2.6. Xây dựng và hướng dẫn giải hệ thống bài tập chương “Sóng cơ”Vật lý
2.6.3. Dạng 3: Sóng dừng: Dạngbài tập này đề cập đến các vấn đề liên quan đến
Sóng dừng bao gồm các bài tập
- Viết phương trình sóng phản xạ
- Tổng hợp sóng dừng .
- Tìm các đại lượng đặc trưng của sóng dừng.
-Tính số nút ,số bụng và biên độ sóng dừng
- tính các đại lượng đặc trưngcủa âm cơ bản và các hoạ âm của dây đàn hoặc ống sáo
a) Phương trình phản xạ và tổng hợp sóng dừng
Giả sử sóng tới vật cản Q có phương trình dao động tại Q là:
uQ A co s 2 f t ( 2.43)
* Đầu B là vật cản cố định (nút sóng):
- Khi phản xạ trên vật cản cố định, sóng phản xạ cùng tần số, cùng bước sóng và ln ln ngược pha với sóng tới.
-Phương trình sóng phản xạ tại Q:
u'Q A co s 2 f t A co s ( 2 f t ) ( 2.44) -Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại M cách Q một khoảng d là:
M os(2 2 ) d u Ac ft và u'M Acos(2 ft 2 d ) (2.45) -Phương trình sóng dừng tổng hợp tại M:
uMuMu'M (2.46a) M 2 os(2 2) os(2 2) d u Ac c ft (2.46b)
Biên độ dao động của phần tử tại M:
2 os(2 ) 2 M d A A c (2.47)
→ Chiều dài sợi dây thoả mãn( hai đầu là nút ) :
l = k 2 (k Z) (2.48) -Số bụng sóng = số bó sóng = k; -Số nút sóng = k + 1 * Đầu Q là vật cản tự do (bụng sóng): -Phương trình sóng phản xạ tại B: uQ u'Q A co s 2 ft (2.49) -Phương trình sóng tới và sóng phản xạ tại M cách Q một khoảng d là:
M os(2 2 ) d u Ac ft và u'M Acos(2 ft 2 d) (2.50) -Phương trình sóng dừng tổng hợp tại M: uMuMu'M uM 2Acos(2 d) os(2c ft) (2.51)
Biên độ dao động của phần tử tại M:
AM 2 cos(2A d)
(2.52)
Chiều dài sợi dây thoả mãn ( Một đầu là nút sóng cịn một đầu là bụng sóng)
l = k 2 + 4 = (2k+1) 4 (k Z) (2.53) -Số bó sóng nguyên = k -Số bụng sóng = số nút sóng = k + 1
Chú ý: Khi trên dây có sóng dừng thì
+ Hai điểm đối xứng với nhau qua 1nút sóng ln dao động ngược pha.
+ Hai điểm đối xứng với nhau qua 1 bụng sóng ln dao động cùng pha.
+ Khoảng thời gian giữa hai lần sợi dây căng ngang hay duỗi thẳng (các phần tử
đi qua vị trí cân bằng) là nửa chu kỳ T/2.
+ Bề rộng bụng sóng là 4a (a là biên độ)
+ Nếu dây được nối với cần rung được ni bằng dịng điện xoay chiều có tần số
của dịng điện là f thì dây sẽ rung với tần số 2f
b) Tìm các đại lượng đặc trưng của chuyển động sóng khi biết phương trình sóng dừng :
-Biểu thức sóng dừng có dạng tổng quát: ).cos( ) 2 cos( 2 A d t u (2.54)
-So sánh phương trình tổng quát với phương trình đã cho sẽ tìm được và T.
-Tốc độ truyền sóng là:
T v
c ) Tính các đại lượng cơ bản của âm và các hoạ âm của dây đàn hay ống sáo
Khi phát ra âm dây đàn và cột khí đều tạo ra sóng dừng
- Với dây đàn hai đầu cố định hoặc ống sáo hở hai đầu có sóng dừng khi
chiều dài của dây thoả mãn điều kiện l= kλ/2
Với k =1 ta có âm cơ bản ứng với f = v/2l
ứng với k=2, 3, 4… ta có hoạ âm bậc 2,3,4…ứng với tần số 2f,3f,4f…
- Với ống sáo một đầu hở có sóng dừng khi chiều dài của dây thoả mãn điều kiện
l= (2k+1)λ/4 (2.55)
Với k = 0 ta có âm cơ bản với tần số f = v/4l
Với k=1, 2, 3… ta có hoạ âm bậc 3, 5, 7…ứng với tần số 3f, 5f, 7f…
Bài tập mẫu :
Bài 1: Một dây mềm AB có đầu B cố định. Tại đầu A ta tạo ra một dao động thì trên dây có sóng truyền tới B với tốc độ 20m/s. Biết phương trình sóng tới tại B là: uB=2cos(100πt) (cm). Cho rằng sóng trên dây khơng đổi.
