Mục này trình bày các khái niệm và tính chất liên quan tới giải tích lồi. Các mục 1.3.1 và 1.3.2 lần lượt trình bày các khái niệm và tính chất liên quan tới hàm lồi và bài toán tối ưu lồi. Trong mục 1.3.3, chúng tơi trình bày định lý tách các tập lồi. Các kiến thức trong mục này đã được trình bày trong nhiều cuốn sách chun khảo về giải tích lồi, chẳng hạn như: [42, 67].
1.3.1 Hàm lồi
ChoX là không gian Banach và f : X → [−∞,+∞]là hàm thực mở rộng. Ta gọi các tập
domf :={x ∈ X | f(x)< +∞} vàepif := {(x,α)∈ X×R | f(x) ≤ α}
lần lượt là miền hữu hiệu và epigraph của hàm f. Hàm f được gọi là hàm chính thườngnếudomf 6= ∅và f(x) > −∞với mọi x.Hàm f được gọi làlồi nếu epif
là tập lồi trong khơng gianX×R(xem [42, Mục 0.3.1, tr. 45]).
Định nghĩa 1.23. (Xem [42, Mục 0.3.2, tr. 46]). Cho X là không gian Banach và
X∗là không gian đối ngẫu tơpơ của nó. Giả sử f là hàm lồi chính thường trên X.
Một phiếm hàmx∗ ∈ X∗ được gọi làdưới gradientcủa f tại điểmx∈ X nếu
Tập tất cả các dưới gradient của f tại điểm x ∈ X được gọi là dưới vi phâncủa f
tại điểm đó và được ký hiệu là∂f(x).
Như vậy, theo định nghĩa ta có
∂f(x) = {x∗ ∈ X∗ | f(z)− f(x) ≥ hx∗,z−xi với mọiz∈ X}.
Hơn nữa, nếu f là hàm khả vi Gâteaux tạix ∈ X thì
∂f(x) = {∇f(x)}. (1.3)
Ví dụ 1.2. (Xem [42, Mục 0.3.2, tr. 46]).ChoXlà khơng gian Banach vàx ∈ X,x 6= 0.
Khi đó
∂kxk = {x∗ ∈ X | hx∗,xi= kxk,kx∗k = 1}.
Định lý Moreau-Rockafellar dưới đây trình bày cách tính dưới vi phân của tổng của hai hàm lồi.
Định lý 1.13(Định lý Moreau-Rockafellar). Cho f1và f2là hai hàm lồi chính thường
trênX.Khi đó
∂(f1 + f2)(x) ⊃∂f1(x) +∂f2(x) ∀x ∈ X.
Hơn nữa, nếu f1 liên tục tại điểmx0 ∈ domf1∩domf2,thì
∂(f1 + f2)(x) = ∂f1(x) +∂f2(x) ∀x ∈ X.
1.3.2 Bài toán quy hoạch lồi
ChoX là khơng gian tuyến tính, f : X → Rlà hàm cho trước và A ⊂ X.Xét bài toán tối ưu sau:
f(x) → inf với x∈ A. (1.4)
Bài toán (1.4) được gọi làbài toán quy hoạch lồinếu hàm f và tập Alà lồi.
Định lý sau trình bày điều kiện cần và đủ để một điểm cho trướcx∗là nghiệm tối ưu của bài toán (1.4).
Định lý 1.14. (Xem [42, Định lý 2’, Chương 1, tr. 69]).Cho X là không gian tôpô lồi
địa phương khả ly và(1.4) là bài toán quy hoạch lồi. Giả sử f liên tục tại một điểm nào đó thuộc tập lồi A và x∗ ∈ A.Khi đó, x∗ là nghiệm tối ưu của bài toán(1.4) nếu và chỉ nếu
1.3.3 Định lý tách các tập lồi
ChoX là không gian tôpô lồi địa phương khả ly và A,Blà hai tập con cho trước củaX.Một phiếm hàm tuyến tính liên tụcx∗ : X → Rđược gọi làtáchhai tập A
vàBnếu
hx∗,xi ≤ hx∗,yi ∀x ∈ A,∀y∈ B.
Định lý 1.15. (Xem [42, Định lý 1, tr. 163]).Cho AvàBlà các tập con lồi trong không
gian tôpô lồi địa phương khả lyX và intA 6= ∅.Khi đó AvàBđược tách bởi một phiếm hàm tuyến tính liên tụcx∗ 6=0nếu và chỉ nếu(intA)∩B= ∅.
