1.2 Giải tích biến phân
1.2.3 Nguyên lý biến phân
Mục này trình bày hai nguyên lý biến phân cơ bản:Nguyên lý biến phân Ekeland
và nguyên lý biến phân Borwein-Preiss. Các nguyên lý biến phân này là công cụ hữu hiệu trong giải tích biến phân hiện đại. Những áp dụng của chúng xuất hiện trong cả lý thuyết và lẫn ứng dụng của giải tích như: tối ưu, giải tích khơng trơn, kinh tế, lý thuyết điều khiển và lý thuyết trò chơi (xem [13, Chương 2]). Các kết quả được giới thiệu ở mục này được trình bày trong Chương 2 của tài liệu [13] và sẽ được sử dụng trong chứng minh ở Chương 2 của luận án.
Định lý 1.3(Nguyên lý biến phân Ekeland). Cho (X,d)là không gian mêtric đầy đủ
và f : X → R∪ {+∞}là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sử tồn tạie > 0và
z∈ X thỏa mãn
f(z)< inf
Khi đó tồn tạiy ∈ Xsao cho các khẳng định sau là đúng:
(i)d(z,y) ≤1,
(ii) f(y) +ed(z,y) ≤ f(z),và
(iii) f(x) +ed(x,y) ≥ f(y)với mọi x ∈ X.
Định nghĩa 1.13. (Xem [13, Định nghĩa 2.5.1, tr. 30]). Cho (X,d) là một không
gian mêtric đầy đủ. Hàm liên tục ρ : X×X → [0,+∞]được gọi là mộthàm loại gaugenếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i)ρ(x,x) = 0với mọix ∈ X,
(ii) với mọi e > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi y,z ∈ X và ρ(y,z) ≤ δ thì
d(y,z)< e.
Tiếp theo, chúng ta trình bày nguyên lý biến phân Borwein-Preiss.
Định lý 1.4(Nguyên lý biến phân Borwein-Preiss). Cho (X,d) là một không gian
mêtric đầy đủ và f : X → R∪ {+∞}là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sửρ
là một hàm loại gauge và{δi}∞i=0 là một dãy các số thực dương. Nếue >0vàz∈ X sao cho
f(z)≤ inf
x∈X f(x) +e,
thì tồn tại một phần tửy ∈ X và một dãy{xi}∞i=0 ⊂ X thỏa mãn các điều kiện sau:
(i)ρ(z,y) ≤ e
δ0,ρ(xi,y) ≤ e
2iδ
0,
(ii) f(y) +∑∞i=0δiρ(y,xi) ≤ f(z),và
(iii) f(y) +∑∞i=0δiρ(y,xi)< f(x) +∑i=0∞ δiρ(x,xi)với mọix ∈ X\ {y}.
Định lý dưới đây là sự tổng quát hóa của cả nguyên lý biến phân Ekeland và nguyên lý biến phân Borwein-Preiss.
Định lý 1.5. (Xem [13, Định lý 2.5.5, tr. 35]).Cho(X,d)là một không gian mêtric đầy
đủ và f : X → R∪ {+∞} là hàm nửa liên tục dưới, bị chặn dưới. Giả sửρlà một hàm
loại gauge và{δi}∞i=0 là một dãy các số thực không âm vớiδ0 > 0. Nếue >0và z ∈ X
thỏa mãn
f(z)≤ inf
x∈X f(x) +e,
thì tồn tại một dãy{xi}∞i=0(x0 = z)hội tụ tớiy∈ Xsao cho các khẳng định sau là đúng:
(i)ρ(z,y) ≤ e δ0,
(iii) f(y) +∑∞i=0δiρ(y,xi)< f(x) +∑i=0∞ δiρ(x,xi)với mọix ∈ X\ {y}.
