Cơ bản và Nõng cao
Trờn cơ sở nghiờn cứu lý thuyết và nghiờn cứu nội dung cỏc bài toỏn quỹ tớch trong 3 bộ SGK hỡnh học lớp 11 THPT 11 (sỏch chỉnh lớ hợp nhất năm 2000, sỏch ban Cơ bản và Nõng cao) chỳng tụi phõn chia cỏc bài toỏn quỹ tớch thành hai loại:
Loại 1: Tỡm quỹ tớch (H) của điểm T biết hỡnh dạng của (H). Loại 2: Tỡm quỹ tớch (H) của điểm T.
Bảng 2. 4: Tổng hợp số lượng cỏc bài toỏn quỹ tớch hỡnh học khụng gian trong 3 bộ sỏch giỏo khoa hỡnh học 11 - THPT. SGK Số lượng bài tập về quỹ tớch Tổng số bài tập SGK và sỏch bài tập Hỡnh học lớp 11- sỏch chỉnh lớ hợp nhất năm 2000 13 199 Hỡnh học 11 THPT ban Cơ bản 3 158
Bài tập Hỡnh học 11 THPT ban Cơ
bản 17 219
Hỡnh học 11 THPT - Nõng cao 5 188
Bài tập Hỡnh học 11 THPT - Nõng
cao 10 314
Tổng 48 1078
Qua bảng thống kờ Bảng 2.4 ta thấy số lượng cỏc bài toỏn quỹ tớch khụng được đề cập thường xuyờn trong SGK, trong khi đú lại được đề cập nhiều trong cỏc sỏch bài tập và cỏc loại sỏch tham khảo.
Bảng 2.5: Tổng hợp nội dung cỏc dạng toỏn về quỹ tớch hỡnh khụng gian trong bộ sỏch giỏo khoa hỡnh học 11 – sỏch Cơ bản.
Dạng toỏn Số lượng bài tập
Loại 1: Tỡm quỹ tớch (H) của điểm T biết hỡnh dạng của (H)
Chương II 2
Chương III 14
Loại 2: Tỡm quỹ tớch (H) của điểm T
Chương II 2
Tổng 20
Bảng 2.6: Tổng hợp nội dung cỏc dạng toỏn về quỹ tớch hỡnh khụng gian trong bộ sỏch giỏo khoa hỡnh học 11 – THPT-Nõng cao
Dạng toỏn Số lượng bài tập
Loại 1: Tỡm quỹ tớch (H) của điểm T biết hỡnh dạng của (H)
Chương II 6
Chương III 1
Loại 2: Tỡm quỹ tớch (H) của điểm T Chương II 7
Chương III 1
Tổng 15
Thụng qua ba bảng thống kờ Bảng 2.3, Bảng 2.4 và Bảng 2.5 trờn chỳng tụi thấy cỏc dạng toỏn quỹ tớch HHKG đề cập trong hai bộ SGK hỡnh học lớp 11 ban cơ bản và Nõng cao được chia làm hai loại:
Loại 1: Tỡm quỹ tớch (H) của điểm T biết hỡnh dạng của (H). Là cỏc
bài toỏn chứng minh quỹ tớch một đối tượng điểm, đường thẳng, mặt phẳng,.. cú hỡnh dạng quỹ tớch cụ thể, vớ dụ chứng minh một đường thẳng luụn đi qua một điểm cố định, chứng minh quỹ tớch một điểm thuộc một đường thẳng cố định hoặc một đường trũn cố định, chứng minh một đường thẳng nằm trờn hoặc song song với một mặt phẳng cố định. Trong loại toỏn này thỡ quỹ tớch cần tỡm đó phần nào biết trước, GV chủ yếu phải hướng dẫn học sinh dựa vào những kiến thức đó cú để chứng minh và kiểm tra những kết quả của bài toỏn.
Vớ dụ: Bài tập 18.a (SBT tr. 224): Trong mặt phẳng (P) cho đường trũn tõm
O bỏn kớnh R. Điểm A cố định thuộc đường trũn, đường kớnh BC quay quanh O (BC OA). Đặt ABC. Điểm S nằm trong khụng gian sao cho SA (P) và SA = 2R. CMR chõn đường cao SH
của SBC thuộc một đường trũn cố định.
Vỡ SA (P) và SH BC AH BC (định lý 3 đường vuụng gúc) hay
0
90
AHO . Như vậy H thuộc đường trũn đường kớnh AO trong mp(P). Đường trũn này cố định.
