3 PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG
3.2 Đường trung tâm
3.2.2 Đường trung tâm gốc-đối ngẫu
Giả sử miền chấp nhận được của bài toán (LP) có điểm trong và tập nghiệm tối ưu của bài tốn bị chặn. Khi đó, miền chấp nhận được đối ngẫu cũng có điểm trong. Tập vectơ (x(µ), y(µ), s(µ)) gọi là đường trung tâm gốc-đối ngẫu (primal-dual central path). Các vectơ này thỏa mãn điều kiện
x◦s = µ1 Ax = b, ATy +s = c. x ≥ 0, s ≥0.
(3.3)
với 0 ≤ µ≤ +∞. Như vậy đường trung tâm được xác định mà không cần
chỉ rõ bài toán tối ưu cụ thể nào (gốc hay đối ngẫu). Đường này chỉ đơn giản được xác định như là một tập các đẳng thức và bất đẳng thức.
Vì các điều kiện (3.2) và (3.3) là như sau nên đường trung tâm gốc- đối ngẫu có thể tách thành hai thành phần bằng cách chiếu nó xuống khơng gian thích hợp, như mơ tả trong mệnh đề sau đây.
Mệnh đề 3.1.Giả sử miền chấp nhận được của bài toán gốc và bài tốn đối ngẫu có điểm trong. Khi đó, đường trung tâm gốc-đối ngẫu có điểm trong. Khi đó, đường trung tâm gốc-đối ngẫu (x(µ), y(µ), z(µ)) tồn tại với mọi
µ, 0≤ µ < ∞. Hơn nữa, x(µ) là đường trung tâm gốc và (y(µ), s(µ)) là đường trung tâm đối ngẫu. Ngồi ra, x(µ) và (y(µ), s(µ)) hội tụ tới tâm giải tích của tập nghiệm tối ưu gốc và tập nghiệm tối ưu đối ngẫu tương ứng khi µ→ 0.
Giả sử (x(µ), y(µ), s(µ)) nằm trên đường trung tâm gốc-đối ngẫu. Khi đó từ (3.3) suy ra
cTx−bTy = yTAx +sTx−yTb= sTx = nµ.
Giá trị cTx −bTy = sTx là hiệu số giữa giá trị mục tiêu của bài toán gốc và giá trị mục tiêu của bài tốn đối ngẫu. Giá trị này ln khơng âm (theo định lý đối ngẫu yếu trong qui hoạch tuyến tính) và được gọi là độ lệch đối ngẫu.
Độ lệch đối ngẫu là thước đo mức độ tối ưu. Với phương án bất kỳ x của bài tốn gốc thì giá trị cTx là một cận trên cho giá trị tối ưu z∗ của bài tốn đối ngẫu vì cTx ≥ z∗. Tương tự, với phương án bất kỳ (y, s) của bài tốn đối ngẫu thì giá trị bTy là một cận dưới cho giá trị tối ưu z∗ (= f∗)
của bài tốn gốc vì bTy ≤ z∗. Độ lệch đối ngẫu g = cTx−bTy là một cận trên cho cTx − z∗, vì z∗ ≥ bTy = cTx − g. Như vậy, nếu có điểm chấp nhận được gốc x và điểm chấp nhận được đối ngẫu (y, s) thì chất lượng của điểm x (tức giá trị mục tiêu gốc tại x còn cách giá trị tối ưu bao xa) có thể đo bằng hiệu cTx−z∗ ≤ g.
Tại một điểm bất kỳ trên đường trung tâm gốc- đối ngẫu, độ lệch đối ngẫu đều bằng nµ. Rõ ràng là độ lệch này dần đến 0 khi µ → 0. Vì thế,
cả x(µ) lẫn (y(µ), s(µ)) tiến tới nghiệm tối ưu của bài toán gốc và đối ngẫu tương ứng.