Tiết ôn tập

10. Cấu trúc của Luận văn

2.5. Vận dụng phƣơng pháp tự học trong dạy học tiết luyện tập và ôn tập của

2.5.2. Tiết ôn tập

Tiết ôn tập là một tiết rất quan trọng đối với chƣơng đó. Yêu cầu học sinh phải tổng hợp đƣợc kiến thức của chƣơng, hệ thống đƣợc hết các dạng bài tập và phƣơng pháp giải chúng. Nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức học sinh đã đƣợc học, các em thấy đƣợc mối liên hệ mật thiết giữa các nội dung. Qua đó các em vận dụng sáng tạo vào việc giải quyết mà giáo viên yêu cầu hoặc một số vấn đề trƣớc đó chƣa làm đƣợc. Vì vậy giáo viên cần tổ chức hoạt động dạy học, phân công nhiêm vụ, tạo điều kiện cho các em bộc lộ khả năng và phát triển tƣ duy sáng tạo. Học sinh biết cách biến cái đọc đƣợc trong sách vở, kiến thức của thầy, của bạn thành kiến thức của mình. Do vậy, cần phát huy tính tự giác, huy động mọi khả năng của mình, đặc biệt là tận dụng thời gian các em tự học ở nhà để hoàn thành nhiệm vụ.

Nội dung dạy học bài ôn tập chƣơng chia làm 3 giai đoạn:

Giai đoạn làm việc chung cả lớp:

a) Giáo viên giao đề tài, nhiệm vụ.

b) Tổ chức chia nhóm: Tùy mức độ cơng việc mà chia nhóm nhiều hay ít thành viên. Trong mỗi nhóm có đủ các đối tƣợng học sinh: Giỏi, khá, trung bình. Mỗi nhóm tự cử ra một học sinh đảm nhiệm làm nhóm trƣởng, một học sinh làm thƣ kí để ghi chép.

c) Giao nhiệm vụ cho nhóm và hƣớng dẫn cách làm việc theo nhóm, đƣa ra các chỉ dẫn cần thiết để phù hợp trình độ nhận thức của học sinh.

Giai đoạn làm việc nhóm:

Trong nhóm tự phân công công việc, từng cá nhân làm việc độc lập, trao đổi ý kiến, thảo luận nhóm đi đến thống nhất. Thƣ kí ghi biên bản làm việc nhóm (xem phụ lục 1), cử đại diện trình bày trƣớc lớp và giáo viên nhận xét. Giai đoạn các nhóm thảo luận và giáo viên tổng kết trước lớp:

Các nhóm lần lƣợt lên báo cáo kết quả trƣớc lớp, thảo luận chung để đƣa ra kết quả tổng hợp. Giáo viên tổng kết, đánh giá kết quả của từng nhóm thơng qua phiếu đánh giá làm việc nhóm (phụ lục 2), các thành viên trong nhóm tự đánh giá kết quả làm việc của mình và của bạn thơng qua phiếu tự đánh giá tham gia làm việc nhóm (phụ lục 3).

Để công việc đa ̣t hiê ̣u quả cao thì giáo viên phải có sự chuẩn bị rất kỹ lƣỡng, phân công nhiê ̣m vu ̣ rõ ràng , cho thời ha ̣n hoàn thành và nô ̣p báo cáo . Khâu cuối cùng là tổng kết , khen thƣởng khích lê ̣ nhóm hoàn thành tốt . Rút kinh nghiê ̣m cho các nhóm chƣa tốt.

Cụ thể công việc giáo viên giao nhiệm vụ học tập:

– Nhóm 1: Tởng hợp lý thuyết và các dạng bài tập về phƣơng trình mặt cầu.

– Nhóm 2: Tởng hợp lý thút và các da ̣ ng bài tâ ̣p về phƣơng trình mă ̣t phẳng.

– Nhóm 3: Tởng hợp lý thuyết và các da ̣ ng bài tâ ̣p về phƣơng trình đƣờng thẳng. Các dạng bài tập về góc và khoảng cách.

– Nhóm 4: Vận du ̣ng phƣơng pháp to ̣a đô ̣ để giải các bài tâ ̣p hình ho ̣c không gian.