Hơn nữa, nếu δk > 0và δl = 0với mọil > k ≥ 0,thì khẳng định(iii)có thể được thay bởi:
(iii0)với mọi x∈ X\ {y},tồn tại j ≥ksao cho
f(y) + k−1 ∑ i=0 δiρ(y,xi) +δkρ(y,xj) < f(x) + k−1 ∑ i=0 δiρ(x,xi) +δkρ(x,xj). 1.2.4 Hàm khả vi và tính đơn điệu
ChoX vàY là hai không gian định chuẩn. Ký hiệu L(X,Y)là tập tất cả các ánh xạ tuyến tính liên tục từ X vào Y. Khi đó, L(X,Y) là khơng gian định chuẩn. Hơn nữa, nếu Y là khơng gian Banach thì L(X,Y) cũng là không gian Banach (xem [15, Định lý 1.4.2, tr. 14]).
Định nghĩa 1.14. (Xem [70, Định nghĩa 4.5, tr. 135] và [42, Mục 0.2, tr. 22]). Cho
X,Y là các không gian Banach, U là một lân cận của điểm x ∈ X và ánh xạ
f : U → Y.
(i) Ánh xạ f được gọi làF-khả vi(haykhả vi Fréchet) tạix nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục A ∈ L(X,Y)sao cho
f(x+h) = f(x) +Ah+o(khk), khk → 0với mọih∈ V,
ở đó V là một lân cận nào đó của 0 ∈ X. Khi đó, ta viết A = f0(x) (hoặc A =
∇f(x)) và gọi f0(x)(hoặc∇f(x)) làF-đạo hàm(hayđạo hàm Fréchet) của f tạix.
Nếu hàm f là F-khả vi tại mọi điểm x ∈ U,thì ánh xạ f0 : U → L(X,Y)được gọi làF-đạo hàm(hayđạo hàm Fréchet) của f trênU.
Nếu ánh xạ f0 : U 3 x 7→ f0(x)∈ L(X,Y)liên tục tạix, thì ta gọi f làC1 tạix.
(ii)Ánh xạ f được gọi làG-khả vi(haykhả vi Gâteaux) tạixnếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục A ∈ L(X,Y)sao cho
f(x+th) = f(x) +tAh+o(|t|), |t| →0với mọih∈ X,khk =1.
Khi đó, ta viết A = f0(x) (hoặc A = ∇f(x)) và gọi f0(x) (hoặc ∇f(x)) làG-đạo hàm(hayđạo hàm Gâteaux) của f tạix.
Nếu hàm f là G-khả vi tại mọi điểm x ∈ U,thì ánh xạ f0 : U → L(X,Y)được gọi làG-đạo hàm(hayđạo hàm Gâteaux) của f trênU.
(iii) Nếu hàm f0 : U → L(X,Y) là F-khả vi (G-khả vi) tại mọi x ∈ U,thì ta gọi
f00 := (f0)0 làđạo hàm Fréchet bậc 2(đạo hàm Gâteaux bậc 2) của f trênU.
Từ Định nghĩa 1.14, dễ thấy rằng nếu ánh xạ f là G-khả vi tại xthì
f0(x)h= lim
t→0
f(x+th)− f(x)
t . (1.1)
Khẳng định dưới đây trình bày mối liên hệ giữa hai khái niệm đạo hàm trên.
Mệnh đề 1.5. (Xem [70, Mệnh đề 4.8, tr. 137]). Các khẳng định sau là đúng:
(i)Nếu f là F-khả vi tạixthì f là G-khả vi tại x.
(ii)Nếu f0 là G-đạo hàm của ánh xạ f trên một lân cậnU của xvà f0 liên tục tạix,thì
f0(x)cũng là F-đạo hàm của f tạix.
(iii)Nếu f là F-khả vi tại xthì f liên tục tại x.
Định lý dưới đây thể hiện mối liên hệ giữa ánh xạ G-khả vi f và G-đạo hàm
f0 của nó và được gọi làĐịnh lý giá trị trung bình(xem [42, Mục 0.2.3, tr. 27]).