1.4 Khơng gian Sobolev và phương trình elliptic
Mục này sẽ giới thiệu về một lớp các bài tốn Dirichlet đối với phương trình đạo hàm riêng elliptic. Trong đó, chúng ta sẽ nghiên cứu các khái niệm và tính chất liên quan tới bài tốn Dirichlet, bao gồm: không gian Sobolev; sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài tốn Dirichlet; và tính chính quy của nghiệm.
1.4.1 Không gian Sobolev
Một lớp các không gian Banach liên quan chặt chẽ tới lớp các hàm khả vi yếu được xuất hiện trong mối liên hệ với nhiều bài tốn của phương trình đạo hàm riêng. Các khơng gian này thường được đặt theo tên nhà tốn học Xơ-viết, Sergei Lvovich Sobolev. Một điều quan trọng là các nghiệm yếu của phương trình đạo hàm riêng thường nằm trong các khơng gian Sobolev hơn là các không gian thông thường như không gian các hàm liên tục hoặc không gian các hàm khả vi liên tục.... Trước khi đi vào định nghĩa về không gian Sobolev, chúng ta nhắc lại một số khái niệm liên quan. Các khái niệm và tính chất sau đây được trình bày trong nhiều cuốn sách chuyên khảo liên quan tới khơng gian Sobolev, phương trình elliptic và phương trình đạo hàm riêng (xem [4, 14, 27, 36, 37, 39, 59]).
Ta gọi α := (α1,α2, ...,αN), với αi ∈ Z,αi ≥ 0,i = 1, 2, ...,N, là một đa chỉ số
và ký hiệu xα := xα1
1 xα2
2 · · ·xαN
N ,với x = (x1,x2, ...,xN) ∈ RN,là mộtđơn thức cấp
|α|= ∑N
i=1αi.Tương tự, nếuDj := ∂
∂xj,với1≤ j ≤ N,thì ký hiệu
Dα := Dα1
1 Dα2
2 · · ·DαN
là mộttoán tử vi phân cấp |α|.Ta quy ước D(0,...,0)u = uvới mọi hàmutrênRN.
Trong mục này, nếu khơng có giải thích thêm, chúng ta ln xét Ω ⊂ RN là một tập con mở trongRN.
Với mỗi hàm số u : Ω → R,gọi tập suppu := {x∈ Ω :u(x) 6=0} là giácủa hàm sốu.
Với mỗi số nguyên không âmm,chúng ta nhắc lại một số các không gian hàm sau:
Cm(Ω) := {u: Ω → R| Dαuliên tục trênΩ,∀|α| ≤ m}, C∞(Ω) := ∩∞m=0Cm(Ω),
C0(Ω) := {u ∈ C0(Ω) |suppulà tập compact trongΩ}, C0∞(Ω) := {u∈ C∞(Ω) |suppulà tập compact trongΩ}.
Ta quy ướcC0(Ω) ≡C(Ω).
Tiếp theo chúng ta sẽ định nghĩa các Lp−không gian.
Định nghĩa 1.24. (Xem [4, Chương 2], [27, Định nghĩa 2.1, tr. 14]). Cho số thực
p≥ 1và Ωlà một tập mở trongRN,N ≥ 1, Lp(Ω):=
Lớp các hàm đo được Lebesgueu : Ω → R|
Z
Ω|u(x)|
pdx <+∞
, L∞(Ω) := nLớp các hàm đo được Lebesgueu :Ω → R |
∃Csao cho|u(x)| ≤ Ch.k.x ∈ Ωo,
với các chuẩn tương ứng là
kukLp(Ω) := Z Ω|u(x)| pdx 1/p , kukL∞(Ω) := inf{C | |u(x)| ≤ C h.k.x ∈ Ω}.
Trong mục này, với p∈ [1,+∞],ta ký hiệu p0 làsố liên hợpcủa p,tức là
p0 := p p−1 nếu p ∈ (1,∞) +∞ nếu p =1 1 nếu p = +∞.
