Bước học 4 : ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN HAI CHIỀU
4.4.3Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc độc lập:
4.4. Hàm của các đại lượng ngẫu nhiên:
4.4.3Hàm của hai đại lượng ngẫu nhiên rời rạc độc lập:
Định nghĩa: Cho 2 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc độc lập X, Y cĩ luật phân phối xác suất như sau:
X x1 x2 x3 ..... xn
P p1 p2 p3 ..... pn
Y y1 y2 y3 ..... ym
P q1 q2 q3 ..... qm
Đại lượng ngẫu nhiên Z = ϕ(X,Y) là hàm của 2 đại lượng ngẫu nhiên rời rạc độc lập.
Bảng phân phối xác suất:
Bảng phân phối xác suất của Z cĩ dạng:
Z z1 z2 z3 ..... zk
P r1 r2 r3 ..... rk
Trong đĩ:
. zk: Là các giá trị cĩ thể cĩ của Z được tìm từ các giá trị cĩ thể cĩ của X và Y thơng qua hàm ϕ.
. rk: Xác suất tương ứng Z =zk:
pk = P(Z = zk)=∑{P(X = xn).P(Y = ym)/ϕ(xn,ym)= zk}.
Ví dụ 6: Cho X, Y là các đại lượng ngẫu nhiên rời rạc độc lập lần lượt cĩ bảng phân
phối xác suất sau:
P 0,5 0,3 0,2
Y 1 2 P 0,6 0,4
Lập bảng phân phối xác suất của đại lượng ngẫu nhiên Z = X.Y.
Ta lập bảng sau:
X\Y 0 1 2
1 0 1 2 2 0 2 4
Dựa vào bảng trên ta thấy Z cĩ thể nhận các giá trị: 0, 1, 2, 4.
Ta cĩ:
P(Z = 0) = P(X = 0).P(Y = 1) + P(X = 0).P(Y = 2) = (0,5).(0,6) + (0,5).(0,4) = 0,5 P(Z = 1) = P(X = 1).P(Y = 1) = (0,3).(0,6) = 0,18
P(Z = 2) = P(X = 2).P(Y= 1) + P(X = 1).P(Y = 2) = (0,2).(0,6) + (0,3).(0,4) = 0,24 P(Z = 4) = P(X = 2).P(Y = 2) = (0,2).(0,4) = 0,08
Vậy bảng phân phối xác suất của Z là:
Z 0 1 2 4 P 0,5 0,18 0,24 0,08
Các tham số đặc trưng: Để tính kỳ vọng và phương sai của Z ta xem Z như là 1 đại
lượng ngẫu nhiên rời rạc rồi áp dụng các cơng thức tính đã biết. Hoặc áp dụng các tính chất của kỳ vọng và phương sai để tính.
Ví dụ 7: Với giả thiết trong ví dụ 6, hãy tính E(Z) và Var(Z). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Ta cĩ: E(Z) = ∑zipi= 0.(0,5) + 1.(0,18) + 2.(0,24)+ 4.(0,08) = 0,98 Var(Z)= 2 [ ]2 ) (Z E p zi i − ∑ = 02.(0,5)+12.(0,18)+22.(0,24)+42.(0,08)−[ ]0,982 =1,46.