1.6.4.1. Nội dung của bài toỏn quỹ tớch
Trong bộ mụn HHKG, theo chỳng tụi toỏn quỹ tớch là một dạng toỏn khú. Khụng chỉ khú đối với HS trong việc tiếp nhận kiến thức mà cũn khú cả đối với GV trong việc dạy học bài toỏn này (GV rất khú khăn khi phõn tớch để HS hiểu một cỏch tường minh, chắc chắn những gỡ mà GV muốn truyền tải cho HS). Do đú, nội dung cỏc cõu hỏi về quỹ tớch thường ở cỏc cõu cuối cựng trong một bài toỏn của hỡnh học khụng gian.
Trong khi giải cỏc bài toỏn quỹ tớch ta sẽ gặp cỏc sỏch dựng cỏch gọi “bài toỏn quỹ tớch” hoặc một số sỏch dựng “bài toỏn tỡm tập hợp điểm”. Về mặt nội dung thỡ hai cỏch dựng này tương tự như nhau.
Mỗi một định lý hỡnh học hoặc mỗi bài toỏn chứng minh hỡnh học đều cú hai phần: giả thiết và kết luận. Phần giả thiết là điều kiện cho trước của bài toỏn, phần kết luận là vấn đề ta cần chứng minh. Những bài toỏn dựng hỡnh cũng gồm hai phần, một là giả thiết (tức là những điều kiện cho trước) hai là phần dựng hỡnh theo yờu cầu của bài toỏn. Cú thể núi, cỏc bài toỏn chứng minh hỡnh học hay bài toỏn dựng hỡnh đều theo loại mẫu này, khụng cũn loại mẫu nào khỏc.
Bõy giờ ta nghiờn cứu bài toỏn quỹ tớch, đối với bài toỏn quỹ tớch cú phải chỉ cú một loại mẫu hay khụng? Muốn quỹ tớch là đường trũn hay đường thẳng.v.v. thỡ chưa cụ thể. Tuy là đường trũn nhưng nếu vị trớ tõm của hai đường trũn khỏc nhau, độ dài bỏn kớnh khỏc nhau thỡ hai đường trũn đú cũng khỏc nhau. Cũng tương tự như vậy, tuy cựng là đường thẳng nhưng vị trớ của đường thẳng đú cú thể song song hoặc vuụng gúc với một đường thẳng cho trước, cũn về giới hạn cú thể hữu hạn hoặc vụ hạn. Vậy trong bài toỏn quỹ tớch nếu ta chỉ quan tõm đến hỡnh dạng của quỹ tớch thỡ chưa đủ, ta cũn phải nờu ra vị trớ và giới hạn của quỹ tớch. Theo tỏc giả Hứa Thuần Phỏng [31], khi tỡm hiểu và phõn tớch bài toỏn quỹ tớch ta chỳ ý đến yếu tố sau:
- Một là điều kiện nhất định của quỹ tớch. - Hai là hỡnh dạng của quỹ tớch.
- Ba là vị trớ và giới hạn của quỹ tớch.
Trờn đõy ta đó phõn tớch rừ nội dung của bài toỏn quỹ tớch, nhưng như vậy khụng hẳn bề ngồi của bài toỏn đó giống với nội dung của nú. Đối với từng bài toỏn quỹ tớch, cỏch phỏt hiện cũng khỏc nhau. Ngoài phần điều kiện nhất định của mỗi bài toỏn cần phải nờu rừ ràng cũn cú phần hỡnh dạng, phần vị trớ và giới hạn của quỹ tớch. Cú bài nờu rừ nhưng cũng cú bài khụng nờu rừ hai phần này, do đú những bài toỏn quỹ tớch cú 3 loại mẫu khỏc nhau. Để trỡnh bày rừ vần đề này, ta hóy xem những vớ dụ sau:
Vớ dụ 1: Trong mặt phẳng hóy chứng minh quỹ tớch một điểm chuyển động P
cỏch đều hai đầu của đoạn thẳng AB cho trước là đường trung trực d.
