Kiến thức cơ bản

sin co sx sin cos xc a b

2.2.1. Kiến thức cơ bản

Cho ABC, gọi 3 cạnh a, b, c đối diện với 3 góc A, B, C, tƣơng ứng 3 đƣờng cao ha, hb, hc, 3 trung tuyến ma, mb, mc, 3 phân giác da, db, dc, bán kính đƣờng trịn nội tiếp r, ngoại tiếp R và nửa chu vi

Tam giác vng

ABC vng tại A, ta có a2 = b2 + c2 b2 = a.b’ c2 = a.c’ h2 = b’.c’ a.h = b.c Tam giác bất kì *) Định lí cơsin a2 = b2 + c2 - 2bc cosA b2 = a2 + c2 – 2ac cosB c2 = a2 + b2 – 2ab cosC. c' b' c b H C B A h

*) Đƣờng trung tuyến của tam giác

*) Định lí sin

*) Cơng thức tính diện tích tam giác

S = pr

(công thức Hê-rông).

2.2.2. Bài tập

2.2.2.1. Tính toán các đại lượng

Ví dụ 1. Cho ABC, biết:

a. a = 12, b = 13, c = 15. Tính cos A và góc A.

b. AB = 5, AC = 8, góc A = 600. Tính cạnh BC.

Giải

Áp dụng định lí hàm số cơsin a.

b. BC2 = AC2 + AB2 – 2.AC. AB. cos A = 82 + 52 – 2.8. 5. cos 600 = 49. Vậy BC = 7.

Ví dụ 2. Cho ABC, biết:

a. Góc A = 600, góc B = 450, b = 4. Tính cạnh a và c. b. Góc A = 600, cạnh a = 6. Tính R. Giải Áp dụng định lí hàm số sin: a. Suy ra và b. .

Ví dụ 3. Cho ABC, biết:

a. a = 7, b = 8, c = 6. Tính ma.

b. a = 5, b = 4, c = 3. Lấy D đối xứng của B qua C. Tính ma và AD.

Giải

Áp dụng cơng thức tính đƣờng trung tuyến của tam giác ta có

a.

Suy ra ma  6,1.

b. a2= b2 + c2 = 25 nên ABC vng tại A.

Do đó: .

ABD có AC là trung tuyến nên:

Từ đó

Vậy AD  8,5.

Ví dụ 4. Cho ABC, biết:

D C

B

a. a = 7, b = 8, c = 6. Tính S và ha.

b. b = 7, c = 5 và . Tính S, R và r.

Giải

Áp dụng công thức Hê-rông với .

Vì   b.  (vì sin A > 0) Theo định cơsin ta có a2 = b2 + c2 - 2bc cosA =  .  . Theo định lí sin:  Do S = pr nên

Ví dụ 5. Cho ABC, biết a = 3, b = 4, c = 6. Tính góc lớn nhất và đường cao ứng

với cạnh lớn nhất.

Giải

Ta có: c = 6 là cạnh lớn nhất của tam giác, do đó C là góc lớn nhất. 

Ta có hc là đƣờng cao ứng với cạnh lớn nhất. Theo công thức Hê-rơng

với

Nên .

Ví dụ 6. Tính các góc A, B và ha, R, của tam giác ABC biết: , b = 2, . Giải Theo định lí cơsin ta có   Áp dụng định lí sin:  .

Ví dụ 7. Cho ABC, biết a = 21, b = 17, c = 10.

a. Tính diện tích S của ABC và chiều cao ha

b. Tính bán kính đường trịn nội tiếp r và trung tuyến ma.

Giải

a. Ta có: . Theo cơng thức Hê-rơng ta có:

Do đó:

b. Ta có S = pr  .

Độ dài đƣờng trung tuyến ma:

 .

Ví dụ 8. Tam giác ABC có , b = 20, c = 35. a. Tính diện tích S và chiều cao ha.

b. Tính bán kính đường trịn ngoại tiếp R và bán kính đường trịn nội tiếp r.

Giải

a. .

Vậy .

Từ công thức 

b. Từ công thức 

Từ công thức S = pr với ta có

Ví dụ 9. Tam giác ABC có AB = 8, AC = 9, BC = 10. Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = 7. Tính độ dài đoạn thẳng AM.

Giải

Ta có

.

Áp dụng định lí cơsin cho ABM

AM2 = AB2 + BM2 – 2AB.BM cosB = .

Vậy .

Ví dụ 10. Tam giác ABC có BC = 12, CA = 13, trung tuyến AM = 8. Tính S và cạnh

AB.

Giải

Theo cơng thức Hê-rơng ta có

Vì M là trung điểm BC nên:

Ta có: 



 .

