3 PHƯƠNG PHÁP ĐIỂM TRONG
3.4.3Thuật toán HSD
3.4 Vấn đề khởi sự và kết thúc thuật toán
3.4.3Thuật toán HSD
Thuật toán tự đối ngẫu thuần nhất, gọi tắt Thuật tốn HSD (Homo- geneuous Self-Dual Algorlthm) khắc phục những khó khăn nêu trên. Thuật toán này đạt được cận lý thuyết tốt nhất O
√
nlog 1
ε
của độ phức tạp của mỗi phép lặp và hay được sử dụng trong các gói phần mềm giải qui hoạch tuyến tính.
Thuật tốn dựa trên việc xây dựng qui hoạch tuyến tính thuần nhất và tự đối ngẫu có quan hệ tới hai bài tốn ((LP) và (LD) xem mục 3.2) . Ta hãy giải thích ngắn gọn hai khái niệm chính là tính thuần nhất (homgeneity) và tính tựu đối ngẫu (self-duality) trong cách xây dựng này.
Nói chung, hệ phương trình hay bất phương trình tuyến tính gọi là thuần nhất nếu mọi thành phần ở vế phải đều bằng 0. Khi đó nếu tìm
được một nghiệm thì nhân nó với một số dương bất kỳ cũng là một nghiệm của hệ. Trong cách xây dựng dùng dưới đây ta cho phép một ràng buộc không thuần nhất duy nhất, thường gọi là ràng buộc chuẩn hóa. Dạng chính tắc ban đầu do Karmarkar xét là một bài tốn qui hoạch tuyến tính thuần nhất.
Một qui hoạch tuyến tính gọi là tự đối ngẫu nếu bài tốn đối ngẫu của nó tương đương (đơi khi trùng ) với bài tốn gốc. Ưu điểm của tính tự đối ngẫu là ta có thể áp dụng thuật tốn điểm trong gốc- đối ngẫu để giải bài toán tự đối ngẫu mà khơng cần gấp đơi số chiều của hệ tuyến tính cần giải ở mỗi vịng lặp.
Bài tốn qui hoạch tuyến tính thuần nhất và tự đối ngẫu (HSDP) được xây dựng từ bài toán (LP) và (LD) theo cách sao cho điểm x = 1, y = 0,
τ = 1, z = 1,θ = 1 là nghiệm chấp nhận được. Xét bài toán qui hoạch gốc
với điều kiện Ax−bτ +bθ = 0 −ATy+cτ −cθ ≥ 0, bTy −cTx+zθ ≥ 0, −bTy+cTx+zτ = −(n+ 1), y tùy ý, x ≥ 0, τ ≥ 0, θ tùy ý, trong đó b = b−A1, c= c−1, z = cT1+ 1.
Chú ý là b, c và z lần lượt biểu thị "tính khơng chấp nhận được" của điểm gốc, điểm đối ngẫu và độ lệch đối ngẫu ban đầu. Chúng được chọn sao cho hệ là chấp nhận được. Chẳng hạn, với điểm x = 1, y = 0, τ = 1,
θ = 1 phương trình cuối trở thành
0 +cTx−1Tx− cTx+ 1 = −n−1,
Cũng chú ý là hai ràng buộc trên cùng trong (HSDP) với τ = 1 và θ = 0 biểu thị tính chấp nhận được gốc và đối ngẫu (với x ≥ 0). Phương
trình thứ ba biểu thị hệ thức đối ngẫu yếu ngược (bTy ≥ cTx ) chứ không phải đối ngẫu yếu thơng thường (cTx ≥ bTy). Vì thế nếu ba điều kiện
này được thỏa mãn với τ = 1 và θ = 0 thì chúng xác định hai nghiệm tối ưu gốc và đối ngẫu với x= 1, (y,s) = (0,1) ta thêm biến giả tạo θ. Ràng buộc thứ tư được đưa vào để đạt được tính tự đối ngẫu.
Bài tốn này là tự đối ngẫu bởi vì tồn bộ ma trận hệ số của bài tốn có tính chất là chuyển vị của nó bằng ma trận đối của nó. Đó là một ma trận á đối xứng.
Ký hiệu s là vectơ biến bù đối với ràng buộc thứ hai và κ là biến bù đối với ràng buộc thứ ba. Ký hiệu Fh là tập tất cả các điểm (y, x, τ, θ, s, κ) là chấp nhận được của bài toán (HSDP). Ký hiệu Fh0 là tập các điểm chấp nhận được chặt với (x, τ, s, κ) > 0 trong Fh. Bằng cách kết hợp các ràng
buộc lại ta có thể viết lại ràng buộc đẳng thức cuối ở dạng
1Tx+ 1Ts+τ +κ−(n+ 1)θ = (n+ 1),
đẳng thức này dùng làm ràng buộc chuẩn hóa của bài tốn (HSDP). Có thể thấy với 0≤ θ ≤ 1 các biến trong phương trình này bị chặn.
Định lý sau đây là một kết quả cơ bản về bài tốn (HSDP).