Định lý 1.6(Định lý giá trị trung bình). Cho X vàY là các không gian Banach,U là
tập mở trongX và f :U → Y là ánh xạ G-khả vi trên đoạn[x,x+h] ⊂ U.Giả sử ánh
xạ[x,x+h]3 z7→ f0(z)h ∈ Yliên tục. Khi đó (i) f(x+h)− f(x) = R1 0 f0(x+th)hdt. (ii)kf(x+h)− f(x)k ≤ sup 0≤t≤1 kf0(x+th)kkhk.
Hơn nữa, với mọiΛ ∈ L(X,Y),ta ln có
kf(x+h)− f(x)−Λhk ≤ sup 0≤t≤1 kf0(x+th)−Λkkhk. Đặc biệt, kf(x+h)− f(x)− f0(z)hk ≤ sup 0≤t≤1 kf0(x+th)− f0(z)hkkhk ∀z∈ [x,x+h].
Tính lồi của một hàm thực liên quan chặt chẽ tới tính đơn điệu của tốn tử đạo hàm của nó. Dưới đây, trình bày một số khái niệm liên quan tới tính đơn điệu của một toán tử.
Định nghĩa 1.15. (Xem [71, Định nghĩa 25.2, tr. 500 và Định nghĩa 26.1, tr. 554]).
Cho X là không gian Banach với X∗ là không gian đối ngẫu tơpơ. Tốn tử A : X → X∗được gọi là
(i)đơn điệunếuhAu−Av,u−vi ≥ 0∀u,v∈ X.
(ii)đơn điệu chặtnếu hAu−Av,u−vi> 0∀u,v∈ X,u 6= v.
(iii)đơn điệu mạnhnếu tồn tại sốα >0sao cho
hAu−Av,u−vi ≥ αku−vk2 ∀u,v∈ X.
1.2.5 Một số kết quả về hình học Banach
Cho X là không gian Banach với đối ngẫu tôpô X∗. Tôpô yếu σ(X,X∗) trên X là tôpô vớicơ sở lân cậncủa điểm x0 ∈ X được lập thành từ các tập có dạng
V(x1∗,x∗2, ...,xk∗;e) := {x ∈ X | | hx∗i,x−x0i | <e,i =1, 2, ...,k}
với x∗1,x2∗, ...,x∗k ∈ X∗,k ∈ N,e > 0, tức là, với mọi lận cận U của x0 đối với tôpô yếu, tồn tại k ∈ N,e > 0 và các phiếm hàm x∗1,x∗2, ...,x∗k ∈ X∗ sao cho
V(x∗1,x2∗, ...,x∗k;e) ⊂U (xem [14, Chương 3, tr. 55-57]).
Định nghĩa 1.16.(Xem [14, Mệnh đề 3.5, tr. 58 và Mệnh đề 3.13, tr. 63] và [55, Định
nghĩa 1.19, tr. 30]). ChoXlà không gian Banach với không gian đối ngẫu tôpôX∗.
(i) Dãy{xn} ⊂ X được gọi là hội tụ yếutới x ∈ X và ta viết xn * xnếu với mọi
x∗ ∈ X∗,ta ln cóhx∗,xni → hx∗,xi khin → ∞.
(ii)Dãy{x∗n} ⊂ X∗ được gọi làhội tụ yếu-∗tớix∗ ∈ X∗ và ta viếtx∗n *∗ x∗nếu với mọix ∈ X,ta ln có hxn∗,xi → hx∗,xi khin → ∞.
Mệnh đề 1.6. (Xem [14, Mệnh đề 3.5, tr. 58 và Mệnh đề 3.13, tr. 63]).Cho{xn} ⊂ X
và{x∗n} ⊂ X∗.Khi đó
(i)Nếuxn → xtrongX,thì xn * x.
(ii)Nếuxn * xtrongX,thì{xn}bị chặn vàkxk ≤ lim inf
n→∞ kxnk.
(iii)Nếuxn * xtrongXvà x∗n → x∗ trongX∗,thìhx∗n,xni → hx∗,xi.