Không gian Lp(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞, là các không gian Banach. Hơn nữa, Lp(Ω) với
gian khả ly. Hơn nữa, C0(Ω) là tập con trù mật trong Lp(Ω) với 1 ≤ p < +∞. Ngồi ra,L2(Ω)là khơng gian Hilbert, với tích vơ hướng cho bởi
(u,v)L2(Ω) :=
Z
Ωu(x)v(x)dx với mọiu,v ∈ L2(Ω).
Không gian đối ngẫu tôpô của các Lp−không gian (1 ≤ p < +∞) cũng là các
Lp−không gian, Lp(Ω)∗ = Lp0(Ω), 1 < p < +∞ và L1(Ω)∗ = L∞(Ω) (xem [4, Chương 2]).
Tiếp theo chúng ta trình bày một số bất đẳng thức liên quan tới cácLp−không
gian, sẽ được sử dụng trong các chương sau của luận án. Các bất đẳng thức sau có thể tìm thấy trong nhiều tài liệu liên quan tớiLp−không gian, chẳng hạn xem trong [4, 14, 27].
Mệnh đề 1.8 (Bất đẳng thc H ăolder). Cho p ∈ (1,+∞). Nếu u ∈ Lp(Ω) và v ∈
Lp0(Ω),thìuv ∈ L1(Ω).Hơn nữa, ta có
kuvkL1(Ω) ≤ kukLp(Ω)kvk
Lp0(Ω).
Mệnh đề 1.9 (Bất đẳng thc H ăolder suy rng). Cho p1, ...,pk ∈ (1,+∞) sao cho
∑k
i=1pi−1 = 1. Nếu ui ∈ Lpi(Ω) với mọi i ∈ {1, 2, ...,k}, thì ∏k
i=1ui ∈ L1(Ω).Hơn nữa, ta có k ∏ i=1 ui L1(Ω) ≤ k ∏ i=1 kuikLpi(Ω).
Ta viết Ω0 ⊂⊂ Ωnếu Ω0 ⊂ Ωvà Ω0 là tập compact. Ký hiệu L1loc(Ω)là khơng gian gồm lớp các hàm khả tích địa phương trênΩ,tức là
L1loc(Ω) :=nLớp các hàm đo được Lebesgueu: Ω → R|
Z
Ω0|u(x)|dx < +∞ với mọi tập đo đượcΩ0 ⊂⊂ Ωo.
Khi đó, với mọi tập mởΩ trongRN và với mọi p ∈ [1,+∞],ta ln có Lp(Ω) ⊂ L1loc(Ω)(xem [4, Chương 2, tr. 26]).
Ký hiệu D(Ω)là không gian các hàm khả vi vô hạn với giá compact trong Ω. Tiếp theo, ta xây dựng tôpô trên khơng gian D(Ω) để nó trở thành một khơng gian tơpơ lồi địa phương.
Định nghĩa 1.25. (Xem [4, Chương 1, tr. 19], [27, Định nghĩa 2.3, tr. 18]). Cho(ϕi)
trongD(Ω)khii → +∞,nếu tồn tại tập compactK ⊂⊂ Ωthỏa mãn suppϕ ⊂ K,
suppϕi ⊂K với mọii ∈ Nvà
Dα
ϕi → Dα
ϕ hội tụ đều trongK ∀α ∈ NN,
tức là lim i→+∞supx∈K|D α ϕi(x)−Dα ϕ(x)|=0 ∀α ∈ NN.
Mỗi hàm ϕ ∈ D(Ω)được gọi làhàm thử.
Định nghĩa 1.26. (Xem [4, Chương 1, tr. 19], [27, Định nghĩa 2.4, tr. 19]). Mộtphân
bố (distribution)T trênΩlà một phiếm hàm tuyến tính liên tục trênD(Ω),tức là,
T : D(Ω)→ Rlà ánh xạ tuyến tính thỏa mãn
lim
i→+∞T(ϕi) = T(ϕ)
với mọi dãy ϕi → ϕ trong D(Ω) khi i → +∞. T(ϕ) được ký hiệu là hT,ϕi và không gian các phân bố trênΩđược ký hiệu là D0(Ω).
Chẳng hạn, với mỗiT ∈ L1
loc(Ω),khi đó đẳng thức
hT,ϕi :=
Z
ΩT(x)ϕ(x)dx ∀ϕ ∈ D(Ω)
sẽ xác định một phân bố trênΩ.Vì vậy, ta ln cóL1loc(Ω) ⊂ D0(Ω).