Sau đây là kết quả báo cáo của các nhóm:

Cho hai vectơ u( ; ; ),a b c1 1 1 v( ; ; ) :a b c2 2 2

1. Cộng, trừ vectơ: u v (a1a b2; 1b c2; 1c2).

2. Nhân vectơ với một số thực: k u. (ka kb kc1; 1; 1). 3. Tích vơ hƣớng của hai vectơ: u v. a a1. 2 b b1. 2 c c1. .2

4. Tích có hƣớng của hai vectơ: u v,   b1c2 b c c a2 1; 1 2c a a b2 1; 1 2a b2 1. 5. Độ dài vectơ: u  a12 b12c12.

6. Hai vectơ bằng nhau

1 2 1 2 1 3. a a u v b b c c         

7. Góc giữa hai vectơ: cos( , ) . . . u v u v u v  8. Hai vectơ vng góc: u v u v. a a1. 2 b b1. 2 c c1. 2 0.

9. Hai vectơ u và v cùng phƣơng u= k v.  1 1 1 2 2 2 , 0 a b c u v a b c         (với a b c2. .2 2 0). 10. Ba vectơ , ,u v w đồng phẳng u v w, . 0. 11. Diện tích tam giác: 1 ,

2 ABC S  AB AC 12. Thể tích tứ diện ABCD: 1 , . . 6 ABCD V  AB AC AD

13. Thể tích khối hộp ABCD A B C D. ' ' ' ': VABCD A B C D. ' ' ' '  AB AD AA, . ' . 14. I là trung điểm đoạn thẳng AB có tọa độ ( ; ; ).

2 2 2

A B A B A B

x x y y z z

I   

15. G là trọng tâm tam giác ABC có tọa độ

G( ; ; ).

2 2 2

A B C A B C A B C

16. Tọa độ vectơ: AB(xB x yA; B y zA; B zA).

II/ Phương trình mặt cầu

1. Phƣơng trình mặt cầu đi qua M x y zo( ;o o; o) và có bán kính R là

2 2 2 2

(xxo) (y yo)  (z zo) R . 2. Phƣơng trình 2 2 2

2 2 2 0,

x  y z  ax by cz d với điều kiện 2 2 2

0

a b   c d là phƣơng trình mặt cầu tâm I(  a b c; ; ), bán kính 2 2 2

.

R a b c d

3. Các dạng bài tập về phương trình mặt cầu

1. Viết phƣơng trình mặt cầu  S có tâm (0; 1;3)I  và bán kính bằng 8.

Đáp sớ: 2 2 2

( 1) ( 3) 64.

x  y  z 

2. Viết phƣơng trình mặt cầu  S có đƣờng kính AB, với ( 2;3;1), (0; 3;3)

A  B 

Đáp số: 2 2 2

(x1)  y  (z 2) 44.

3. Viết phƣơng trình mặt cầu  S có tâm (3; 2;4)I  và đi qua điểm A7;2;1

Đáp số: 2 2 2

(x3) (y2)  (z 4) 41.

4. Viết phƣơng trình mặt cầu  S có tâm I3; 4;2  và tiếp xúc với mpOxy.

Đáp số: 2 2 2

(x3) (y4)  (z 2) 4.

5. Viết phƣơng trình mặt cầu đi qua hai điểm A3; 1;2 ,  B 1;1; 2  và có tâm thuộc trục Oz.

Giả sử tâm mặt cầu ( )S là I , vì I tḥc Oz nên (0;0; ).I c

Vì A B,  S nên IAIB. Ta có:

2 2 2 2 2 2

(3 0)   ( 1 0)  (2 c)  (1 0)  (1 0)   ( 2 c)  c 1.

Suy ra điểm (0;0;1),I bán kính RIA 11.

Vâ ̣y phƣơng trình mă ̣t cầu 2 2 2 ( ) :S x y  (z 1) 11

6. Viết phƣơng trình mặt cầu ( )S đi qua hai điểm M2;1; 3 ,  N  3; 2;1 và có tâm thuộc đƣờng thẳng : 1 1

2 1 2

x y z

d - = + =

- .

Giải. Giả sử tâm mặt cầu ( )S là ,I vì I tḥc d nên (1 2 ; 1I  t  t t;2 ).

, ( ) M N S nên IM IN hay 2 2 2 2 2 2 (2 t 1)   ( t 2) (2t3)  (2 t 4)   ( t 1) (2t1)  2t   4 t 2. Suy ra điểm (5; 3;4),I  bán kính RIA 74.