(iv)Nếu x∗n → x∗ trongX∗,thì xn *∗ x∗.
(v)Nếu x∗n *∗ x∗ trongX∗,thì{xn∗}bị chặn vàkx∗k ≤ lim inf
n→∞ kx
∗
nk.
(v)Nếu x∗n *∗ x∗ trongX∗và xn → xtrongX,thìhx∗n,xni → hx∗,xi.
Định lý 1.7. (Xem [14, Định lý 3.7, tr. 60]). ChoC là tập lồi trong không gian Banach
Ta gọiX∗∗ := (X∗)∗làsong đối ngẫucủaX.Dễ thấyX∗∗là không gian Banach với chuẩn
kξkX∗∗ = sup{hξ,x∗i | x∗ ∈ X∗,kx∗k ≤1}.
Với mỗi x ∈ X, ta xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục ξx : x∗ 3 X∗ 7→ hx∗,xivà do đóξx ∈ X∗∗.Khi đó ánh xạ
J : X → X∗∗,x 7→ξx (1.2) được gọi làphép nhúng chính tắc. Dễ thấy J là ánh xạ đẳng cự, tức là kJxk = kxk
với mọix ∈ X (xem [14, Mục 1.3, tr. 8]).
Định nghĩa 1.17. (Xem [14, Định nghĩa, tr. 67]). Cho X là không gian Banach và
J : X → X∗∗là phép nhúng chính tắc (1.2). Khơng gianXđược gọi làphản xạnếu
J là toàn ánh, tức là J(X) = X∗∗.
Khi Xlà không gian phản xạ, ta thường đồng nhất X∗∗với X.
Dưới đây trình bày một số tính chất của khơng gian Banach phản xạ.
Định lý 1.8. (Xem [14, Định lý 3.18, tr. 69]).Cho X là không gian Banach phản xạ và
{xn}là một dãy bị chặn trong X.Khi đó tồn tại dãy con{xnk}hội tụ yếu.
Mệnh đề 1.7. (Xem [14, Mệnh đề 3.20, tr. 70]).Giả sử X là không gian Banach phản
xạ và Mlà khơng gian tuyến tính con đóng của X.Khi đó M cũng là phản xạ.
Định nghĩa 1.18. (Xem [14, Định nghĩa, tr. 72]). Ta nói rằng khơng gian mêtric X
được gọi làkhả lynếu tồn tại một tập đếm được D ⊂ Xsao cho D = X.
Định lý 1.9. (Xem [14, Hệ quả 3.30, tr. 76]).ChoXlà không gian Banach khả ly và cho
{x∗n}là dãy bị chặn trong X∗.Khi đó tồn tại dãy con{xnk∗ }hội tụ yếu-∗.
Cho không gian BanachX,ký hiệuSXlà mặt cầu đơn vị trongX,tức làSX := {x ∈ X | kxk = 1}.
Định nghĩa 1.19. (Xem [32, Định nghĩa, tr. 21]). Không gian Banach X được gọi
làtrơntạix0 ∈ SX nếu tồn tại duy nhất phiếm hàm f ∈ SX∗ sao cho f(x0) = 1.
Định nghĩa 1.20. (Xem [32, Định nghĩa, tr. 21]). Khơng gian Banach X được gọi làcó chuẩnk · kkhả vi Gâteauxtại x0 ∈ SX nếu với mọix ∈ SX,giới hạn
lim
λ→0
kx0 +λxk − kx0k
λ tồn tại.
Nếu X có một chuẩn k · k khả vi tại mọi điểm x ∈ SX, thì ta nói chuẩn k · k
củaX khả vi Gâteaux.
Định lý dưới đây thể hiện sự tương đương giữa tính trơn của khơng gian và tính khả vi Gâteaux của chuẩn trên khơng gian đó.
Định lý 1.10. (Xem [32, Định lý 1, tr. 22]).Cho x0 ∈ X.Khi đó X trơn tạix0 nếu và
chỉ nếu chuẩn củaX là khả vi Gâteaux tạix0.