Định nghĩa 1.27. (Xem [4, Chương 1, tr. 20], [27, Định nghĩa 2.5, tr. 20]). Cho
α = (α1,α2, ...,αN) ∈ NN.Khi đó với mỗiT ∈ D0(Ω),ánh xạ
ϕ 7→ (−1)|α|hT,Dαϕi
xác định một phân bố trênΩvà được ký hiệu làDαT.Phân bốDαTgọi làđạo hàm theo nghĩa phân bốcủaT.Hơn nữa, ta có
hDαT,ϕi = (−1)|α|hT,Dαϕi ∀ϕ ∈ D(Ω).
Chẳng hạn, xét T là hàm khả vi liên tục cấp k trênΩ. Khi đó, với mọi đa chỉ sốα ∈ NN với |α| ≤ k,đạo hàm theo nghĩa thông thường DαT của T trùng với đạo hàm theo nghĩa phân bốDαTcủaT.Như vậy, khái niệm đạo hàm theo nghĩa phân bố là một mở rộng của đạo hàm theo nghĩa thông thường.
Cũng như khái niệm sự hội tụ trong D(Ω),chúng ta cũng xác định sự hội tụ trongD0(Ω).
Định nghĩa 1.28. (Xem [27, Định nghĩa 2.6, tr. 21]). Dãy các phân bố(Ti) ⊂ D0(Ω) được gọi làhội tụđến phân bốTtrênD0(Ω)và được ký hiệu là
Ti → T trong D0(Ω),
nếu
lim
i→+∞hTi,ϕi =hT,ϕi ∀ϕ ∈ D(Ω).
Mệnh đề dưới đây khẳng định tính liên tục của tốn tử đạo hàm theo nghĩa phân bố.
Mệnh đề 1.10. (Xem [4, Chương 1, tr. 20], [27, Mệnh đề 2.5, tr. 22]).Toán tửDαvới
α ∈ NN liên tục trên D0(Ω),tức là, nếu Ti → TtrongD0(Ω),thì
DαTi → DαT trong D0(Ω).
Tiếp theo chúng ta trình bày khái niệm đạo hàm riêng yếu (hay đạo hàm riêng suy rộng) của một hàm số khả tích địa phương.
Định nghĩa 1.29. (Xem [4, Chương 1, tr. 21], [36, Chương 5]). Chou,v ∈ L1loc(Ω)
vàαlà một đa chỉ số. Ta gọivlàđạo hàm riêng yếu cấpα(hayđạo hàm riêng suy rộng cấpα) của uvà ta viếtv = Dαu,nếu
Z Ωu(x)D α ϕ(x)dx = (−1)|α| Z Ωv(x)ϕ(x)dx ∀ϕ ∈ D(Ω).
Từ các Định nghĩa 1.27 và 1.29 dễ thấy rằng nếu v = Dαu là đạo hàm riêng yếu cấpαthì vcũng là một đạo hàm theo nghĩa phân bố củau.
Tiếp theo chúng ta trình bày các khái niệm và các tính chất đặc trưng sẽ được sử dụng ở các chương sau của không gian Sobolev.
Định nghĩa 1.30. (Xem [4, Chương 3, tr. 44], [36, Chương 5]). Cho m ∈ N,p ∈
[1,+∞].Xét không gian
Wm,p(Ω):={u ∈ Lp(Ω) | Dαu∈ Lp(Ω) với0≤ |α| ≤ m
và Dαulà đạo hàm riêng yếu cấpα củau}
cùng với chuẩn tương ứng là
kukWm,p(Ω) := n ∑ 0≤|α|≤m kDαukp Lp(Ω) o1/p nếu1≤ p< +∞, max kDαukL∞(Ω) nếu p = +∞
và không gian con củaWm,p(Ω),
W0m,p(Ω) := Bao đóng củaC0∞(Ω)trong khơng gianWm,p(Ω). Ta gọi các không gianWm,p(Ω)vàW0m,p(Ω)là cáckhông gian Sobolev.
Nhận xét 1.2. (i)Trường hợp p=2,chúng ta thường viếtHm(Ω) = Wm,2(Ω)và
H0m(Ω) = W0m,2(Ω).