Định lí 3.2. Xét các bài tốn (HSDP).
(i) (HSDP) có nghiệm tối ưu và tập nghiệm tối ưu của bài toán bị chặn. (ii) Giá trị tối ưu của bài toán (HSDP) bằng 0 và
(y,x, τ, θ,s, κ) ∈ Fh kéo theo (n+ 1)θ = xTs+τ κ.
(iii) Tồn tại nghiệm tối ưu (y∗,x∗, τ∗, θ∗ = 0,s∗, κ∗) ∈ Fh sao cho
x∗ +s∗ τ∗ + κ∗
> 0. Nghiệm này được gọi là nghiệm bù chặt. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Kết luận (ii) của định lý cho thấy rằng khi θ dần tới 0 thì nghiệm dần tới thỏa mãn điều kiện độ lệch bù giữaxvàs, giữaτ và κ. Kết luận (iii) chỉ ra rằng nghiệm với θ = 0 có độ lệch bù chặt theo nghĩa ít nhất một thành viên của mỗi cặp bù phải dương. Chẳng hạn, x1s1 = 0 do điều kiện bù địi hỏi, nhưng trong trường hợp này khơng thể xảy ra đồng thời x1 = 0,
s1 = 0; mà một trong chúng ((x1 hoặc s1 )) phải dương.
Mối liên hệ giữa nghiệm tối ưu của bài toán (HSDP) với nghiệm tối ưu của bài toán (LP) và (LD) được nêu trong định lý sau đây.
Định lí 3.3. Giả sử (y∗,x∗, τ∗, θ∗ = 0, s∗, κ∗) là một nghiệm tự bù chặt của bài toán (HSDP).
(i) (LP) có nghiệm (chấp nhận được và bị chặn) khi và chỉ khi τ∗ > 0. Trong trường hợp này, x∗
τ∗ là nghiệm tối ưu của (LP) và y∗ τ∗, s∗
τ∗ là nghiệm tối ưu của(LD).
(ii) (LP) khơng có nghiệm khi và chỉ khi κ∗ > 0. Trong trường hợp này,
x∗
κ∗ hoặc y∗
κ∗ hoặc cả hai là những bằng chứng của tính khơng chấp nhận được: nếu cTx∗ < 0 thì (LD) khơng chấp nhận được; nếu bTy∗ > 0 thì (LP) khơng chấp nhận được; cịn nếu cả hai cTx∗ < 0 và bTy∗ > 0 thì cả hai bài tốn (LP) và (LD) đều không chấp nhận được.
Chứng minh
Ta chứng minh mệnh đề thứ hai. Trước hết ta giả thiết rằng hoặc (LP) hoặc (LD) khơng chấp nhận được , chẳng hạn đó là (LP). Khi đó có một x ≥0 sao cho Ax = 0 và cTx = −1. Giả sử (y = 0, s = 0) và
α = n+ 1
1Tx+ 1Ts+ 1 > 0
Khi đó ta có thể kiểm tra lại rằng
y∗ = αy, x∗ = αx, τ∗ = 0, θ∗ = 0, s∗ = αs, κ∗ = α
là một nghiệm tự bù của (HSDP). Do tập tựa (tập các thành phần dương) của nghiệm bù chặt của (HSDP) là duy nhất, nênκ > 0trong một nghiệm bù chặt bất kỳ của (HSDP).
Ngược lại, nếu τ∗ = 0 thì κ∗ > 0, điều này kéo theo cTx∗ −bTy∗ < 0,
tức là hoặccTx∗ hoặc −bTy∗ nhỏ hơn 0. Chẳng hạn giả sử cTx∗ < 0. Hơn
nữa, ta có
Ax∗ = 0,ATy∗ +s∗ = 0,(x∗)Ts∗ = 0,x∗ +s∗ > 0.
Theo bổ đề Farkas x∗
κ∗ là bằng chứng cho thấy tính khơng chấp nhận được đối ngẫu . Các trường hợp khác chứng minh tương tự. Để giải bài tốn (HSDP) ta có định lý sau đây giống định lý về đường trung tâm đã xét đối với bài toán (LP)và (LD).
Định lí 3.4. Xét bài tốn (HSDP). Với bất kỳ µ > 0 có duy nhất một nghiệm (y,x, τ, θ, s, κ) trong Fh sao cho
x◦s τ κ
= µ1.
Hơn nữa,(x, τ) = (1,1),(y, s, κ) = (0,0,1) và θ = 1 là nghiệm với µ = 1.
Định lý 3.4 xác định một đường nội sinh (endogenuos path) của bài toán (HSDP): C = (y,x, τ, θ, s, κ) ∈ Fh0 : x◦s τ κ = x Ts+τ κ n+ 1 I . Hơn nữa, hàm thế của (HSDP) có thể được xác định như sau: ψn+1+ρ(x, τ, s, κ) = (n+ 1 +ρ) log xTs+τ κ− (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
n
X
j=1
log (xjsj)−log (τ κ),
trong đóρ ≥ 0. Khi đó ta có thể áp dụng các thuật tốn điểm trong mơ tả ở
trên để giải (HSDP) xuất phát từ điểm ban đầu(x, τ) = (1,1), (y,s, κ) =
(0,1,1) và θ = 0 với µ= x
Ts+τ κ n+ 1 = 1.