a/ Lập phương trình sóng phản xạ tại M cách đầu B: d = 0,5m.
b/ Tìm biểu thức sóng tổng hợp ( sóng dừng)của sóng tới và sóng phản xạ tại M. Bài giải:
- Biết phương trình sóng tới tại B là:
uB=Acosωt
- Sóng phản xạ tại điểm phản xạ khi vật cản cố định ngược pha với sóng tới tại đó nên phương trình sóng phản xạ tại B:
u'B2 os100c t2 os(100c t-Error! Reference source not
found.
a/ Phương sóng phản xạ tại M cách B một khoảng d là:
'M os( 2 ) d u Ac t 0,5 ' 2 os(100 2 ) 2 os(100 3 ) 0,4 M u c t c t b/ Phương trình sóng tổng hợp tại M :
Phương trình sóng tới tại M:
os( 2 ) M d u Ac t Phương trình sóng tổng hợp tại M: ' M M M u u u 2 os(2 ) os( ) 2 2 M d u Ac c t
2 os(2 ) os( ) 4 cos(100 )
2 2 2 M d u Ac c t t
Bài 2 : Sóng dừng xảy ra trên dây AB có đầu B cố định,li độ dao động ở thời điểm M cách đầu B khoảng d vào lúc t cho bởi phương trình:
u = 2cos(0,05 ) 2 100 cos( ). 2 d t (cm)
Trong đó d tính bằng cm, t tính bằng giây.
a/ Tính vận tốc truyền sóng trên dây.
b/ M là điểm nút thứ 4 kể từ đầu B và khơng tính B, ứng với d là bao nhiêu.
c/ Tính vận tốc dao động tại Điểm N cách đầu B 30 cm lúc t = 1s
Bài giải : -Biểu thức sóng dừng có dạng tổng quát: 2 cos(2 ).cos( ) A d t u
-So sánh với phương trình đã cho :
u = 2cos(0,05 ) 2 100 cos( ). 2 d t (cm) (*)
Error! Reference source not found. = 0,05лd → λ = 40cm ; ω = 100л rad/s
a/ Tốc độ truyền sóng : v = Error! Reference source not found. = 20m/s
b/ Vì hai nút liền kề cách nhau độ dài của một bó sóng , điểm B là 1 nút. Vậy M là điểm nút thứ 4 tính từ đầu B ( khơng kể B) cách B 4 bó sóng d=4λ/2 = 8 0 cm. c/ Thay giá trị d = 30 cm vào (*) ta được
uN = 2. cos(100 ) 2 t (cm) Vận tốc dao động tại N: vN = (uN)’ = - 200π.sin(100 ) 2 t (cm/s) (**) Thay t = 1s vào (**) vN = 2π (m/s).
Bài 3 Sóng dừng trên dây AB có chiều dài 32cm với đầu A, B cố định. Tần số dao động của dây là 50Hz, tốc độ truyền sóng trên dây là 4m/s.
a/ Trên dây có bao nhiêu bụng sóng và nút sóng ?
b/ Tính khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp sợi dây duỗi thẳng.
c/ Tính biên độ dao động tại điểm P cách A 1cm, cho biết biên độ dao động của điểm bụng là 4 cm.
Hướng dẫn giải : -Tính bước sóng λ .
- Tính số bó sóng trên dây, từ đó tìm ra số bụng, số nút.
- Khoảng thời gian giữa hai lần liên tiếp sợi dây duỗi thẳng là thời gian để các phần tử sợi dây dao động đi từ vị trí cân bằng đến biên rồi lại về đến vị trí cân bằng. Tính chu kì dao động . Từ đó tính khoảng thời gian cần tìm.