(ii) Trường hợp m = 0, thì W0,p(Ω) = Lp(Ω). Ngồi ra, nếu Ω là miền bị chặn và p ∈ [1,+∞) thì do tính trù mật của tập C0∞(Ω) trong Lp(Ω), ta cũng cóW00,p(Ω) = Lp(Ω)(xem [4, Chương 3, tr. 44]).
(iii) Các không gian Sobolev Wm,p(Ω) và W0m,p(Ω) là các không gian Banach,
W0m,p(Ω) là khơng gian con đóng của Wm,p(Ω). Hơn nữa Hm(Ω),H0m(Ω)là các khơng gian Hilbert với tích vơ hướng
(u,v)Hm(Ω) = ∑
0≤|α|≤m
(Dαu,Dαv)L2(Ω).
(iv) Các khơng gian Sobolev Wm,p(Ω)và W0m,p(Ω)là phản xạ và lồi đều (và do đó lồi chặt) nếu p ∈ (1,+∞);là khả ly nếu p ∈ [1,+∞)(xem các Định lý 1.21 và 3.5 trong [4]).
Nhiều tính chất của khơng gian Sobolev xác định trênΩ, đặc biệt là các định lý nhúng, phụ thuộc vào tính chính quy (tính trơn) của biênΓ của miềnΩ.Dưới đây trình bày một số khái niệm về tính chính quy của biênΓcủa miền Ω.
Định nghĩa 1.31. (Xem [39, Định nghĩa 1.2.1.1, tr. 5]). ChoΩlà tập mở trongRN.
BiênΓcủaΩđược gọi làliên tục(tương ứngLipschitz, khả vi liên tục, thuộc lớpCk,l, khả vi liên tụcm lần) nếu với mỗi x ∈ Γ,tồn tại lân cận V ⊂ RN của x và một hệ tọa độ vng góc mới{y1,y2, ...,yN}sao cho
(a)Vlà một hình siêu lập phương trong hệ tọa độ mới {y1,y2, ...,yN} : V = {(y1,y2, ...,yN) | −ai <yi < ai, 1 ≤i ≤ N};
(b)tồn tại một hàm liên tục (tương ứng Lipschitz, khả vi liên tục, thuộc lớpCk,l, khả vi liên tụcmlần) ϕ,xác định trên tập
và thỏa mãn
|ϕ(y0)| ≤ aN
2 với mọiy0 := (y1,y2, ...,yN−1)∈ V0,
Ω∩V = {y = (y0,yN) ∈ V |yN < ϕ(y0)}, Γ∩V ={y = (y0,yN) ∈ V |yN = ϕ(y0)}.
Nói cách khác, trong một lân cận của x ∈ Γ,tậpΩ nằm phía dưới đồ thị của hàm ϕvà biênΓlà đồ thị của hàm ϕ.
Tiếp theo chúng ta trình bày các tính chất liên quan tới khơng gian đối ngẫu tơpơ và tính trù mật của khơng gian Sobolev.
Định lý 1.16. (Xem [4, Định lý 3.8, tr. 48]). Cho 1 ≤ p < +∞. Với mỗi T ∈
(Wm,p(Ω))∗, tồn tại v = (vα)0≤|α|≤m,vα ∈ Lp0(Ω), 0 ≤ |α| ≤ m, sao cho với mọi
u∈ Wm,p(Ω),ta có
hT,ui = ∑
0≤|α|≤m
hDαu,vαi.
Ký hiệuW−m,p0(Ω)là khơng gian đối ngẫu tơpơ củaW0m,p(Ω).Khi đó chúng ta cũng có một kết quả tương tự như định lý trên.
Định lý 1.17. (Xem [4, Định lý 3.10, tr. 50], [54, Định lý 5.9.2, tr. 294]). Cho 1 ≤
p < +∞. Với mỗi T ∈ W−m,p0(Ω), tồn tại v = (vα)0≤|α|≤m,vα ∈ Lp0(Ω) với mọi
0≤ |α| ≤ m,sao cho:
T = ∑
0≤|α|≤m
(−1)|α|Dαvα, (1.5)
vớiDαvα là đạo hàm theo nghĩa phân bố củavα.Hơn nữa
kTkW−m,p0
(Ω) = inf ∑
|α|≤m
kvαkLp(Ω)
ở đó infimum lấy trên tất cả các họ(vα)0≤|α|≤m sao choT có biểu diễn(1.5).