Vâ ̣y phƣơng trình mă ̣t cầu 2 2 2

( ) : (S x5) (y3)  (z 4) 74.

7. Viết phƣơng trình mặt cầu đi qua các điểm A1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1 và có tâm I nằm trên mặt phẳng   : x   y z 3 0.

Giải. Giả sử tâm mặt cầu ( )S là I, vì I tḥc   nên a   b c 3 0. (1) Vì , ,A B C( )S nên IAIBIC hay IA2 IB2 IC2, do đó: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (a 1) b c a (b 1) c a b (c 1) a b c               Suy ra a  b c 1. Vậy I(1;1;1), R 2.

Vâ ̣y phƣơng trình mă ̣t cầu 2 2 2

( ) : (S x1) (y1)  (z 1) 2.

Bài tập tự luyện

8. a) Viết phƣơng trình mặt cầu đi qua A1;2; 4 ,  B 1; 3;1 ,  C2;2;3 và có tâm thuộc mặt phẳng Oyz.

b) Viết phƣơng trình mặt cầu đi qua các điểm A1;0;0 , B 0;1;0 , C 0;0;1

và có tâm I nằm trên mặt phẳng   :x   y z 3 0.

tâm thuộc mặt phẳng   :2x   y z 3 0.

10. Viết phƣơng trình mặt cầu đi qua A1;1;1 , B1;2;1 , C1;1;2 , D2;2;1. 11. Viết phƣơng trình mặt cầu có tâm I2;1;1 và tiếp xúc với mặt phẳng

  có phƣơng trình x+ 2y- 2z+ 5= 0. Tìm tọa độ tiếp điểm.

12. Cho bốn điểm A3; 2; 2 ,   B 3;2;0 , C 0;2;1 , D 1;1;2. Viết phƣơng trình mặt cầu tâm A, tiếp xúc với mặt phẳng BCD.

13. Cho đƣờng thẳng : 1 1 2 1 2 x y z d     và hai mặt phẳng  P1 :x y 2z 5 0 và  P2 :2x   y z 2 0.

Viết phƣơng trình mặt cầu có tâm I thuộc đƣờng thẳng d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng  P1 và  P2 .

14. Cho đƣờng thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng

  :x   y z 1 0;  :x   y z 1 0.và cho hai mặt phẳng

 P x: 2y2z 3 0; Q x: 2y2z 7 0. Viết phƣơng trình mặt cầu có tâm I thuộc d và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng    P và Q .

15. Viết phƣơng trình mặt cầu tâm I1;2;1 và tiếp xúc với đƣờng thẳng

2 1 1 : 1 2 2 x y z d       .

16. Viết phƣơng trình mặt cầu  S có tâm I4;1;1 và cắt mặt phẳng   có phƣơng trình x2y2z 1 0 theo giao tuyến là đƣờng trịn có bán kính

2 2

r .

17. Viết phƣơng trình mặt cầu  S có tâm I1; 0;3 và cắt đƣờng thẳng

1 1 1

:

2 1 2

x y z

d     

tại hai điểm ,A B sao cho tam giác IAB vuông. 18. Viết phƣơng trình mặt cầu  S có tâm I2;3; 1  và cắt đƣờng thẳng

3 7 11 :

2 1 2

x y z

d     

 tại A và B sao cho AB16.

19. Cho hai đƣờng thẳng 1: 7 3 9, 2: 3 1 1

1 2 1 1 2 3

x y z x y z

d      d     

  .

Viết phƣơng trình mặt cầu nhận đoạn vng góc chung của d v d1 à 2 làm đƣờng kính.

20. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp tứ giác đều .

S ABCD có S3;2;4 , A 1;2;3 , C 3;0;3. Viết phƣơng trình mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

III/ Dạng bài tập viết phương trình mặt phẳng

Xác định một điểm và một vtpt.

Hoặc gọi phƣơng trình mặt phẳng dạngAxByCz D 0 rồi dựa vào giả thiết tìm , , , .A B C D

Vậy khi nào sử dụng cách 1, khi nào sử dụng cách 2 thì phân biệt các dạng đề bài sau:

Dạng 1. Viết pt mp đi qua A x y z( ;o o; o) và có vtpt n( ; ; )A B C

( o) ( o) ( o) 0.

