1.2 Giải tích biến phân
1.2.5 Một số kết quả về hình học Banach
Cho X là không gian Banach với đối ngẫu tôpô X∗. Tôpô yếu σ(X,X∗) trên X là tôpô vớicơ sở lân cậncủa điểm x0 ∈ X được lập thành từ các tập có dạng
V(x1∗,x∗2, ...,xk∗;e) := {x ∈ X | | hx∗i,x−x0i | <e,i =1, 2, ...,k}
với x∗1,x2∗, ...,x∗k ∈ X∗,k ∈ N,e > 0, tức là, với mọi lận cận U của x0 đối với tôpô yếu, tồn tại k ∈ N,e > 0 và các phiếm hàm x∗1,x∗2, ...,x∗k ∈ X∗ sao cho
V(x∗1,x2∗, ...,x∗k;e) ⊂U (xem [14, Chương 3, tr. 55-57]).
Định nghĩa 1.16.(Xem [14, Mệnh đề 3.5, tr. 58 và Mệnh đề 3.13, tr. 63] và [55, Định
nghĩa 1.19, tr. 30]). ChoXlà không gian Banach với không gian đối ngẫu tôpôX∗.
(i) Dãy{xn} ⊂ X được gọi là hội tụ yếutới x ∈ X và ta viết xn * xnếu với mọi
x∗ ∈ X∗,ta ln cóhx∗,xni → hx∗,xi khin → ∞.
(ii)Dãy{x∗n} ⊂ X∗ được gọi làhội tụ yếu-∗tớix∗ ∈ X∗ và ta viếtx∗n *∗ x∗nếu với mọix ∈ X,ta ln có hxn∗,xi → hx∗,xi khin → ∞.
Mệnh đề 1.6. (Xem [14, Mệnh đề 3.5, tr. 58 và Mệnh đề 3.13, tr. 63]).Cho{xn} ⊂ X
và{x∗n} ⊂ X∗.Khi đó
(i)Nếuxn → xtrongX,thì xn * x.
(ii)Nếuxn * xtrongX,thì{xn}bị chặn vàkxk ≤ lim inf
n→∞ kxnk.
(iii)Nếuxn * xtrongXvà x∗n → x∗ trongX∗,thìhx∗n,xni → hx∗,xi.
(iv)Nếu x∗n → x∗ trongX∗,thì xn *∗ x∗.
(v)Nếu x∗n *∗ x∗ trongX∗,thì{xn∗}bị chặn vàkx∗k ≤ lim inf
n→∞ kx
∗
nk.
(v)Nếu x∗n *∗ x∗ trongX∗và xn → xtrongX,thìhx∗n,xni → hx∗,xi.
Định lý 1.7. (Xem [14, Định lý 3.7, tr. 60]). ChoC là tập lồi trong không gian Banach
Ta gọiX∗∗ := (X∗)∗làsong đối ngẫucủaX.Dễ thấyX∗∗là không gian Banach với chuẩn
kξkX∗∗ = sup{hξ,x∗i | x∗ ∈ X∗,kx∗k ≤1}.
Với mỗi x ∈ X, ta xác định một phiếm hàm tuyến tính liên tục ξx : x∗ 3 X∗ 7→ hx∗,xivà do đóξx ∈ X∗∗.Khi đó ánh xạ
J : X → X∗∗,x 7→ξx (1.2) được gọi làphép nhúng chính tắc. Dễ thấy J là ánh xạ đẳng cự, tức là kJxk = kxk
với mọix ∈ X (xem [14, Mục 1.3, tr. 8]).
Định nghĩa 1.17. (Xem [14, Định nghĩa, tr. 67]). Cho X là không gian Banach và
J : X → X∗∗là phép nhúng chính tắc (1.2). Khơng gianXđược gọi làphản xạnếu
J là toàn ánh, tức là J(X) = X∗∗.
Khi Xlà không gian phản xạ, ta thường đồng nhất X∗∗với X.
Dưới đây trình bày một số tính chất của khơng gian Banach phản xạ.
Định lý 1.8. (Xem [14, Định lý 3.18, tr. 69]).Cho X là không gian Banach phản xạ và
{xn}là một dãy bị chặn trong X.Khi đó tồn tại dãy con{xnk}hội tụ yếu.
Mệnh đề 1.7. (Xem [14, Mệnh đề 3.20, tr. 70]).Giả sử X là không gian Banach phản
xạ và Mlà khơng gian tuyến tính con đóng của X.Khi đó M cũng là phản xạ.