Định nghĩa 1.21. (Xem [32, Định nghĩa, tr. 23, 31] và [55, Định nghĩa 2.12, tr. 41]).
Không gian BanachXđược gọi là:
(i)lồi chặtnếu từ x,y ∈ X,kxk = kyk = 1và kx+yk =2suy rax =y.
(ii)lồi đềunếu với mọie > 0,tồn tại sốδ(e) >0sao cho từx,y ∈ X,kxk = kyk =
1vàkx−yk ≥esuy rakx+yk ≥ 2(1−δ(e)).
Dễ thấy rằng một không gian Banach X lồi đều là lồi chặt. Định lý dưới đây thể hiện mối liên hệ giữa tính trơn và tính lồi của các không gian Banach và đối ngẫu tơpơ của nó.
Định lý 1.11. (Xem [32, Định lý 2, tr. 23]). Cho X là không gian Banach và X∗ là
không gian đối ngẫu tơpơ.
(i)NếuX∗ là lồi chặt, thìX là trơn.
(ii)NếuX∗ là trơn, thìXlà lồi chặt.
Một tập K trong khơng gian Banach X được gọi là compact yếu nếu K là tập compact với tôpô yếu trênX.
Định nghĩa 1.22. (Xem [32, Chương 5, tr. 143]). Không gian Banach X được gọi
là sinh bởi tập compact yếu (hoặc ta gọiXlàkhông gian WCG) nếu tồn tại một tập
compact yếuK ⊂ X sao cho khơng gian tuyến tính sinh bởi tập K trù mật trong
Nhận xét 1.1. (Xem [32, Ví dụ, tr. 143]).
(i)NếuXhoặc là khơng gian Banach phản xạ, thìXlà khơng gian WCG. Thật vậy, trong trường hợp này ta chọnK = BX.
(ii)Nếu X là không gian khả ly, thì Xcũng là khơng gian WCG. Thật vậy, giả sử {xn}
là tập con đếm được và trù mật trong khơng gianX.Khi đó ta chọn tậpK = {xnn }là tập compact yếu vàspan(K) = X.
Định lý 1.12. (Xem [32, Hệ quả 2, tr. 148] và [55, Định lý 2.19, tr. 44]). Nếu X là
khơng gian Banach WCG, thì tồn tại một chuẩn k · k0 tương đương với chuẩn đã cho trongX sao cho đối với chuẩn k · k0 không gian X là trơn, lồi chặt và X∗ là không gian lồi chặt.
1.3 Giải tích lồi
Mục này trình bày các khái niệm và tính chất liên quan tới giải tích lồi. Các mục 1.3.1 và 1.3.2 lần lượt trình bày các khái niệm và tính chất liên quan tới hàm lồi và bài tốn tối ưu lồi. Trong mục 1.3.3, chúng tơi trình bày định lý tách các tập lồi. Các kiến thức trong mục này đã được trình bày trong nhiều cuốn sách chuyên khảo về giải tích lồi, chẳng hạn như: [42, 67].
1.3.1 Hàm lồi
ChoX là không gian Banach và f : X → [−∞,+∞]là hàm thực mở rộng. Ta gọi các tập
domf :={x ∈ X | f(x)< +∞} vàepif := {(x,α)∈ X×R | f(x) ≤ α}
lần lượt là miền hữu hiệu và epigraph của hàm f. Hàm f được gọi là hàm chính thườngnếudomf 6= ∅và f(x) > −∞với mọi x.Hàm f được gọi làlồi nếu epif
là tập lồi trong khơng gianX×R(xem [42, Mục 0.3.1, tr. 45]).
Định nghĩa 1.23. (Xem [42, Mục 0.3.2, tr. 46]). Cho X là không gian Banach và
X∗là không gian đối ngẫu tơpơ của nó. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X.
