quy tắc khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng
Tạo tỡnh huống gợi vấn đề bằng tƣơng tự húa, dự đoỏn nhờ nhận xột trực quan
Ta đó biết phƣơng trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng trong khụng gian Oxyz gần giống nhƣ phƣơng trỡnh tổng quỏt của đƣờng thẳng trong mặt phẳng Oxy. Mặt khỏc, trong mặt phẳng ta đó cú cụng thức tớnh khoảng cỏch từ một điểm đến một đƣờng thẳng. Tƣơng tự, trong khụng gian Oxyz, khoảng cỏch từ một điểm M0 (x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0 sẽ đƣợc tớnh theo cụng thức nào?
Hoạt động 1. Tiếp cận và hỡnh thành quy tắc khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng
GV: Trong mặt phẳng Oxy, nờu cụng thức tớnh khoảng cỏch từ một điểm M0 (x0; y0; z0) đến đƣờng thẳng : ax + by + c = 0 ?
GV: Trong khụng gian Oxyz, hóy dự đoỏn cụng thức tớnh khoảng cỏch từ điểm M0 (x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0?
GV: Chứng minh cụng thức (*)?
Gợi ý. Từ (*) ta thấy với (A; B; C) là vectơ phỏp tuyến của mp(α). Nếu gọi điểm M1(x1; y1; z1) là hỡnh chiếu của điểm M0 trờn mp(α) thỡ = M0M1 = .
Khi đú cụng thức (*)
GV: Hóy chứng minh cụng thức (1)?
HS: Ta cú .
Vỡ hai vectơ và cựng phƣơng nờn |
=
Mặt khỏc, vỡ điểm M1 thuộc mp(α) nờn ta cú Ax1 + By1 + Cz1 + D = 0 hay D = - (Ax1 + By1 + Cz1) (3)
Thay (3) vào (2) ta đƣợc
Nhƣ vậy cụng thức (*) đó đƣợc chứng minh.
Túm lại: Nếu gọi khoảng cỏch từ điểm M0 (x0; y0; z0) đến mặt phẳng (α) là
Hoạt động 2. Củng cố quy tắc khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng
Vớ dụ. Trong khụng gian Oxyz, cho hai điểm M(0; -1; 2), N(-1; 1; 3). Viết
phương trỡnh mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cỏch từ điểm K(0;0;2) đến mặt phẳng (P) là lớn nhất.
GV: Nờu cỏch viết phƣơng trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng và cụng thức tớnh khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng?
HS: Trỡnh bày phƣơng trỡnh tổng quỏt của mặt phẳng và cụng thức tớnh khoảng cỏch từ một điểm đến một mặt phẳng. Giải Phƣơng trỡnh mặt phẳng (P) cú dạng: Ax + B(y + 1) + C(z – 2 ) = 0 Ax + By + Cz + B – 2C = 0 (với A2 + B2 + C2 > 0). Do điểm N(-1; 1; 3) thuộc mp(P) nờn A = 2B + C. Vậy mp(P) cú phƣơng trỡnh (2B + C)x + By + Cz + B – 2C = 0. Ta cú khoảng cỏch từ điểm K(0; 0; 2) đến mp(P) là Nếu B = 0 thỡ = 0 (Loại). Nếu B 0 thỡ
Dấu “=” xảy ra khi B = -C. Chọn B = 1 thỡ C = -1, A = 1. Vậy mp(P) cú phƣơng trỡnh tổng quỏt là x + y – z + 3 = 0.