- Khi các phần tử trên sợi dây đang ở biên ( âm hoặc dương) thì li độ có độ lớn bằng biên độ của chúng. Xét một thời điểm phần tử trên sợi dây đang ở biên, hình ảnh sóng có tính tuần hồn theo khơng gian với chu kỳ bằng 1 bước sóng. Áp dụng mối liên hệ giữa chuyển động trịn đều và dao động điều hồ tính li độ của điểm P từ đó suy ra biên độ dao động của nó.
Đáp số a/ 8 bụng 9 nút kể cả Avà B; b/ 0,1 s; c/ 2Error! Reference source not found. cm
Bài 4 : Một sợi dây đàn hồi căng ngang, đang có sóng dừng ổn định. Trên dây, A là một điểm nút, B là điểm bụng gần A nhất với AB = 18 cm, M là một điểm trên dây cách B một khoảng 12 cm. Biết rằng trong một chu kỳ sóng, khoảng thời gian mà độ lớn vận tốc dao động của phần tử B nhỏ hơn vận tốc cực đại của phần tử M là 0,1s.
Tính tốc độ truyền sóng trên dây. Hướng dẫn giải:
-Tính bước sóng .
- Khi các phần tử trên sợi dây đang ở biên ( âm hoặc dương) thì li độ có độ lớn bằng biên độ của chúng. Xét một thời điểm phần tử trên sợi dây đang ở biên, hình ảnh sóng có tính tuần hồn theo khơng gian với chu kỳ bằng 1 bước sóng. Áp dụng mối liên hệ giữa chuyển động trịn đều và dao động điều hồ tính li độ của điểm M theo biên độ của bụng, từ đó suy ra biên độ dao động của M.
- Tìm vận tốc dao động cực đại của điểm M theo biên độ của bụng.
- Vận tốc tại điểm bụng dao động điều hồ với chu kì T ( bằng chu kì của sóng ). Áp dụng mối liên hệ giữa chuyển động trịn đều và dao động điều hồ cho sự biến thiên vận tốc tại bụng B, biểu diễn khoảng thời gian mà độ lớn vận tốc dao động
của phần tử B nhỏ hơn vận tốc cực đại của phần tử M trên đường trịn.Dựa vào hình
vẽ .Tính chu kì.
Biết bước sóng và chu kỳ . Tính tốc độ truyền sóng trên dây.
Đáp số 4,8 m/s. Bài 5: Vận tốc truyền dao động trên dây được tính bởi cơng thức Error! Reference source not found. trong đó F là lực căng của dây , μ là khối lượng của 1m dây .Một dây Pianô dài 40 cm khối lượng 2 g lực căng trên dây là 600N
a/ Tính tần số âm cơ bản.
b/Tính bước sóng của âm cơ bản trong khơng khí cho biết vận tốc truyền âm trong khơng khí là 340 m/s .
c/ Một thính giả có thể nghe được tới tần số 14000Hz .Tính tần số âm cao nhất mà người này nghe được do dây đàn trên phát ra và đó là hoạ âm bậc mấy?
Bài giải:
a/ -Vận tốc truyền sóng trên dây: Error! Reference source not found.
Error! Reference source not found. = Error! Reference source not found. =346,4 m/s
-Âm cơ bản ứng với trên dây có 1bó sóng
λ =2l = 0,8 m → f = v/λ = 346,4/0,8 = 433 Hz
b/ - khi truyền trong khơng khí có bước sóng λkk = vkk/f = 0,785 m
c/ - Các hoạ âm của dây đàn : fn = nf (n là số tự nhiên)
→ Tính tần số âm cao nhất mà người này nghe được do dây đàn trên phát ra.
Tai người cảm nhận đuợc tần số lớn nhất là 20000 Hz nên
fn = n.433 ≤ 20000 Hz → n ≤ 46,18
Bài tập học sinh tự giải
Bài 1. Một sóng dừng trên một sợi dây có pt: 4 sin . os20 20 M x u c t ; uM là li độ
của điểm M có vị trí cân bằng cách gốc O một đoạn x (u, x đơn vị cm, t đơn vị s)
a/ Tính tốc độ sóng
b/ Tìm biên độ dao động của một điểm cách một nút sóng đoạn /6
c/ Điểm N cách gốc O một đoạn x = 78cm, hỏi trong đoạn ON có mấy điểm dao động với biên độ 2cm
Đáp số a/. 4 m/s; b/ 2 3cm ; c/ 8 điểm
Bài 2. Trên một sợi dây đàn hồi có sóng dừng, biết khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất trên dây không dao động là 0,75cm. Gọi A và B là hai điểm trên sợi dây cách nhau 14cm và tại trung điểm của AB là một nút sóng. Số nút và số bụng trên đoạn dây AB là:
Đáp số : 18 bụng ; 17 nút.