Loại 2: Tỡm quỹ tớch (H) của điểm T. Là cỏc bài tỡm quỹ tớch của một
điểm thoả món những điều kiện đó cho của bài toỏn. Khi giải toỏn quỹ tớch thuộc dạng này giỏo viờn phản phõn tớch, hướng dẫn HS tỡm tũi, khỏm phỏ kiến thức và phỏn đoỏn được quỹ tớch dựa vào những điều kiện của bài toỏn. Sau đú GV hướng dẫn HS dựa vào những kiến thức đó cú để chứng minh và kiểm tra những kết quả của bài toỏn sao cho quỹ tớch tỡm được khụng thừa hoặc khụng thiếu.
Dựa vào phõn tớch bài toỏn quỹ tớch trong phần Bài toỏn quỹ tớch trong chương 1: Khi giải bài toỏn thuộc loại 2 thỡ HS phải tỡm hỡnh dạng của quỹ tớch sau đú đến vị trớ và giới hạn quỹ tớch cần tỡm, chớnh vỡ vậy bài toỏn thuộc loại 1 luụn dễ hơn bài toỏn thuộc loại 2, do đú khi HS giải bài toỏn thuộc loại 1 sẽ thấy dễ tỡm ra lời giải hơn cỏc bài toỏn thuộc loại 2.
Thụng qua ba bảng thống kờ Bảng 2.3, Bảng 2.4 và Bảng 2.5 ta thấy cỏc tỏc giả trỡnh bày số lượng bài tập thuộc loại 1 luụn nhiều số lượng bài tập thuộc loại 2, đú cũng là thuận lợi hơn cho HS khi giải cỏc bài toỏn quỹ tớch.
Vớ dụ: Bài tập 21 (SBT NC, tr.53) Cho tứ diện ABCD. Hai điểm M và N lần lượt nằm trờn hai cạnh AB và AC sao cho AM AN
AB AC . Một mp(P) thay đổi luụn chứa MN, cắt cỏc cạnh CD và BD lần lượt tại E và F. Tỡm tập hợp giao điểm I của ME và NF.
Lời giải trong sỏch giỏo khoa:
Ta cú I = ME NF. Vậy
, ( ) ( )
IME ME MCD I MCD và
, ( ) ( )
thuộc giao tuyến OD của (MCD) và (NBD). Khi điểm E dần đến điểm C thỡ F dần đến B và điểm I dần đến O. Khi điểm E dần đến D thỡ điểm F dần đến D và điểm I dần đến D. Vậy tập hợp cỏc điểm I là đoạn thẳng OD.
Nhận xột về cỏch giải trong SGK
Trong bộ mụn HHKG lớp 11, toỏn quỹ tớch là một dạng toỏn khú. Đối với giỏo viờn, PPDH bài toỏn quỹ tớch khụng được trỡnh bày trong cỏc SGV và trong cỏc tài liệu hướng dẫn dạy học. Hơn nữa, khú khăn của GV và HS trong dạy và học bài toỏn quỹ tớch là số lượng bài tập về quỹ tớch trong ba bộ SGK và SBT là 48/1078 bài tập (chỉ chiếm khoảng 4,5% số lượng bài tập). Do cú ớt bài tập nờn khụng giỳp cho học sinh được luyện tập, làm quen với cỏc bài toỏn về quỹ tớch.
Nghiờn cứu cấu trỳc của mỗi bài giải toỏn quỹ tớch trong SGK ta khụng thấy cú sự phõn tớch, hướng dẫn HS tỡm tũi, khỏm phỏ ra tri thức. Do đú HS gặp nhiều khú khăn trong việc tỡm ra phương phỏp và tỡm lời giải của bài toỏn.
Lời giải khụng chỳ ý đến cỏc yờu cầu của giả thiết, hoặc những nhận định, những kết luận do trực giỏc tạo ra và tất nhiờn những điều này dẫn đến sự bế tắc trong cỏch giải, HS hay vẽ hỡnh sai hoặc sẽ dẫn đến những dự đoỏn sai lầm.
Nội dung cỏc bài toỏn quỹ tớch nằm rải rỏc trong SGK, khụng phõn chia làm cỏc loại cụ thể, cỏc bài giải toỏn quỹ tớch khụng cú một thuật giải tổng quỏt nờn khi giải những bài toỏn này HS hay gặp khú khăn trong việc phõn loại bài toỏn và đưa ra phương ỏn tối ưu và khú khăn về cỏch trỡnh bày.
Bờn cạnh đú nội dung cỏch giải thường chỉ chỳ trọng đến việc tỡm được quỹ tớch của những điểm phự hợp với điều kiện của bài toỏn mà khụng phõn tớch giả thiết do đú lời giải khụng giỳp cho HS chủ động phỏn đoỏn được
Lời giải trong sỏch giỏo khoa thường khụng tường minh, cú nghĩa là lời giải thường mới chỉ đề cập đến phần thuận (chứng minh những điểm ở trờn hỡnh phự hợp với điều kiện nhất định) mà khụng chứng minh phần đảo (chứng minh những điểm phự hợp với điều kiện nhất định đều nằm trờn hỡnh đú) nờn HS khụng nắm được mối quan hệ hữu cơ giữa phần thuận và phần đảo. Điều này thường dẫn tới hệ quả là quỹ tớch mà HS tỡm được cú thể thừa hoặc cú thể thiếu. Cú thể thấy cỏch trỡnh bày lời giải trong hai vớ dụ
trờn.
