1.4 Không gian Sobolev và phương trình elliptic
1.4.3 Phương trình elliptic nửa tuyến tính
Mục này trình bày các khái niệm về nghiệm, định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình elliptic nửa tuyến tính trong các trường hợp biênΓcủa miềnΩ là Lipschitz hoặc thuộc lớpC1.Các kết quả chính của mục này được chứng minh bởi Casas và các đồng tác giả (xem trong [19, 23–25]), một chuyên gia trong lĩnh vực điều khiển tối ưu đối với phương trình đạo hàm riêng.
Xét phương trình elliptic nửa tuyến tính bậc hai dạng: −∑N
i,j=1Dj(aijDiy) +a(x,y) = u trongΩ,
y= 0 trênΓ,
(1.12)
trong đó aij ∈ L∞(Ω),i,j = 1, 2, ...,N,a : Ω×R → R là hàm Carathéodory và
u∈ W−1,r(Ω),r> 1.
Định nghĩa 1.35. Chou ∈ W−1,r(Ω)vớir> 1.Hàmyđược gọi lànghiệm yếucủa
(1.12) nếuy∈ W01,r(Ω)và Z Ω N ∑ i,j=1 aij(x)Diy(x)Djϕ(x)dx+ Z
Ωa(x,y(x))ϕ(x)dx = hu,ϕi (1.13) với mọiϕ ∈ W01,r0(Ω),ở đó 1r + r10 =1.
Trong mục này, chúng ta cần thêm các giả thiết sau:
(A1.2)Ωlà miền bị chặn trongRN với biên LipschitzΓvà N ∈ {2, 3}.
(A1.20)Ω là miền bị chặn trongRN với biênΓthuộc lớpC1 và N ≥2.
(A1.3)Hàma : Ω×R→ Rlà hàm Carathéodory và thỏa mãn điều kiện sau
a(·, 0) ∈ Lp(Ω), ay(x,y) ≥0với h.k. x∈ Ωvà với mọiy∈ R. (1.14) Hơn nữa, với mỗi M > 0,tồn tại hằng sốCa,Msao cho
ay(x,y)+ayy(x,y) ≤Ca,M
ay(x,y1)−ay(x,y2)+ayy(x,y1)−ayy(x,y2) ≤Ca,M|y2−y1|
với h.k.x ∈ Ω và với mọi|y|,|y1|,|y2| ≤ M.
(A1.4) p ≥ N+rNr vàr> N.
Định lý sau khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của phương trình (1.12) khi biênΓlà Lipschitz và N ∈ {2, 3}.
Định lý 1.29. (Xem [23, Định lý 2.1] và [24, Định lý 2.1]). Giả sử các hệ số aij ∈ L∞(Ω),các giả thiết(A1.1),(A1.2)được thỏa mãn và giả thiết(A1.3)đúng với p= 2.
Khi đó với mỗi u ∈ L2(Ω), phương trình (1.12) sẽ có nghiệm yếu duy nhất yu ∈ H01(Ω)∩C(Ω¯ ).
Ngoài ra, nếu uk * u trong L2(Ω) khi k → +∞, thì yuk → yu trong H01(Ω)∩ C(Ω¯)khik → +∞.
Với trường hợp N ≥ 2 và biên Γ thuộc lớp C1, Casas và các đồng tác giả đã chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu và tính chính quy nghiệm đối với bài toán Dirichlet và bài toán Neumann cho phương trình elliptic bậc 2 (xem [19, 25]). Trong [25], Casas và Tr ăoltzsch xột bi tn Dirichlet i vi phng trỡnh elliptic tựa tuyến tính bậc 2, cịn trong [19] Casas và Mateos đã nghiên cứu bài tốn Neumann đối với phương trình elliptic nửa tuyến tính bậc 2. Định lý dưới đây khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm yếu của phương trình (1.12).
Định lý 1.30. (Xem [19, Định lý 2.5] và [25, Định lý 2.4]). Giả sử các giả thiết
(A1.1),(A1.20),(A1.3) và (A1.4) được thỏa mãn và các hàm hệ số aij ∈ C1(Ω¯ ) với mọii,j = 1, 2, ...,N. Khi đó, với mỗiu ∈ W−1,r(Ω), phương trình(1.12) có duy nhất nghiệm yếu yu ∈ W01,r(Ω). Hơn nữa, với mọi tập bị chặn U ∈ W−1,r(Ω), thì tồn tại một hằng sốCU sao cho
kyuk
W01,r(Ω) ≤ CU (1.15)
với mọi u ∈ U. Ngoài ra, nếu un → u trongW−1,r(Ω) khi n → +∞, thì yun → yu
Chương 2
ĐIỀU KIỆN CẦN CỰC TRỊ CHO BÀI TOÁN ĐIỀU KHIỂN TỐI ƯU ELLIPTIC NỬA TUYẾN TÍNH VỚI RÀNG BUỘC
HỖN HỢP
Chương này trình bày các điều kiện cần cực trị bậc một và bậc hai cho một lớp các bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với các ràng buộc hỗn hợp trạng thái-điều khiển từng điểm. Để nhận được các điều kiện cần cực trị đó, trước tiên chúng tơi đưa ra các điều kiện cần cực trị cho bài tốn quy hoạch tốn học, sau đó áp dụng các kết quả đạt được cho một lớp các bài tốn điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp trạng thái-điều khiển. Các kết quả chính trong chương này được trình bày trong ba mục. Mục 2.1 trình bày các kết quả về điều kiện cần cực trị cho bài toán quy hoạch toán học. Trong mục 2.2 chúng tôi áp dụng các kết quả đạt được ở mục 2.1 cho một lớp bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic nửa tuyến tính với ràng buộc hỗn hợp điều khiển-trạng thái. Các chứng minh của các kết quả chính trong mục 2.2 được trình bày trong mục 2.3. Ngồi ra, một số ví dụ minh họa sẽ được trình bày trong mục 2.4. Phần kết luận của chương này được trình bày trong mục 2.5.
Các kết quả của chương này được viết trên cơ sở các kết quả của bài báo [48] đã được cơng bố trên tạp chíSIAM Journal on Control and Optimization.
2.1 Bài tốn quy hoạch toán học