Phương pháp HSDP trình bày trên có các tính chất đáng chú ý sau:
• Khơng địi hỏi giả thiết chính qui liên quan đến sự tồn tại nghiệm tối ưu, nghiệm chấp nhận được hay nghiệm chấp nhận được chặt.
• Có thể xuất phát từ x = 1, y = 0 và s= 1, chấp nhận được hay
không chấp nhận được, trên tia trung tâm của gốc (orthant) dương và khơng địi hỏi tham số phạt M lớn, cũng không cần biết cận dưới của hàm mục tiêu.
• Mỗi vịng lặp giải một hệ phương trình tuyến tính có kích thước gần như ngang bằng với hệ cần giải trong các thuật toán điểm trong gốc- đối ngẫu.
• Nếu bài tốn qui hoạch tuyến tính có nghiệm chấp nhận được thì thuật tốn sẽ sinh ra một dãy điểm hội tụ đến nghiệm chấp nhận được và nghiệm tối ưu cùng một lúc; cịn nếu bài tốn khơng có nghiệm chấp nhận được hay có nghiệm vơ hạn thì thuật tốn sẽ đưa ra bằng chứng về tính khơng chấp nhận được của ít nhất một trong các bài tốn gốc và đối ngẫu.
Kết luận
Luận văn này đã trình bày khái quát về phương pháp điểm trong giải qui hoạch tuyến tính. Trong vòng 20 năm gần đây, các phương pháp điểm trong đã có sự phát triển nhanh chóng. Trên thực tế, đối với qui hoạch tuyến tính cỡ lớn thì các phương pháp điểm trong có hiệu năng tính tốn vượt trội so với phương pháp đơn hình quen thuộc. Vì thế, các phương pháp điểm trong là một công cụ mới quan trọng trong tối ưu hóa và rất được quan tâm nghiên cứu.
Tên gọi " phương pháp điểm trong" xuất hiện từ ý tưởng di chuyển ở phần trong của miền ràng buộc để đi tới lời giải tối ưu của bài tốn, nhờ đó tránh đi qua số lớn các điểm cực biên.
Phương pháp điểm trong sử dụng hàm chắn lơga với tham số µ, xác định tâm giải tích và đường trung tâm dẫn tới nghiệm tối ưu của bài tốn khi µ → 0. Phần lớn các phương pháp điểm trong dùng các bước Newton
để tìm điểm gần đường trung tâm, khi di chuyển từ giá trị µ này tới giá trị µ khác. Một cách tiếp cận đáng chú ý là phương pháp dự báo và hiệu chỉnh, theo đó lúc đầu thực hiện một bước theo hướng giảm giá trị µ, sau đó là bước hiệu chỉnh để đi gần hơn tới đường trung tâm. Phương pháp khác dùng một hàm thế mà giá trị của nó giảm dần sau mỗi bước.
Trong số rất nhiều thuật tốn điểm trong thì thuật tốn gốc-đối ngẫu được đánh giá cao hơn, vì nó rất có hiệu quả đối với những bài tốn qui hoạch tuyến tính thực tiễn. Hơn nữa, nhờ triệt để khai thác các tính chất
gốc và đối ngẫu trong qui hoạch tuyến tính nên có thể trình bày thuật toán điểm trong dạng gốc-đối ngẫu một cách đơn giản và đẹp đẽ.
Hướng phát triển tiếp theo của đề tài này là nghiên cứu các mở rộng phương pháp điểm trong cho qui hoạch toàn phương và qui hoạch lồi tổng quát.
Tài liệu tham khảo
Tài liệu tiếng Việt
[1] Trần Vũ Thiệu(2004)Giáo trình tối ưu tuyến tính, NXB Đại học Quốc
Gia Hà Nội.
[2] Hồng Tụy, Trần Vũ Thiệu (3-1982)Thuật tốn Khachian giải quy
hoạch tuyến tính trong thời gian đa thức. Tạp chí Toán học, tập X, số 1, tr.1-8.
Tài liệu tiếng Anh
[3] N.K Karmarkar(1984).A New Polynomial-Time Algorlthm for Linear (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Programming. Combinatorica.4: 373-395
[4] L.G. Khachian.Thuật tốn đa thức trong qui hoạch tuyến tính. Báo cáo Viện Hàn lâm khoa học Liên Xô, 1979, 244, 5,1093-1096 (tiếng Nga)
[5] D.G Luenberger and Y.Ye.Linear and Nonliner Programming,3rd edi- tion, Springer, 2008, pp.111-143.
[6] Y.Nesterov and A.Nemirovski.Interrior-Point Polynomial Algorlthms
in Convex Programming. SIAM, Philadelphia, 1994.
[7] J.J.Strodiot. Numerical Methods in Optimization, Namur-Belgium,