Ví dụ 11. Tam giác ABC có = 600

, = 450, BC = a. a. Tính độ dài hai cạnh AB, AC.

b. Chứng minh . C M B A C M B A

Giải

Ta có: = 1800 – (600 + 450) = 750.

Đặt AC = b, AB = c. Theo định lí hàm số sin

Suy ra:

b. Kẻ AH  BC do , đều là góc nhọn nên H thuộc đoạn BC, hay BC = HB + HC. Ta có:



 .

Ví dụ 12. Cho ABC có độ dài ba trung tuyến bằng 15; 18; 27.

a. Tính diện tích của tam giác.

b. Tính độ dài các cạnh của tam giác.

Giải

Gọi I là trung điểm của BC và G là trọng tâm của ABC thì . Vậy S = 3SGBC.

Lấy D là điểm đối xứng với G qua I ta đƣợc hình bình hành BGCD, do đó Vậy SABC = 3SBGD. BGD có độ dài ba cạnh bằng 10, 12, 18 nên ta có Vậy . b. Giả sử ma = 15, mb = 18, mc = 27. Ta có I G B A C D



Mà:

Từ đó ta tính đƣợc .

Ví dụ 13. Tính các góc của ABC nếu

Giải Do định lí hàm sin nên (*)    Ta có: c2 = 4a2 = + a2  c2 = b2 + a2.

Vậy ABC vuông tại C

Thay sin C = 1 vào (*) ta đƣợc

1. Tam giác ABC có b = 7; c = 9; . a. Tính ha

b. Tính bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp R.

Hƣớng dẫn: dùng cơng thức diện tích, định lí sin. 2. Tam giác ABC có a = 9; b = 10; c = 13.

a. Tính ha và ma. b. Tính S, r.

Hƣớng dẫn dùng định lí trung tuyến, diện tích, định lí sin.

3. Tam giác ABC có AB = c, AC = b, BC = a. Một điểm M nằm trên cạnh BC sao cho BM = d. Tính độ dài đoạn thẳng AM.

Hƣớng dẫn dùng định lí cosin để tính cos B trƣớc. 4. Tính diện tích ABC trong mỗi trƣờng hợp

a. a = 5, b = 7, = 1350 b. a = 2, b = 3, c = 4

c. = 300, = 1200, c = 12. 5. Cho ABC với = 600

, bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp bằng và bán kính đƣờng trịn nội tiếp bằng . Tính S và chu vi tam giác.

6. Cho ABC vuông tại A, kẻ đƣờng cao AH. a. Biết AH = , AB = 2. Tính AC, BC, HC. b. Biết AC = a, = 300

. Tính AB, BC, AH, SABC. c. Biết HB = 2, HC = 6. Tính AB, AC, AH. 7. Cho ABC

a. Biết b = 7, c = 5, . Tính ha, R, SABC. b. Biết a = 7, b = 8, c = 6. Tính ha, ma, SABC. c. Biết AB = 3, AC = 4, S = . Tính BC, R.

- Vận dụng các phƣơng pháp chung để chứng minh đẳng thức: biến đổi vế này thành vế kia, biến đổi tƣơng đƣơng hoặc so sánh với biểu thức trung gian, tỉ lệ thức...

- Sử dụng các định lí cơ bản về tam giác, tam giác vng.

Ví dụ 1. Tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh rằng

a. 2sinA = sinB + sinC b.

Giải

a. Cách 1: Từ định lí sin ta có

Vậy 2sinA = sinB + sinC.

Cách 2: Do a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC, nên b + c = 2a  2RsinB + 2RsinC = 2.2RsinA. Vậy thì sinB + sinC = 2sinA.

b. Do cho nên

Vậy thì

Ví dụ 2. Chứng minh rằng trong ABC, đẳng thức sin2

B + sin2 C = 2 sin2 A tương đương với

Giải

Từ định lí sin, đẳng thức sin2

B + sin2 C = 2 sin2 A tƣơng đƣơng với

Vậy thì b2

+ c2 = 2a2.

Do đó từ đẳng thức vừa thu đƣợc và định lí cơsin ta suy ra

(do Cauchy). Vậy:

Ví dụ 3. Cho ABC. Chứng minh Giải Ta có: Tƣơng tự , Do đó

Ví dụ 4. Cho ABC có trung tuyến xuất phát từ B và C là mb, mc thỏa . Chứng minh: 2 cot A = cot B + cot C

Giải Ta có   b2 c2 + a2c2 - = a2b2 + b2c2 -  a2 c2 - a2b2 = (c4 – b4)  a2 (c2 - b2) = (c2 - b2) (c2 + b2)  2 a2 = c2 + b2 (1) (do ).