Một biểu diễn khác của các phiếm hàm tuyến tính trên khơng gian W0m,p(Ω) được cho bởi định lý sau.
Định lý 1.18. (Xem [54, Định lý 5.9.3, tr. 295]). Cho 1 ≤ p < +∞ và m ∈ N.
Giả sử Ω là miền bị chặn trong RN với biên Γ thuộc lớp Cm,0. Khi đó, với mỗi hàm
g ∈ W0m,p0(Ω),
là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trênW0m,p(Ω).
Ngược lại, với mỗi Φ ∈ W−m,p0(Ω),tồn tại duy nhất hàm g∈ W0m,p0(Ω)sao cho
Φ(f) = ∑
|α|≤m
Z
ΩD
αf(x)Dαg(x)dx
với mọi f ∈ W0m,p(Ω).Hơn nữa, tồn tại hằng sốK =K(N,m,p,Ω)sao cho
KkgkWm,p0
(Ω) ≤ kΦk ≤ kgkWm,p0
(Ω).
Định lý 1.19. (Bất đẳng thức Poincaré, xem [31, Định lý 1.7, tr. 26], [39, Định lý
1.4.3.4, tr. 26]). Giả sử Ω là miền bị chặn trong RN với biên Lipschitz, p ∈ [1,+∞).
Khi đó tồn tại hằng sốK = K(Ω)sao cho
kukLp(Ω) ≤ Kk∇ukLp(Ω) ∀u ∈ W01,p(Ω).
Các kết quả nổi bật liên quan tới không gian Sobolev là các định lý nhúng và được giới thiệu đầu tiên bởi Sobolev. Dưới đây giới thiệu một kết quả nhúng trong không gian Sobolev được chứng minh bởi Sobolev và Rellich.
Định nghĩa 1.32. (Xem [4, Chương 1, tr. 9], [55, Định nghĩa 6.1, tr. 72]). Cho X,Y
là các khơng gian định chuẩn. Ta nói rằngX được gọi là nhúng (imbedded) trong
Y và được ký hiệuX ,→Y,nếu tồn tại đơn ánh tuyến tính liên tụci : X → Y.
Hơn nữa, nếu ánh xại là compact, thì ta nóiXnhúng compact (compactly imbed- ded)trongY và được viếtX ,→,→Y.
Định lý 1.20. (Định lý nhúng Sobolev và Rellich, xem [4, Định lý 5.4, tr. 97 và
Định lý 6.2, tr. 144], [31, Định lý 1.6, tr. 25], [39, Chương 1, tr. 27]).ChoΩ ⊂RN là miền bị chặn với biên LipschitzΓvà1≤ p ≤+∞.
•Trường hợp 1: Nếu1 ≤ p < N,thì
W1,p(Ω) ,→ Lq(Ω) ∀1 ≤q ≤ N p N−p
và phép nhúng là compact với mọi1≤ q< NN p−p.
•Trường hợp 2: Nếu p = N,thìW1,p(Ω) ,→,→ Lq(Ω)∀q ∈ [1,+∞).
Nhận xét 1.3. (i)Điều kiện liên tục Lipschitz của biên Γcủa Ω có thể được giảm nhẹ hơn (xem [4, Chương 5 và 6]).
(ii)Nếu thay khơng gianW1,p(Ω)bằng khơng gianW01,p(Ω),thì các kết quả của Định lý 1.20 vẫn đúng mà khơng cần điều kiện gì của biênΓ.
(iii) Các phép nhúng trong trường hợp 3 có thể được cải thiện tốt hơn, bởi việc thay không gianC(Ω¯ )bằng không gian ca cỏc hm liờn tc Hăolder.
Một vấn đề quan trọng khi nghiên cứu bài tốn giá trị biên cho phương trình tốn tử xác định trên miềnΩlà xác định các không gian chứa các hàm vết (trace)
u|Γ,hạn chế củau∈ W1,p(Ω)trên biênΓ.Chẳng hạn, nếuW1,p(Ω),→ C(Ω¯),thì rõ ràngu |Γ∈ C(Γ)với mọiu ∈ W1,p(Ω).
Để định nghĩa ánh xạ vết một cách chính xác, trước hết chúng ta nghiên cứu khơng gian Sobolev trên tập Γ (xem [55, Chương 2, tr. 75] và [39, Định nghĩa