Như vậy bài toỏn quỹ tớch này gồm những phần sau: + Phần điều kiện nhất định: điểm chuyển động P cỏch đều hai đầu của đoạn thẳng AB cho trước.
+ Phần hỡnh dạng của quỹ tớch: đường thẳng d.
A B
E
+ Vị trớ và giới hạn: d đi qua trung điểm E của AB và vuụng gúc với AB, hai đầu của đường thẳng d là vụ hạn.
Trong bài toỏn này, cả 3 phần của bài toỏn được nờu rừ ràng. Vậy ta chỉ cần chứng minh đầy đủ theo định lý hỡnh học là xong. Kiểu bài toỏn này thuộc dạng dễ nhất.
Vớ dụ 2: Cho biết quỹ tớch của điểm chuyển động cỏch đều hai đầu của một
đoạn thẳng cho trước là một đường thẳng. Tỡm quỹ tớch đú? Bài toỏn quỹ tớch này gồm những phần sau:
+ Phần điều kiện nhất định: điểm chuyển động cỏch đều hai đầu của đoạn thẳng cho trước.
+ Phần hỡnh dạng của quỹ tớch: đường thẳng. + Vị trớ và giới hạn: chưa biết.
Muốn hoàn thành bài toỏn này thỡ ta phải xỏc định vị trớ và giới hạn của quỹ tớch rồi mới chứng minh.
Vớ dụ 3: Tỡm biết quỹ tớch của điểm chuyển động cỏch đều hai đầu của một
đoạn thẳng cho trước?
Bài toỏn quỹ tớch này gồm những phần sau:
+ Phần điều kiện nhất định: điểm chuyển động cỏch đều hai đầu của đoạn thẳng cho trước.
+ Phần hỡnh dạng của quỹ tớch: chưa biết. + Vị trớ và giới hạn: chưa biết.
Bài toỏn này chỉ nờu ra phần điều kiện nhất định của quỹ tớch, cũn hỡnh dạng của quỹ tớch, vị trớ và độ lớn của quỹ tớch thỡ chưa biết. Do đú khi làm lài này, ngoài việc xỏc định hỡnh dạng của quỹ tớch, cũn phải xỏc định vị trớ và giới hạn của quỹ tớch, cuối cựng mới chứng minh.
Qua 3 vớ dụ trờn ta thấy 3 bài toỏn quỹ tớch đú đều dựa vào định lý quỹ tớch “quỹ tớch một điểm chuyển động cỏch đều hai đầu của đoạn thẳng cho
trước là đường trung trực của đoạn thẳng đú” để đưa ra 3 loại bài toỏn quỹ tớch khỏc nhau:
Loại I: Cho biết điều kiện nhất định, cho biết hỡnh dạng và cho biết vị trớ và giới hạn của quỹ tớch.
Loại II: Cho biết điều kiện nhất định, cho biết hỡnh dạng nhưng chưa cho biết vị trớ và giới hạn của quỹ tớch.
Loại III: Cho biết điều kiện nhất định, chưa cho biết hỡnh dạng và cũng chưa cho biết vị trớ và giới hạn của quỹ tớch.
Trong ba loại trờn, loại I cú giả thiết và kết luận đầy đủ nờn ta gọi là định lý về quỹ tớch. Loại II: cú giả thiết và cho biết phần nào của kết luận nhưng chưa đầy đủ, ta cũng cú thể gọi là định lý về quỹ tớch. Cũn loại III chỉ cú giả thiết mà khụng cú kết luận, nờn ta gọi đú là bài toỏn quỹ tớch. Đối với những bài loại III này, khi làm bài trước hết ta phải xỏc định thờm vị trớ và giới hạn của quỹ tớch, cuối cựng mới chứng minh.