Cũng thụng qua hai vớ dụ trờn ta thấy nội dung và cỏch giải bài toỏn quỹ tớch trong SGK thiếu sự phõn tớch giả thiết, khụng dẫn dắt HS tỡm tũi khỏm phỏ kiến thức và đưa ra cỏch giải sẵn cho HS do đú HS khụng cú khả năng phỏn đoỏn được quỹ tớch dựa vào những điều kiện của bài toỏn. Nội dung cỏc cỏch giải bài tập thường chứng minh chưa đầy đủ do đú HS thường làm ra kết quả bài toỏn quỹ tớch tỡm được cú thể thừa hoặc cú thể thiếu.
Bảng 2.7: Tổng hợp cỏc dạng toỏn về quỹ tớch hỡnh khụng gian trong ba bộ sỏch giỏo khoa hỡnh học 11 (sỏch chỉnh lớ hợp nhất năm 2000, sỏch ban Cơ bản và
Nõng cao)
Quỹ tớch (H) của điểm T Số lượng bài tập Đường thẳng (đường trung trực, phõn
giỏc...) 10
Đoạn thẳng 4
Đường thẳng đi qua điểm cố định 7
Đường trũn 9
Cung trũn 4
Mặt phẳng 14
Trong thực tế, đa số HS chưa nắm bắt được cỏc kiến thức cơ bản, khụng biết vận dụng linh hoạt cỏc kiến thức để giải bài toỏn quỹ tớch nờn học sinh
rất “ngại” và “sợ” bài toỏn quỹ tớch. Khi gặp phải cõu quỹ tớch là cỏc em thường bỏ qua. Cú em cũn tõm sự “em hiểu rất mơ hồ về bài toỏn quỹ tớch, em sợ nhất là chứng minh phần đảo”. Trong những bài toỏn quỹ tớch, khi HS gặp phải bài toỏn quỹ tớch (H) của điểm T là đường thẳng, mặt phẳng, điểm cố định sẽ dễ dàng hơn so với quỹ tớch (H) của điểm T là đoạn thẳng, đường trũn, cung trũn v.v. Do vậy nội dung cỏc bài toỏn quỹ tớch là đường thẳng, mặt phẳng, điểm cố định nhiều hơn cỏc bài toỏn quỹ tớch là đoạn thẳng, đường trũn, cung trũn v.v. Dựa vào Bảng 2.4 ta thấy được điều này.
Cũng theo Bảng 2.4 ta cũn thấy được số lượng bài toỏn quỹ tớch trong sỏch Hỡnh học 11 ban cơ bản và nõng cao nhiều hơn số lượng bài tập trong sỏch Hỡnh học 11 (sỏch chỉnh lớ hợp nhất năm 2000). Theo phõn tớch ở phần mở đầu của luận văn: “Ngày nay, CNTT ngày càng trở nờn quan trọng và khụng thể thiếu trong sự phỏt triển của đất nước. Giỏo dục và đào tạo là một lĩnh vực cú khả năng ứng dụng rộng rói những thành tựu của CNTT”. Theo quan điểm của chỳng tụi, cỏc tỏc giả viết sỏch cũng dựa theo quan điểm “Đẩy mạnh ứng dụng CNTT trong giỏo dục và đưa vào tất cả cỏc cấp học, bậc học, ngành học theo hướng sử dụng CNTT như là một cụng cụ hỗ trợ đắc lực trong việc đổi mới phương phỏp dạy học, học tập ở tất cả cỏc mụn học” để biờn soạn hệ thống bài tập quỹ tớch cho phự hợp với xu thế phỏt triển của thời đại.
Chớnh vỡ vậy việc ỏp dụng phần mềm Cabri 3D vào giải cỏc bài toỏn quỹ tớch là hết sức cần thiết, với hệ thống cỏc chức năng vẽ hỡnh của phần mềm sẽ phỏt huy tớnh tớch cực học tập của HS, giỳp cho bài giảng của GV dễ hiểu và hấp dẫn hơn. Giỏo viờn cú được mụi trường thuận lợi để thực hiện cỏc ý tưởng của mỡnh, HS cú mụi trường khỏm phỏ, tỡm tũi và kiểm nghiệm cỏc vấn đề trong quỏ trỡnh học tập bài toỏn quỹ tớch, HS cú thể phỏn đoỏn được quỹ tớch dựa vào những điều kiện của bài toỏn và giới hạn được quỹ tớch tỡm được.