Thay b2 + c2 = a2 + 2bc cos A vào (1) thành a2 = 2bc cos A

 

Ví dụ 5. Chứng minh nếu ABC có trung tuyến AA’ vng góc với trung tuyến BB’

thì cotC = 2(cotA + cotB)

Giải

GAB vng tại G có GC’ trung tuyến nên AB = 2GC’

Vậy AB = CC’  9c2 = 4  9c2 =  5c2 = a2 + b2  5c2

= c2 + 2abcosC (do định lí hàm cos)

 2c2 = abcosC  2(2RsinC)2 = (2RsinA) (2RsinB)cosC  2sin2 C = sinAsinBcosC

 2(cotB + cotA) = cotC.

Ví dụ 6. Tam giác ABC có bc = a2. Chứng minh rằng: a. sin2 A = sinB.sinC

b. hb.hc = .

Giải

a. Theo giả thiết ta có a2 = bc

Thay a = 2RsinA, b = 2RsinB, c = 2RsinC vào hệ thức trên: 4R2sin2A = 2RsinB2RsinC  sin2

A = sinBsinC b. Ta có: 2S = aha = bhb = chc  a2

= b.c.hb.hc Theo giả thiết: a2

= bc nên suy ra = hb.hc

Bài tập

1. Chứng minh trong mọi tam giác ABC ta có

G B

C’ B’

A’ C

b. sinB = sinAcosC + sinCcosA 2. Cho ABC. Chứng minh rằng

Hƣớng dẫn dùng định lí cosin và định lí sin. 3. Cho ABC. Chứng minh rằng

a. a2 - c2 = b(a cosC – c cosA) b. b = r

c. .

Hƣớng dẫn dùng định lí cosin và định lí sin. 4. Cho ABC. Chứng minh rằng

a. Nếu hai trung tuyến ma = mb thì tam giác cân.

b. Nếu hai trung tuyến AM  CN thì cotB = 2(cotA + cotC). Hƣớng dẫn dùng định lí trung tuyến.

5. Tam giác ABC có trung tuyến AM = AB. Chứng minh rằng a. sinA = 2sin(B - C)

b. cotC = 3cotB.

Hƣớng dẫn ABM cân tại A.

6. Cho ABC có a + c = 2b. Chứng minh rằng

7. Cho ABC. Chứng minh rằng

ha.hb.hc = 8R3sin2A sin2B sin2C Hƣớng dẫn dùng định lí diện tích, định lí sin. 8. Cho ABC. Chứng minh rằng

9. Cho ABC. Chứng minh rằng

a. = 2 cosC

b. sinA cos3B = sinB cos3A.

2.2.2.3. Giải tam giác và ứng dụng thực tế

- Giải tam giác là tím các cạnh và các góc cịn lại sau khi biết các giả thiết cho: ba cạnh, hai cạnh và một góc, một cạnh và hai góc. Vận dụng các định lí sin, cosin với chú ý A + B + C = 1800

để tính tốn.

- Ứng dụng thực tế là chuyển các bài toán thực tế thành bài toán tam giác, cho biết yếu tố xác định rồi tìm đại lƣợng nào đó.

Hình 2.1. Giác kế dùng để ngắm và đo đạc

Ví dụ 1. Giải tam giác ABC nếu biết

a. c = 14, = 600, = 400 b. b = 4,5, = 300, = 750. Giải a. Ta có: = 1800 – ( + ) = 1800 – (600 + 400) = 800. Từ  và . b. = 1800 – ( + ) = 1800 – (300 + 750) = 750 Vì = nên tam giác cân tại A  c = b = 4,5 và

Ví dụ 2. Giải tam giác ABC nếu biết

a. c = 35, = 400, = 1200 b. a = 137,5; = 830, = 570.

a. Ta có: = 1800 – ( + ) = 1800 – (400 + 1200) = 200. Từ  và . b. = 1800 – ( + ) = 1800 – (830 + 570) = 400. Từ  và .

Ví dụ 3. Khoảng cách từ A đến B khơng thể đo trực tiếp được vì phải qua một đầm

lầy. Người ta xác định một điểm C mà từ đó có thể nhìn được A và B, các giả thiết được cho trên hình vẽ. Tính khoảng cách AB.

Giải

Áp dụng định lí hàm số cosin cho ABC AB2 = CA2 + CB2 – 2CA.CB.cosC = 2002 + 1602 – 2.200.160.cos52012’

 26432.

Vậy AB  163 (m).

Ví dụ 4. Khoảng cách từ A đến C khơng thể đo trực tiếp được vì phải qua một hố

sâu nên người ta làm như sau: Xác định một điểm B có khoảng cách AB = 120m,

BC = 50m và đo được góc = 370. Hãy tính khoảng cách AC.

