3 PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG
3.2.1Đường trung tâm đối ngẫu
3.2 Đường trung tâm
3.2.1Đường trung tâm đối ngẫu
Bây giờ ta xét bài toán đối ngẫu của bài toán (LP).
(LD) bTy → max,
với điều kiện
ATy +s = c, s ≥0,
trong đó A ∈ Rm×n, b ∈ Rm, c ∈ Rn cho trước và y ∈ Rm là vectơ biến đối ngẫu.
Có thể áp dụng cách tiếp cận hàm chắn vào bài tốn này nhờ lập bài tốn (BD) bTy+ µ n P j=1 logsj → max,
với điều kiện
ATy +s = c, s > 0
Ta giả thiết miền chấp nhận được đối ngẫuD = (y, s) : ATy+ s = c, s ≥ 0
có phần trong D0 = (y, s) : ATy +s = c, s > 0 6= ∅ và tập nghiệm tối ưu của (LD) bị chặn. Khi đó, khi µgiảm dần tới0 nghiệm tối ưu của (BD) tạo nên một quĩ đạo (y(µ), s(µ)), gọi là đường trung tâm đối ngẫu (dual central path).
Để tìm điều kiện cần và đủ cho nghiệm tối ưu của (BD), ta đưa vào vectơ nhân tử Lagrange và lập hàm Lagrange
bTy +µ
n
X
j=1
logsj −xT ATy+ s−c
Lấy các đạo hàm riêng theo yj và cho chúng bằng 0, ta được điều kiện
bi −aix= 0,∀i = 1, . . . , m,
với ai là vectơ dòng. Bằng cách cho các đạo hàm đối với sj bằng 0 ta nhận được
µ
sj −xj = 0,∀j = 1, . . . , n.
Kết hợp các phương trình này và các ràng buộc gốc lại với nhau ta được hệ điều kiện đầy đủ
x◦s = µ1, Ax = b, ATy +s = c.
Các điều kiện này trùng với điều kiện tối ưu đối với đường trung tâm gốc (3.2). Chú ý x là phương án chấp nhận được gốc và x > 0.
Để biểu diễn hình học đường trung tâm đối ngẫu, ta xét tập mức đối ngẫu
Ω (z) =y :c−ATy ≥ 0, bTy = z
đối với mọi z ≤ z∗, trong đó z∗ là giá trị tối ưu của (LD). Khi đó, tâm giải tích (y(z), s(z)) của Ω (z) trùng với đường trung tâm đối ngẫu khi z tiến dần đến giá trị tối ưu z∗ từ phía dưới. Điều này được minh họa ở Hình 3.2, trong đó đã vẽ miền chấp nhận được đối ngẫu (chứ không phải tập tối ưu). Tập mức Ω (z) được vẽ với các giá trị z khác nhau. Các tâm giải tích của các tập mức này tạo nên đường trung tâm đối ngẫu.
Hình 3.2: Đường trung tâm và tâm giải tích trong miền ràng buộc đối ngẫu
Ví dụ 3.3 (Hình vng đối ngẫu). Xét bài tốn đối ngẫu của Ví dụ 3.2. Đó là bài tốn
y1 + y2 → max, với điều kiện
y1 ≤ −1, (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
y2 ≤ 0,
Các biến bù ở hai bất đẳng thức trên là s1 = −1−y1, s2 = −y2. Bài toán chắn đối ngẫu là
y1 +y2 +µ[log (−1−y1) + log (−y2)] →max, với điều kiện
y1 ≤ −1,
y2 ≤ 0,
Nghiệm tối ưu của bài tốn chắn này là y1(µ) = −1− µ
Khi µ →0 ta nhận được y1 → −1, y2 →0. Đó là nghiệm duy nhất của bài tốn tuyến tính đối ngẫu. Tuy nhiên, khi µ → +∞ vectơ y khơng bị chặn, lý do là vì trong ví dụ này bản thân miền ràng buộc đối ngẫu không bị chặn.