A xx B y y C zz 

Dạng 2.Viết ptmp ( )P đi qua A x y z( ;o o; o) và song song với mp ( )Q - Từ ptmp ( )Q vtpt nQ ( ; ; )A B C

- Vì ( )P song song với (Q)  vtpt nP nQ ( ; ; ).A B C

- Ptmp ( )P đi qua A và có vtpt nP là:

( o) ( o) ( o) 0.

A xx B y y C zz 

Dạng 3. Viết ptmp ( )P đi qua A x y z( ;o o; o) và vng góc với đƣờng thẳng d - Từ phƣơng trình đƣờng thẳng d vtcp ud ( ; ; )A B C

- Vì ( )P vng góc với d Chọn vtpt của ( )P là nP ud ( ; ; )A B C

Dạng 4. Viết ptmp ( )P đi qua A và vng góc ( ),( ).Q R - Từ ptmp ( ),( )Q R vtpt nQ ; vtpt nR

- Vì ( )P ( )Q và ( )R vtpt nP nQ và nP  nR

Chọn nP  nQ, nR

- Vậy ptmp ( )P đi qua A và có vtpt nP  nQ, nR.

Dạng 5. Viết pt mp ( )P đi qua 3 điểm A B C, , không thẳng hàng - Tính AB, AC và a= [AB, AC]

- Ptmp ( )P đi qua A và có VTPT nP= a= [AB, AC]

Dạng 6. Viết ptmp ( )P đi qua A B, và vng góc với mp ( )Q

- Tính AB , vtpt nQ và tính [AB,nQ ]

- Vì A B, ( )P ; ( )Q ( )P nên chọn nP=[AB, nQ ] - Viết ptmp ( )P .

Dạng 7. Viết ptmp ( )P đi qua ,A vng góc với ( )Q và song song với đƣờng thẳng .d

- Tính vtpt nQ của mp ( )Q ; vtcp ud của đƣờng thẳng .d

- Tính [ud , nQ ]

- Vì ( )P ( )Q và ( )P song song với d nên vtpt của (P) là: nP= [ud , nQ ] - Từ đó viết đƣợc ptmp ( ).P

Dạng 8. Viết ptmp ( )P là trung trực của đoạn AB . - Tìm trung điểm I của đoạnAB và tính AB

- Mp ( )P đi qua I và nhận AB làm vtpt.

Dạng 9. Viết ptmp ( )P chứa d và đi quaA

- Tính AM và [ud , AM]

- Mp( )P đi qua A và có vtpt nP =[ud , AM].

Dạng 10. Viết ptmp ( )P chứa đƣờng thẳng d và song song với đƣờng thẳng



- Từ ptđt d  vtcp của đƣờng thẳng d là: ud và điểm Md

- Từ vtcp của đƣờng thẳng  là u và tính [ud , u ] - Mp ( )P đi qua M và có vtpt n= [ud, u ].

Dạng 11. Viết ptmp ( )P chứa đƣờng thẳng d và vng góc với mp ( )Q

- Từ (d) vtcp ud và điểm Md.

- Từ ( )Q vtpt nQ và tính [ud , nQ ] - Mp ( )P đi qua M và có vtpt n=[ud, nQ].

Dạng 12. Viết ptmp ( )P // với ( )Q : AxByCz D 0 và ( ,( ))d A P h

- Vì (P) // ( )Q nên ptmp (P) có dạng AxByCzD'0(với D D’). - Vì ( ,( ))d A P h nên thay vào ta tìm đƣợc D’

- Thay D’ ta có ptmp ( )P cần tìm.

Dạng 13. Viết ptmp ( )P chứa đƣờng thẳng (d) và ( ,( ))d A P h

- Gọi vtpt của mp ( )P là nP ( ; ; )A B C với đều kiện là A2

+ B2 + C2 > 0 - Từ ptđt d  vtcp ud và điểm M x y z( 0; 0; 0)d.

- Vì d nằm trong ( )P ud.nP=0 (1)

- Ptmp ( )P đi qua M là: A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0

- ( ,( ))d A P h (2)

viết đƣợc ptmp ( )P .

Dạng 14. Viết ptmp ( )P chứa đƣờng thẳng (d) và hợp với mp( )Q một góc  900

- Gọi vtpt của mp( )P là nP ( ; ; )A B C với điều kiện là A2 + B2 + C2 > 0

- Từ ptđt d vtcp ud và điểm M x y z( 0; 0; 0)d.