1.6.4.2. Yờu cầu chứng minh bài toỏn quỹ tớch
Khi chứng minh một bài toỏn quỹ tớch, trước tiờn ta phải chứng minh phần thuận là đỳng, tiếp đú ta chứng minh phần đảo cũng đỳng. Cú như vậy, ta mới thừa nhận định lý quỹ tớch này được xỏc lập. Phương phỏp chứng minh phần thuận và phần đảo, ta cú thể hiểu như sau:
- Phần thuận: chứng minh những điểm ở trờn hỡnh (nú cú thể là đường thẳng hay đường trũn,..) phự hợp với điều kiện nhất định. - Phần đảo: Chứng minh những điểm phự hợp với điều kiện nhất
định đều nằm trờn hỡnh đú.
Nếu trong bài toỏn quỹ tớch ta chỉ chỳ ý tới một phần (phần thuận hoặc phần đảo) mà khụng chỳ ý đến phần cũn lại, thỡ sẽ dẫn tới điều kiện là quỹ tớch mà ta muốn tỡm cú thể thừa hoặc cú thể thiếu. Nếu ta khụng chứng minh phần thuận thỡ cú thể thừa ra những phần khụng cần thiết của quỹ tớch; nếu khụng chứng minh phần đảo thỡ cú thể thiếu một phần nào đú của quỹ tớch.
Cho nờn phần thuận (những điểm nằm trờn hỡnh phự hợp với điều kiện nhất định) gọi là tớnh ắt cú của quỹ tớch; cũn phần đảo (những điểm phự hợp với điều kiện nhất định đều nằm trờn hỡnh) gọi là tớnh đầy đủ của quỹ tớch.
1.6.4.3. Cỏch tỡm quỹ tớch
Nếu bài toỏn thuộc loại I: nghĩa là đầu bài đó cho trước hỡnh dạng, vị trớ và giới hạn của quỹ tớch, vậy ta chỉ cần đi thẳng vào chứng minh là xong. Nếu bài toỏn thuộc loại II: nghĩa là đầu bài chỉ cho ta biết hỡnh dạng quỹ
tớch, thỡ trước tiờn ta phải xỏc định rừ vị trớ và giới hạn của quỹ tớch rồi mới đi vào chứng minh.
Phương phỏp xỏc định vị trớ và giới hạn của quỹ tớch như sau:
- Nếu bài toỏn cho ta biết quỹ tớch là đoạn thẳng hoặc nửa đường thẳng thỡ ta chỉ cần xỏc định vị trớ giới hạn hoặc vị trớ cuối cựng của đoạn thẳng hoặc nửa đường thẳng đú, từ đú tỡm ra điểm giới hạn hoặc điểm cuối cựng của quỹ tớch. Nếu ta tỡm được hai điểm như vậy thỡ sẽ xỏc định được quỹ tớch của bài toỏn.
- Nếu bài toỏn cho ta biết quỹ tớch là đường thẳng thỡ ta chỉ cần tỡm giới hạn, điểm đặc biệt (hoặc điểm tuỳ ý) của quỹ tớch, từ hai điểm này ta xỏc định được đường thẳng đú.
- Nếu bài toỏn cho ta biết quỹ tớch là đường trũn thỡ ta chỉ cần xỏc định một điểm giới hạn, một điểm đặt biệt và một điểm tuỳ ý, từ ba điểm ấy ta xỏc định được đường trũn đú.
- Nếu đầu bài cho ta biết quỹ tớch là một cung thỡ ta tỡm một điểm giới hạn hoặc điểm cuối cựng của quỹ tớch, tức là hai đầu của cung, lại tỡm tiếp một điểm đặt biệt hoặc một điểm tuỳ ý của quỹ tớch thỡ sẽ xỏc định được cung đú. Nếu bài toỏn thuộc loại III: trước hết ta xỏc định hỡnh dạng của quỹ tớch,
tiếp đú ta xỏc định vị trớ và giới hạn của quỹ tớch. Cỏch xỏc định hỡnh dạng của quỹ tớch như sau:
- Xỏc định quỹ tớch là đường thẳng: trước hết ta xột xem hỡnh biến thiờn cú vị trớ giới hạn hay khụng, nếu hỡnh biến thiờn khụng cú vị trớ giới hạn thỡ quỹ tớch cần tỡm cũng khụng cú vị trớ giới hạn. Sau đú ta tỡm 2 điểm đặc biệt của quỹ tớch, từ hai điểm này ta xỏc định được đường thẳng cần tỡm. Đụi khi quỹ tớch tuy cú điểm giới hạn mà điểm giới hạn đú cú được là do những điểm từ xa phự hợp với điều kiện nhất định và từ hai điểm ngược chiều nhau dần tới.