Giải

Theo định lí sin đối với ABC ta có

Vậy thì  14031’  1800 – (370 + 14031’) = 128029’ Và do Vậy khoảng cách AC  156 (m). A C B B 160m 52012’ 200m C A -- -- -- -- --- --- --- ---- -- -- - ------- -- -- ---- --

Ví dụ 5. Ta cần đo chiều cao CD của một cái tháp với C là chân tháp, D là đỉnh

tháp. Vì khơng thể đến chân tháp được nên từ hai điểm A, B có khoảng cách AB =

30m sao cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng, ta đo được các góc = 430, =

670. Hãy tính chiều cao CD của tháp.

Giải

Xét ABD: = 670 - 430 = 240. Theo định lí sin đối với ABD ta có

Trong tam giác vng BCD ta có

 CD = BD.sin670  50,3 sin670 . Vậy CD  46,3 (m).

Ví dụ 6. Từ hai vị trí A và B của một tịa nhà, người ta quan sát đỉnh C của ngọn

núi. Biết rằng độ cao AB bằng 70 m, phương nhìn AC tạo với phương nằm ngang

góc 30o , phương nhìn BC tạo với phương nằm ngang góc 15o30’. Hỏi ngọn núi đó

cao bao nhiêu mét so với mặt đất?

C B

A D

Giải

Từ giả thiết, ta suy ra tam giác ABC có = 600 , = 105030’ , c = 70

 = 1800

– ( + ) = 1800 – (600 + 105030’) = 14030’. Theo định lí sin ta có

.

Gọi CH là khoảng cách từ C đến mặt đất. Tam giác vng ACH có cạnh CH đối diện với góc 30o

nên

Vậy ngọn núi cao khoảng 135 m.

Ví dụ 7. Hai chiếc tàu thủy cùng xuất phát từ một vị trí A, đi thẳng theo hai hướng

tạo với nhau góc 60o. Tàu B chạy với tốc độ 20 hải lí một giờ. Tàu C chạy với tốc độ 15 hải lí một giờ. Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau bao nhiêu hải lí? (1 hải lí ≈ 1,852

km).

Giải

Sau 2 giờ tàu B đi đƣợc 40 hải lí, tàu C đi đƣợc 30 hải lí. Vậy tam giác ABC có AB = 40, AC = 30, .

a2 = b2 + c2 – 2bc cosA = 302 + 402 – 2.30.40.cos60o = 900 + 1600 – 1200 = 1300.

Vậy (hải lí). Sau 2 giờ, hai tàu cách nhau khoảng 36 hải lí.

Ví dụ 8. Tính khoảng cách từ một địa điểm trên bờ sông đến một gốc cây trên một

cù lao ở giữa sông. Để đo khoảng cách từ một điểm A trên bờ sông đến gốc cây C trên cù lao giữa sông, người ta chọn một điểm B cùng ở trên bờ với A sao cho từ A

và B có thể nhìn thấy điểm C. Ta đo khoảng cách AB, góc . Chẳng hạn

ta đo được m,

Giải

Khi đó khoảng cách AC đƣợc tính nhƣ sau: Áp dụng định lí sin vào tam giác ABC, ta có

Vậy AC  41,47 (m).

Ví dụ 9. Đường dây cao thế nối thẳng từ vị trí A đến vị trí B dài10km, từ vị trí A đến

vị trí C dài 8km, góc tạo bởi hai đường dây trên bằng 75o

. Tính khoảng cách từ vị trí B đến vị trí C.

Giải

Áp dụng định lí cơsin vào tam giác ABC, ta có

a2 = b2 + c2 – 2bc.cosA = 82 + 102 – 2.8.10.cos75o ≈ 123. Suy ra a ≈ 11 (km).

Vậy khoảng cách từ B đến C xấp xỉ 11 km.

Ví dụ 10. Một người ngồi trên tàu hỏa đi từ ga A đến ga B. Khi tàu đỗ ở ga A, qua

ống nhịm người đó nhìn thấy một tháp C. Hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng đi của tàu một góc 60o. Khi tàu đỗ ở ga B, người đó nhìn lại vẫn thấy tháp C, hướng nhìn từ người đó đến tháp tạo với hướng ngược với hướng đi của tàu một

góc 45o. Biết rằng đoạn đường tàu nối thẳng ga A với ga B dài 8 km. Hỏi khoảng

Giải

Xét tam giác ABC. Ta có

= 1800 – (600 + 450) = 750

Áp dụng định lí sin vào ABC, ta đƣợc

Suy ra

Vậy khoảng cách từ ga A đến tháp C xấp xỉ 6 km.