- Vì d (P) ud.nP=0 (1)

- Tính cos((P),(Q)). (2)

- Từ (1) và (2) ta tìm đƣợc A, B theo C từ đó chọn A, B, C đúng tỉ lệ, ta viết đƣợc ptmp(P).

Dạng 15. Viết ptmp ( )P chứa đƣờng thẳng d và hợp với đƣờng thẳng () góc  900

- Gọi vtpt của mp ( )P là nP ( ; ; )A B C với điều kiện là A2 + B2 + C2 > 0

- Từ d  vtcp ud và điểm M x y z( 0; 0; 0)d.

- Vì d (P) ud.nP=0 (1)

- Tính sin ((P),()). (2)

- Từ hệ (1) và (2) tìm đƣợc A, B theo C từ đó chọn A, B, C đúng tỉ lệ, ta viết đƣợc ptmp ( )P .

Dạng 16. Cho điểm A và đƣờng thẳng d,viết ptmp ( )P chứa d sao cho ( ,( ))

d A P là lớn nhất

- Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu vng góc của A lên .d

- Ta có ( ,( ))d A P AKAH(tính chất đƣờng vng góc và đƣờng xiên). Do đó ( ,( ))d A P max AK = AH KH.

- Viết ptmp ( )P đi qua H và nhận AH làm vtpt.

Dạng 17. Viết pt mp ( )P // với ( )Q : AxByCz D 0 và tiếp xúc với mặt cầu (S)

- Xác định tâm I, bán kính R của mặt cầu ( )S .

- Vì ( )P // ( )Q nên (P) có dạng: AxByCzD'0, trong đó 'D D. - Mà ( )P tiếp xúc với (S) nên d I P( ,( ))Rtìm đƣợc D'.

- Từ đó ta có ptmp ( )P cần tìm.

Dạng 18. Viết ptmp( )P //( )Q :AxByCz D 0 và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đƣờng tròn (C) có bán kính r (hoặc diện tích, chu vi cho trƣớc).

- Xác định tâm I , bán kính R của mặt cầu ( )S .

- Chu vi đƣờng tròn C2r và diện tích S r2 tính r.

- d I P( ,( )) R2 r2 . (1)

- Vì ( )P // ( )Q nên ( )P có dạng: AxByCzD'0.

- Suy ra ( ,( ))d I P . (2)

- Giải hệ (1), (2) tìm đƣợc D' viết đƣợc ptmp ( )P .

Dạng 19. Viết ptmp ( )P chứa đƣờng thẳng (d) và tiếp xúc với mặt cầu ( )S

- Xác định tâm I , bán kính R của mặt cầu ( )S .

- Gọi vtpt của mp ( )P là nP ( ; ; )A B C với điều kiện A2 + B2 + C2 > 0

- Từ d  vtcp ud và điểm M (d)

- d ( )P u nd. P 0 (1)

- Mà ( )P tiếp xúc với ( )S nên ( ,( ))d A P R (2) - Giải hệ (1) và (2) tìm đƣợc A, B theo C Ptmp ( )P .

Dạng 20. Viết ptmp ( )P chứa đƣờng thẳng (d) và cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến là đƣờng trịn (C) có bán kính r (hoặc diện tích , chu vi cho trƣớc)

- Xác định tâm I , bán kính R của mặt cầu ( )S .

- Chu vi đƣờng tròn C = 2r và diện tích S = r2 tính r.

- Vì d ( )P u nd. P 0 (1)

chọn M trên đƣờng thẳng d.

Ptmp( )P đi qua M có dạng: A(x – x0) + B(y – y0) + C(z – z0) = 0

– Vì ( )P cắt ( )S theo đƣờng trịn bán kính r nên d(I,(P))= r (2)

– Giải hệ (1) và (2) tìm đƣợc A, B theo C ptmp(P).

Dạng 21. Viết ptmp( )P chứa dvà cắt mặt cầu ( )S theo giao tuyến là đƣờng trịn (C) có bán kính nhỏ nhất (áp dụng trƣờng hợp d cắt ( )S tại 2 điểm). - Xác định tâm I , bán kính R của mặt cầu ( )S .

- Bán kính r  R2 d2 vớ i d là khoảng cách từ I đến mp ( ).P Bán kính

r nhỏ nhất khi và chỉ khi dlớn nhất.

- Gọi H là hình chiếu của I lên d, K là hình chiếu của I lên ( )P