Một phiếm hàmx∗ ∈ X∗ được gọi làdưới gradientcủa f tại điểmx∈ X nếu
Tập tất cả các dưới gradient của f tại điểm x ∈ X được gọi là dưới vi phâncủa f
tại điểm đó và được ký hiệu là∂f(x).
Như vậy, theo định nghĩa ta có
∂f(x) = {x∗ ∈ X∗ | f(z)− f(x) ≥ hx∗,z−xi với mọiz∈ X}.
Hơn nữa, nếu f là hàm khả vi Gâteaux tạix ∈ X thì
∂f(x) = {∇f(x)}. (1.3)
Ví dụ 1.2. (Xem [42, Mục 0.3.2, tr. 46]).ChoXlà không gian Banach vàx ∈ X,x 6= 0.
Khi đó
∂kxk = {x∗ ∈ X | hx∗,xi= kxk,kx∗k = 1}.
Định lý Moreau-Rockafellar dưới đây trình bày cách tính dưới vi phân của tổng của hai hàm lồi.
Định lý 1.13(Định lý Moreau-Rockafellar). Cho f1và f2là hai hàm lồi chính thường
trênX.Khi đó
∂(f1 + f2)(x) ⊃∂f1(x) +∂f2(x) ∀x ∈ X.
Hơn nữa, nếu f1 liên tục tại điểmx0 ∈ domf1∩domf2,thì
∂(f1 + f2)(x) = ∂f1(x) +∂f2(x) ∀x ∈ X.
1.3.2 Bài toán quy hoạch lồi
ChoX là khơng gian tuyến tính, f : X → Rlà hàm cho trước và A ⊂ X.Xét bài toán tối ưu sau:
f(x) → inf với x∈ A. (1.4)
Bài toán (1.4) được gọi làbài toán quy hoạch lồinếu hàm f và tập Alà lồi.
Định lý sau trình bày điều kiện cần và đủ để một điểm cho trướcx∗là nghiệm tối ưu của bài toán (1.4).
Định lý 1.14. (Xem [42, Định lý 2’, Chương 1, tr. 69]).Cho X là không gian tôpô lồi
địa phương khả ly và(1.4) là bài toán quy hoạch lồi. Giả sử f liên tục tại một điểm nào đó thuộc tập lồi A và x∗ ∈ A.Khi đó, x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán(1.4) nếu và chỉ nếu
1.3.3 Định lý tách các tập lồi
ChoX là không gian tôpô lồi địa phương khả ly và A,Blà hai tập con cho trước củaX.Một phiếm hàm tuyến tính liên tụcx∗ : X → Rđược gọi làtáchhai tập A
vàBnếu
hx∗,xi ≤ hx∗,yi ∀x ∈ A,∀y∈ B.
Định lý 1.15. (Xem [42, Định lý 1, tr. 163]).Cho AvàBlà các tập con lồi trong không
gian tôpô lồi địa phương khả lyX và intA 6= ∅.Khi đó AvàBđược tách bởi một phiếm hàm tuyến tính liên tụcx∗ 6=0nếu và chỉ nếu(intA)∩B= ∅.
1.4 Khơng gian Sobolev và phương trình elliptic
Mục này sẽ giới thiệu về một lớp các bài tốn Dirichlet đối với phương trình đạo hàm riêng elliptic. Trong đó, chúng ta sẽ nghiên cứu các khái niệm và tính chất liên quan tới bài tốn Dirichlet, bao gồm: khơng gian Sobolev; sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet; và tính chính quy của nghiệm.
1.4.1 Khơng gian Sobolev
Một lớp các không gian Banach liên quan chặt chẽ tới lớp các hàm khả vi yếu được xuất hiện trong mối liên hệ với nhiều bài tốn của phương trình đạo hàm riêng. Các không gian này thường được đặt theo tên nhà tốn học Xơ-viết, Sergei Lvovich Sobolev. Một điều quan trọng là các nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng thường nằm trong các không gian Sobolev hơn là các không gian thông