riêng đối với phƣơng trình chính tắc của đƣờng thẳng cĩ dạng: x x0 y y0

a b

 

 và nếu một trong các số a b 0,  , thì khơng viết phƣơng trình đƣờng thẳng đĩ dƣới dạng chính tắc nhằm tránh việc phải qui ƣớc thêm để làm cho phƣơng trình đĩ cĩ nghĩa. Nhƣ vậy ta chỉ biểu diễn phƣơng trình đƣờng thẳng dƣới dạng chính tắc nếu các số a b, đều khác khơng.

Bài tốn 2.1. Cho ba điểm A 3 0 ; , B 5 4 ; ,  P 10 2 ; 

Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  d đi quaP, đồng thời cách đều A B, ?

Hoạt động 1: Tìm hiểu bài tốn

[?] Em hãy xác định giả thiết của bài tốn và yêu cầu của bài tốn? [?] Đây là bài tốn dạng nào?

[?] Em hãy tìm mối liên hệ giữa giả thiết của bài tốn và kết luận của bài tốn? [?] Với giả thiết của bài tốn em sẽ chọn cách nào để lập phƣơng trình đƣờng thẳng?

Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn

[?] Từ việc phân tích bài tốn ở trên, em hãy xây dựng chƣơng trình giải của bài tốn?

HS cĩ thể giải đƣợc bài tốn nhờ gợi ý của GV nhƣ sau:

+ Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  đi qua điểm P cĩ VTPT n a b( ; )là:

ax by 10a 2b 0    .

+ Đƣờng thẳng  cách đều A và B. Điều này cĩ nghĩa là gì? Nếu ta áp dụng cơng thức tính khoảng cách từ một điểm đến đƣờng thẳng  ta sẽ tìm đƣợc

| | | | | | | | 2 2 2 2 3a 10a 2b 5a 4b 10a 2b a b a b 7a 2b 15a 2b a 0 2a b                     

+ GV gợi ý HS xét vị trí tƣơng đối giữa hai điểm đối với đƣờng thẳng. + Xét vị trí của hai điểm A B, đối với đƣờng thẳng  cần tìm?

( ) ( ) I A B A B P P Hình 22 Hình 23

+ Nếu A B, ở về cùng một phía của  thì đƣờng thẳng AB nhƣ thế nào đối với . Từ đĩ suy ra đƣợc điều gì? Nếu A B, ở về một phía của  thì AB

song song với  d A( ,( )) d B( ;( )) . Nếu A B, ở về hai phía của  thì 

đi qua trung điểm I của AB.

Hoạt động 3: Trình bày lời giải bài tốn

Cách 1:

+ Đƣờng thẳng  đi qua P cĩ VTPT n a b( ; )nên cĩ dạng:

ax by 10a 2b 0    . Theo giả thiết ta cĩ: d A( ,( )) d B( ,( )) ;

| | | | | | | | 2 2 2 2 a 0 3a 10a 2b 5a 4b 10a 2b 7a 2b 15a 2b 2a b a b a b                       ; Với a 0 , chọn b 1 thì   :y 2 0  . Với 2a b , chọn b 2 thì   :x 2y 14 0   . Cách 2:

Do AB/ /nên cĩ VTCP u AB ( ; )8 4  4 2 1( ; ).

Phƣơng trình đƣờng thẳng  qua P là: x 10 y 2 x 2 y 14 0

2 1

 

     .

+ Nếu A B, ở về hai phía của . Gọi I là trung điểm AB, ta cĩ I(-1; 2). Do  đi qua 2 điểm P I, nên uuur = PIuur = -( 11 0; )= - 11 1 0( ; ) Þ nuur = ( ; )0 1 . Phƣơng trình đƣờng thẳng  qua P là: y – 2 = 0.

Hoạt động 4: Kiểm tra lời giải và nhìn lại bài tốn + Kiểm tra lời giải :

[?] Em cĩ nhận xét gì về lời giải của bài tốn?

[?] Bài tốn này cịn cách nào giải khác khơng? Cách khác đấy cĩ tối ƣu khơng?

+ Khái quát hĩa

[?] Cách giải này cịn cĩ thể áp dụng cho những bài tốn nhƣ thế nào?