- Phương phỏp xỏc định quỹ tớch là đường trũn: ta xột xem hỡnh biến thiờn cú vị trớ giới hạn hay khụng, nếu hỡnh biến thiờn khụng cú vị trớ giới hạn thỡ quỹ tớch cần tỡm cũng khụng cú vị trớ giới hạn. Sau đú ta xỏc định một điểm giới hạn, một điểm đặt biệt và một điểm tuỳ ý, từ ba điểm ấy ta xỏc định được đường trũn cần tỡm.
- Phương phỏp xỏc định quỹ tớch là nửa đường thẳng: nếu hỡnh biến thiờn cú một chiều giới hạn và một chiều kia xa vụ cực. Ta tỡm 2 điểm đặc biệt (hoặc điểm tuỳ ý) của quỹ tớch, từ đú ta xỏc định được nửa đường thẳng. - Phương phỏp xỏc định quỹ tớch là nửa đoạn thẳng: ta chỉ cần xỏc định hai chiều của quỹ tớch đều cú điểm giới hạn hoặc điểm cuối cựng, ở khoảng giữa hai điểm đú ta tỡm thờm một điểm đặc biệt hoặc một điểm tuỳ ý, rồi xột nếu ba điểm đú thẳng hàng thỡ quỹ tớch là đoạn thẳng.
- Phương phỏp xỏc định quỹ tớch là cung: cỏch xỏc định như trờn chỉ khỏc ở chỗ nếu 3 điểm này khụng thẳng hàng thỡ quỹ tớch đú là cung trũn.
- Quỹ tớch là đường Elip: là tập hợp những điểm M trong mặt phẳng cú tổng độ dài đến hai điểm F1, F2 cố định bằng một số khụng đổi cho trước.
- Quỹ tớch là đường Hypebol: Cho hai điểm F1, F2: F F1 2 = 2c và số dương a (a<c). Tập hợp những điểm M trong mặt phẳng sao cho MF1MF2 2a là đường hypebol.
- Quỹ tớch là đường Parabol: Cho điểm F và đường thẳng cố định. Tập hợp những điểm M trong mặt phẳng cỏch đều F và được gọi là đường parabol.
- Ngoài ra quỹ tớch một điểm cú thể là một đồ thị đường cong cho bởi cụng thức y = f(x), (trong đú đồ thị hàm y = f(x) cú thể là hàm đa thức, hàm lượng giỏc, hàm số mũ, hàm số logarit v.v.).
1.6.4.4. Phương phỏp giải một bài toỏn quỹ tớch
Muốn hoàn thành bài toỏn quỹ tớch phải thực hiện cỏc bước: Xỏc định hỡnh dạng, vị trớ và giới hạn của quỹ tớch, chứng minh phần thực và phần đảo, cuối cựng mới đến kết luận. Để phự hợp với khả năng tiếp thu của HS, ta cú thể dựng những quỹ tớch đó biết để giải bài toỏn quỹ tớch. Bởi vỡ trong rất nhiều bài toỏn quỹ tớch, ta cú thể ỏp dụng những bài toỏn quỹ tớch đơn giản đó biết để tỡm ra ngay quỹ tớch của những bài toỏn đú. Những bài toỏn quỹ tớch đó biết làm dựng để làm căn cứ đú gọi là bài toỏn quỹ tớch cơ bản.
Sau khi căn cứ vào những bài toỏn quỹ tớch cơ bản, ta chỉ cần xỏc định xem những điểm phự hợp với điều kiện nhất định trong bài toỏn quỹ tớch cơ bản nào đú hay khụng, nếu cú thỡ ta xỏc định được ngay quỹ tớch của bài toỏn. Nhưng dựng phương phỏp này nhiều khi bao gồm cả phần quỹ tớch ta khụng cần tỡm, do đú ta cần phải kiểm tra lại những kết quả một cỏch chu đỏo thỡ mới cú thể hoàn toàn xỏc định được quỹ tớch.