Bài 3. M, N, P là 3 điểm liên tiếp nhau trên một sợi dây mang sóng dừng có cùng biên độ 4mm, dao động tại N ngược pha với dao động tại M. MN = NP/2 = 1 cm. Cứ sau khoảng thời gian ngắn nhất là 0,04s sợi dây có dạng một đoạn thẳng. Tính tốc độ dao động của phần tử vật chất tại điểm bụng khi qua vị trí cân bằng (lấy = 3,14).
Đáp số : 362,7 cm/s
Bài 4. Một dây đàn hồi tạo sóng dừng với ba tần số liên tiếp là 75 Hz,125Hz,175Hz
a/ Cho biết sợi dây này thuộc loại hai đầu cố định hay một đầu cố định một đầu tự do?
b/ Tần số cơ bản của dây ?
c/ Tính chiều dài của dây . Cho biết vận tốc truyền dao động trên dây là 400m/s
Bài 5. Một ống dựng đứng trong có chứa nước. Độ cao lớp nước có thể điều chỉnh. Tại mặt ống có đặt 1 âm thoa nằm ngang, âm thoa giao động với tần số 500Hz. Tốc độ truyền sóng trong khơng khí là 340m/s. Điều chỉnh mực nước sao cho cột khơng khí có chiều cao thích hợp thì trong ống có sóng dừng với bụng tại miệng ống và nút tại mặt nước. Khi chiều cao cột khơng khí trong ống thay đổi trong khoảng từ 50cm tới 60cm, kể cả bụng sóng ở miệng ống, thì trong ống có mấy bụng sóng ?
Đáp số : 2 bụng sóng
Bài tập trắc nghiệm :
Câu 1: Trong thí nghiệm giao thoa sóng nước có 2 nguồn A và B dao động với phương trình: x = 0,4cos(40t) cm. Điểm M trên mặt nước cách A và B các khoảng MA = 14 cm và MB = 20 cm luôn dao động với biên độ cực đại. Giữa M và đường trung trực của AB cịn có hai dãy cực đại khác. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là:
A.10 cm/s B. 30 cm/s C. 20 cm/s D. 40 cm/s
Câu 2: Một sóng dừng trên dây với f = 20Hz, v = 6m/s. Biết biên độ dao động của
1 điểm cách một bụng nào đó 10cm có giá trị là 2cm.
a/ Tính biên độ dao động của bụng sóng
A. 4cm. B. 3cm. C. 2cm. D. 1cm.
b/ Tính tốc độ cực đại của một bụng sóng
A. 40cm/s B. 80cm/s C. 160cm/s D. 320cm/s
Câu 3: Một sóng dừng ổn định trên dây, với v = 4m/s. Các điểm trên dây có cùng biên độ 2 cm nằm cách đều nhau những khoảng liên tiếp là 10 cm. Tốc độ cực đại của một bụng sóng là
A. 80 2 cm/s hoặc 160cm/s. B. 60 2 cm/s hoặc 80cm/s. C. 40 2 cm/s hoặc 160cm/s. D. 80 2 cm/s hoặc 80cm/s.
Câu 4: Một sợi dây đàn hồi OM = 90 cm có hai đầu cố định. Khi được kích thích thì trên dây có sóng dừng với 3 bó sóng. Biên độ tại bụng sóng là 3 cm. Tại điểm N
trên dây gần O nhất có biên độ dao động là 1,5 cm. ON có giá trị là:
A. 10 cm B.5 cm C.5 2 cm D.7 cm
Câu 5: Một dây sắt có chiều dài 60cm, Một nam châm điện có vịng sắt non có dịng điện xoay chiều 50Hz chạy qua. Nam châm điện đặt đối diện với trung điểm của sợi dây. Nam châm điện kích thích dao động trên dây và tạo sóng dừng với một bó sóng. Tốc độ truyền sóng trên dây là:
A. 120m/s B. 60m/s C. 30 m/s D. 150m/s