Bài tốn 2.2. Cho hai đƣờng thẳng:

 : ( ) : 1 2 d x 2 y 3 0 d 3x y 2 0      

Viết phƣơng trình đƣờng thẳng  d đi qua điểm P 3;1 và tạo với    d1 ; d2 một tam giác cân cĩ cạnh đáy làAB (với A B, lần lƣợt là giao điểm ( )d1 với ( )d và ( )d2 với

( )d .

Hoạt động 1: Tìm hiểu bài tốn

[?] Em hãy xác định giả thiết của bài tốn và yêu cầu của bài tốn? [?] Đây là bài tốn dạng nào?

[?] Em hãy tìm mối liên hệ giữa giả thiết của bài tốn và kết luận của bài tốn? [?] Với giả thiết của bài tốn em sẽ chọn cách nào để lập phƣơng trình đƣờng thẳng?

Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải bài tốn

[?] Từ việc phân tích bài tốn ở trên, em hãy xây dựng chƣơng trình giải của bài tốn?

Vì bài tốn yêu cầu viết phƣơng trình đƣờng thẳng đi qua một điểm nên câu hỏi quen thuộc để HS cĩ thể trả lời là: cho trƣớc một điểm thuộc đƣờng thẳng, để viết phƣơng trình đƣờng thẳng ta cần xác định thêm yếu tố gì? HS dễ dàng chỉ ra phải tìm VTPT hoặc VTCP của đƣờng thẳng thì sẽ viết đƣợc phƣơng trình của đƣờng thẳng đĩ. Cái khĩ ở bài tốn này là làm thế nào để HS tìm đƣợc VTPT hoặc VTCP của đƣờng thẳng. Nên GV gợi ý HS tìm cách khám phá, giải quyết bài tốn nhƣ sau: + Một tam giác đƣợc gọi là tam giác cân khi tam giác cĩ đặc điểm gì?

+ Đƣờng thẳng  d tạo với    d1 , d2 một tam giác cân cĩ nghĩa là? + Cơng thức tính gĩc giữa hai đƣờng thẳng?

+ Gọi VTPT của đƣờng thẳng  d là n a b ; . Dựa vào điều kiện ở trên ta tìm đƣợc

n



và viết đƣợc phƣơng trình đƣờng thẳng  d đi qua P

Hoạt động 3: Trình bày lời giải bài tốn

Gọi n a b ; là VTPT của đƣờng thẳng  d cần tìm. Theo giả thiết ta cĩ:

        | | | ; ; . . ( ) | | | | 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a 2b 3a b d d d d a b 1 4 a b 3 1 a 1 2 b 2 a 2b 3a b a 1 2 b                        + a 1 2 b , chọn b 1 , a 1  2. Ta cĩ phƣơng trình  d :1 2 x 3   y 1  0 + a 1 2 b , chọn b = 1, a 1  2. Ta cĩ phƣơng trình  :1 2 x 3   y 1  0

Vậy cĩ hai đƣờng thẳng thỏa mãn yêu cầu bài tốn là:

              : : d 1 2 x 3 y 1 0 d 1 2 x 3 y 1 0              

+ Xét xem hai đƣờng thẳng    d1 , d2 cĩ cắt nhau hay khơng?

+ Nếu    d1 , d2 cắt nhau tại C thì đƣờng thẳng   nhƣ thế nào với đƣờng phân giác ACB?

+ Để giải bài tốn ta viết phƣơng trình các đƣờng phân giác của ACB rồi viết phƣơng trình  d qua ( )P và vuơng gĩc với một trong hai đƣờng phân giác đĩ. HS tìm ra cách giải:

Vì 1 2

3 1

 nên    d1 , d2 cắt nhau. Gọi  d3 là đƣờng phân giác của ACB, phƣơng trình của  d3 là:         ( ) 2 2 2 2 2 3 x 2 2 1 y 3 2 0 x 2 y 3 3x y 2 0 1 2 3 1 2 3 x 2 2 1 y 3 2 2 0                         .

Vì  d3 vuơng gĩc với  d nên VTCP của  d3 chính là VTPT của  d . Vậy cĩ hai đƣờng thẳng  d thỏa yêu cầu bài tốn là:

                  : : : : x 3 y 1 d d 1 2 x 3 y 1 0 2 3 2 2 1 x 3 y 1 d 1 2 x 3 y 1 0 d 2 3 2 2 1                               

Qua cách giải trên, GV khai thác bài tốn bằng cách bổ sung câu hỏi nhằm ơn lại, củng cố kiến thức cho HS. Chẳng hạn, GV yêu cầu HS viết phƣơng trình