1.6.4.5. Một số bài toỏn quỹ tớch cơ bản trong mặt phẳng
Chỳng tụi nhận thấy cỏc cõu hỏi của bài toỏn quỹ tớch thường là: chứng minh một đường thẳng luụn đi qua một điểm cố định, một đường thẳng song song với một mặt phẳng cố định, quỹ tớch một điểm thuộc một đường thẳng cố định, thuộc một đường trũn cố định v.v. Do đú chỳng tụi đưa ra một số bài toỏn quỹ tớch cơ bản xoay quanh những bài toỏn quỹ tớch kể trờn, cụ thể:
Đường trũn: Quỹ tớch của một điểm chuyển động cỏch đều một điểm cố định cho trước một khoảng cỏch cho trước là một đường trũn cú tõm là điểm cố định cho trước và bỏn kớnh bằng khoảng cỏch cho trước. Nếu muốn chứng minh phần thuận của định lý này, ta chỉ cần dựng định lý: “những điểm nằm trờn đường trũn đều cỏch tõm bằng bỏn kớnh” để chứng minh tớnh ắt cú của quỹ tớch; và dựng định lý “cỏc điểm cỏch đều tõm bằng bỏn kớnh đều nằm trờn đường trũn” để chứng minh tớnh đầy đủ của quỹ tớch, như thế là hoàn chỉnh. Đường trung trực: Quỹ tớch của một điểm chuyển động cỏch đều hai điểm cố định cho trước là đường trung trực của đoạn thẳng nối hai điểm này.
Đường thẳng song song: Quỹ tớch của một điểm chuyển động, cỏch đều hai đường thẳng song song cho trước là một đường thẳng song song và nằm giữa hai đường thẳng trờn.
Đường phõn giỏc: Quỹ tớch của một điểm chuyển động, cỏch đều hai đường thẳng cắt nhau cho trước là hai đường phõn giỏc của gúc tạo bởi hai đường thẳng đú.
Nửa đường trũn: Quỹ tớch của một gúc vuụng chuyển động cú hai cạnh gúc vuụng luụn đi qua hai điểm cố định cho trước là một đường trũn cú đường kớnh bằng khoảng cỏch giữa hai điểm cố định ấy.
Hai cung: Quỹ tớch của một điểm chuyển động, từ đú nhỡn thấy một đoạn thẳng AB cho trước dưới một gúc cho trước là hai cung trũn đối xứng nhau của AB (gọi là cung chứa gúc vẽ trờn đoạn AB).
Đường trũn A-pụ-lụ-ni-ut: Quỹ tớch điểm P chuyển động mà tỷ số cỏc khoảng cỏch từ đú đến hai điểm cố định A và B cho trước bằng một tỷ số khụng đổi k (k1), là đường trũn cú đường kớnh là đoạn CD nối hai điểm C, D chia trong và chia ngoài đoạn thẳng nối hai điểm cố định A, B theo tỷ số k (vỡ hai điểm C và D cũng phự hợp với điều kiện của bài toỏn, nờn quỹ tớch này là một đường trũn kớn khụng cú điểm giới hạn).
Quỹ tớch của điểm chuyển động cỏch hai đường thẳng cắt nhau cho trước theo một tỷ số cho trước: Quỹ tớch của một điểm chuyển động P cỏch hai đường thẳng XX’, YY’ cắt nhau tại điểm O, theo tỷ số m:n cho trước là hai đường thẳng AB và CD, mà AB và CD đều đi qua cỏc điểm cố định O, Q và O, Q’ trong đú Q và Q’ cỏch XX’ bằng m và cỏch YY’ bằng n.
Quỹ tớch của một điểm chuyển động cú tổng bỡnh phương khoảng cỏch đến hai điểm A và B cho trước cú một giỏ trị khụng đổi 2