Định nghĩa 1.18. (Xem [14, Định nghĩa, tr. 72]). Ta nói rằng khơng gian mêtric X
được gọi làkhả lynếu tồn tại một tập đếm được D ⊂ Xsao cho D = X.
Định lý 1.9. (Xem [14, Hệ quả 3.30, tr. 76]).ChoXlà không gian Banach khả ly và cho
{x∗n}là dãy bị chặn trong X∗.Khi đó tồn tại dãy con{xnk∗ }hội tụ yếu-∗.
Cho khơng gian BanachX,ký hiệuSXlà mặt cầu đơn vị trongX,tức làSX := {x ∈ X | kxk = 1}.
Định nghĩa 1.19. (Xem [32, Định nghĩa, tr. 21]). Không gian Banach X được gọi
làtrơntạix0 ∈ SX nếu tồn tại duy nhất phiếm hàm f ∈ SX∗ sao cho f(x0) = 1.
Định nghĩa 1.20. (Xem [32, Định nghĩa, tr. 21]). Không gian Banach X được gọi làcó chuẩnk · kkhả vi Gâteauxtại x0 ∈ SX nếu với mọix ∈ SX,giới hạn
lim
λ→0
kx0 +λxk − kx0k
λ tồn tại.
Nếu X có một chuẩn k · k khả vi tại mọi điểm x ∈ SX, thì ta nói chuẩn k · k
củaX khả vi Gâteaux.
Định lý dưới đây thể hiện sự tương đương giữa tính trơn của khơng gian và tính khả vi Gâteaux của chuẩn trên khơng gian đó.
Định lý 1.10. (Xem [32, Định lý 1, tr. 22]).Cho x0 ∈ X.Khi đó X trơn tạix0 nếu và
chỉ nếu chuẩn củaX là khả vi Gâteaux tạix0.
Định nghĩa 1.21. (Xem [32, Định nghĩa, tr. 23, 31] và [55, Định nghĩa 2.12, tr. 41]).
Không gian BanachXđược gọi là:
(i)lồi chặtnếu từ x,y ∈ X,kxk = kyk = 1và kx+yk =2suy rax =y.
(ii)lồi đềunếu với mọie > 0,tồn tại sốδ(e) >0sao cho từx,y ∈ X,kxk = kyk =
1vàkx−yk ≥esuy rakx+yk ≥ 2(1−δ(e)).
Dễ thấy rằng một không gian Banach X lồi đều là lồi chặt. Định lý dưới đây thể hiện mối liên hệ giữa tính trơn và tính lồi của các khơng gian Banach và đối ngẫu tơpơ của nó.
Định lý 1.11. (Xem [32, Định lý 2, tr. 23]). Cho X là không gian Banach và X∗ là
khơng gian đối ngẫu tơpơ.
(i)NếuX∗ là lồi chặt, thìX là trơn.
(ii)NếuX∗ là trơn, thìXlà lồi chặt.
Một tập K trong khơng gian Banach X được gọi là compact yếu nếu K là tập compact với tôpô yếu trênX.
Định nghĩa 1.22. (Xem [32, Chương 5, tr. 143]). Không gian Banach X được gọi
là sinh bởi tập compact yếu (hoặc ta gọiXlàkhông gian WCG) nếu tồn tại một tập
compact yếuK ⊂ X sao cho khơng gian tuyến tính sinh bởi tập K trù mật trong
Nhận xét 1.1. (Xem [32, Ví dụ, tr. 143]).
(i)NếuXhoặc là khơng gian Banach phản xạ, thìXlà khơng gian WCG. Thật vậy, trong trường hợp này ta chọnK = BX.
(ii)Nếu X là khơng gian khả ly, thì Xcũng là khơng gian WCG. Thật vậy, giả sử {xn}
là tập con đếm được và trù mật trong khơng gianX.Khi đó ta chọn tậpK = {xnn }là tập compact yếu vàspan(K) = X.
Định lý 1.12. (Xem [32, Hệ quả 2, tr. 148] và [55, Định lý 2.19, tr. 44]). Nếu X là
khơng gian Banach WCG, thì tồn tại một chuẩn k · k0 tương đương với chuẩn đã cho trongX sao cho đối với chuẩn k · k0 không gian X là trơn, lồi chặt và X∗ là không gian lồi chặt.