Tạo tỡnh huống gợi vấn đề
Trong khụng gian tọa độ Oxyz, mỗi mặt phẳng đƣợc xỏc định bởi phƣơng trỡnh Ax + By + Cz + D = 0 với A2
+ B2 + C2 > 0. Liệu ta cú thể dựa vào phƣơng trỡnh của mặt phẳng để xột vị trớ tƣơng đối của hai mặt phẳng hay khụng?
Hoạt động 1. Tiếp cận và hỡnh thành định lý vị trớ tƣơng đối giữa hai mặt phẳng
Tạo tỡnh huống gợi vấn đề bằng dự đoỏn nhờ tớnh toỏn trực quan
GV: Cho hai mặt phẳng (α) và () lần lƣợt cú phƣơng trỡnh: (α): 2x – 2y + 3z + 1 = 0, (): 4x – 4y + 6z + 1 = 0. Tỡm mối liờn hệ giữa hai vectơ phỏp tuyến của hai mặt phẳng này? HS: mp(α) cú vectơ phỏp tuyến (2; -2; 3), mp() cú vectơ phỏp tuyến
(4; - 4; 6), hai vectơ này cựng phƣơng với nhau.
GV: Từ đú nhận xột gỡ về vị trớ tƣơng đối giữa hai mặt phẳng này? HS: Hai mặt phẳng này song song hoặc trựng nhau.
GV: Căn cứ nào để phõn biệt hai trƣờng hợp trờn?
HS: Dựa vào số điểm chung của hai mặt phẳng (hai mặt phẳng song song thỡ khụng cú điểm chung cũn hai mặt phẳng trựng nhau thỡ tất cả cỏc điểm thuộc mặt phẳng này cũng thuộc mặt phẳng kia và ngƣợc lại).
Vậy, lấy điểm M (0; -1; -1) thỡ M thuộc mp(α) vỡ ta cú 0 - 2.(-1) + 3.(-1) + 1 = 0
và điểm M (0; -1; -1) khụng thuộc mp() vỡ -4.(-1) + 6.(-1) + 1 = -1 ≠ 0. Vậy hai mặt phẳng này song song với nhau.
GV: Tổng quỏt
Cho mp(α1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0; mp(α2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0. Dự đoỏn điều kiện để hai mặt phẳng song song?
HS: Quan sỏt cỏc hệ số trong vớ dụ trờn, dự đoỏn điều kiện để mp(α1) // mp(α2)
là
GV: Hóy chứng minh dự đoỏn trờn?
HS: mp(α1) và mp(α2) cú hai vectơ phỏp tuyến lần lƣợt là (A1; B1; C1), (A2; B2; C2).
mp(α1) // mp(α2) , cựng phƣơng và khụng cú điểm chung. Điều kiện , cựng phƣơng =
A2 = kA1, B2 = kB1, C2 = kC1 (k R). Điều kiện hai mặt phẳng khụng cú điểm chung tức là nếu
M(x; y; z) mp(α1) A1x + B1y + C1z + D1 = 0 D1 = - (A1x + B1y + C1z ) thỡ M (x; y; z) mp(α2) A2x + B2y + C2z + D2 ≠ 0 D2 ≠ - (A2x + B2y + C2z ) = - k(A1x + B1y + C1z) = kD1. GV: Nờu kết luận để mp(α1) // mp(α2)? HS: (α1) // mp(α2) = , D2 ≠ kD1 . GV: mp(α1) mp(α2) khi nào? HS: mp(α1) mp(α2) = , D2 = kD1 . GV: mp(α1) cắt mp(α2) khi nào? HS: mp(α1) cắt mp(α2) và khụng cựng phƣơng
hai bộ số (A1; B1; C1) và (A2; B2; C2) khụng tỉ lệ A1: B1: C1 ≠ A2: B2: C2.
GV: mp(α1) mp(α2) khi nào?
HS: mp(α1) mp(α2) . = 0
A2A1 + B2B1 + C2C1 = 0.
GV: Từ cỏc kết quả trờn em hóy tự tổng hợp tất cả cỏc trƣờng hợp về vị trớ tƣơng đối của hai mặt phẳng?
HS: mp(α1): A1x + B1y + C1z + D1 = 0; mp(α2): A2x + B2y + C2z + D2 = 0. mp(α1) // mp(α2)
mp(α1) mp(α2)
mp(α1) cắt mp(α2) A1 : B1 : C1 ≠ A2 : B2 : C2 mp(α1) mp(α2) A2 A1 + B2 B1 + C2 C1 = 0
Hoạt động 2. Củng cố định lý vị trớ tƣơng đối giữa hai mặt phẳng
Vớ dụ. Cho hỡnh lập phương ABCDA’B’C’D’ cạnh a. Trờn cỏc cạnh AA’, BC,
0 < t < a. Chứng minh rằng mp(MNP) song song với mp(ACD’) và tớnh khoảng cỏch giữa hai mặt phẳng đú.
GV: Ta cú thể giải bằng phƣơng phỏp tọa độ đƣợc khụng?
HS: Đƣợc. Chọn hệ tọa độ Oxyz nhƣ hỡnh vẽ cú gốc O trựng với D, cỏc trục Ox, Oy, Oz, lần lƣợt đi qua cỏc điểm A, C và D‟.
GV: Tỡm tọa độ cỏc điểm cần thiết?
HS: Ta cú A a( ;0;0), (0; ;0),C a D'(0;0; ),a M a( ;0; ),t N t a( ; ;0), (0; ; ).P t a GV: Nờu điều kiện hai mặt phẳng song song?
HS: Hai vectơ phỏp tuyến cựng phƣơng. GV: Cỏch tớnh khoảng cỏch giữa
hai mặt phẳng song song?
HS: Khoảng cỏch giữa hai mặt phẳng song song chớnh là khoảng cỏch từ một
điểm thuộc mặt phẳng này tới mặt phẳng kia. GV: Yờu cầu học sinh trỡnh bày bài?
HS: Học sinh trỡnh bày. Hỡnh 2.2
Giải
Phƣơng trỡnh mp(ACD‟) cú dạng phƣơng trỡnh mặt phẳng chắn:
1
x y z
a a a hay x y z a 0.
Mặt phẳng (ACD‟) cú vectơ phỏp tuyến n(1;1;1).
Mặt khỏc, mp(MNP) cú vectơ phỏp tuyến là n' MN MP, .
Ta cú MN (t a a t MP; ; ); ( a t a t; ; ).
Từ đú ta tỡm đƣợc tọa độ của vectơ n'
là:
2 2 2 2 2 2
' ( ; ; ).
n a t at a t at a t at
Bởi vậy hai vectơ n
và n'
cựng phƣơng, ngoài ra dễ thấy điểm M khụng nằm trờn mp(ACD‟), do đú mp(MNP) // mp(ACD‟). D’ D A A’ B C C’ M N x y z O B’ N P
Khoảng cỏch d giữa hai mặt phẳng đú bằng khoảng cỏch từ điểm M(a; 0; t) của mp(MNP) tới mp(ACD‟) nờn ta cú
2 2 2 0 3 . 3 1 1 1 a t a t d