ChoΩlà miền bị chặn trong RN với biên LipschitzΓ và N ∈ {2, 3}.Xét bài toán điều khiển tối ưu cho phương trình elliptic chứa tham số với ràng buộc hỗn hợp điều khiển và trạng thái: tìm hàm điều khiển u ∈ Lp(Ω), p ≥ 2 và trạng thái
y∈ H01(Ω)∩C(Ω¯ )sao cho
F(y,u,µ) =
Z
với phương trình trạng thái Ay = u+λ1 trongΩ, y =0 trênΓ (4.2) và ràng buộc từng điểm u ≥ λ2 h.k. trong Ω, eu ≥δy+λ3 h.k. trong Ω, (4.3) với f :Ω×R×R×Rk →R∪ {+∞}(k≥ 1)là hàm cho trước,
µ = (µ1, . . . ,µk)∈ L∞(Ω)k,λ= (λ1,λ2,λ3) ∈ Lp(Ω)×L∞(Ω)×L∞(Ω) là các tham số, Alà tốn tử elliptic bậc hai dạng
Ay(x) = −
N ∑ i,j=1
Dj(aij(x)Diy(x)) +a0(x)y(x),
ở đó hệ sốaij ∈ L∞(Ω)thỏa mãn điều kiện elliptic mạnh: N ∑ i,j=1 aij(x)ξiξj ≥ λA|ξ|2 ∀ξ ∈ RN,h.k.x ∈ Ω với hằng số λA > 0 và a0 ∈ L∞(Ω),a0(x) ≥ 0 h.k. x ∈ Ω, δ ∈ L∞(Ω) và e ∈ L∞(Ω). Đặt Y = H01(Ω)∩C(Ω¯),U = Lp(Ω),Z =Y×U và M = L()k, = Lp()ìL()ìL().
Cỏc chun cay Y,à M vàλ∈ Λlần lượt được xác định bởi
kykY =kykH1
0(Ω)+kykC(Ω¯),kµkM =max{kµikL∞(Ω) |1 ≤i ≤ k}
và kλkΛ = kλ1kLp(Ω)+kλ2kL∞(Ω)+kλkL∞(Ω).
Xét ánh xạ đa trịK :Λ ⇒ Z cho bởi
Khi đó bài tốn (4.1)–(4.3) trở thành P(µ,λ) F(z,µ)→ inf z ∈ K(λ).
Trong mục này, ta ln giả thiết rằng bài tốn P(µ, ¯¯ λ) có duy nhất nghiệm
¯
z= z(¯ µ, ¯¯ λ) = y(¯ µ, ¯¯ λ), ¯u(µ, ¯¯ λ) .
Để nhận được tính liên tục của ánh xạ nghiệm z(·,·) của bài tốn P(µ,λ),
chúng ta cần các giả thiết sau:
(A4.1) Ω là miền bị chặn trong RN,N ∈ {2, 3}, với biên Lipschitz Γ và e,δ ∈ L∞(Ω),e(x) ≥ e0 >0, h.k.x ∈ Ω.
(A4.2) f(·,y,u,µ)là hàm đo được vi mi(y,u,à) RìRìRkv f(x,Ã,Ã,Ã)l hm liờn tc vi h.k.x Ω.Hơn nữa, tồn tại số dươnge1 và hàm liên tục khụng õmg : ìR3 Rsao cho vi mi(x,à) ìRkvi|àà(x)| ≤ e1, các điều kiện sau được thỏa mãn:
f x, ¯y(x), ¯u(x),µ− f x, ¯y(x), ¯u(x), ¯µ(x)
≤ g x,|y(x)|¯ ,|µ|,|µ¯(x)|
H1 |u(x)|¯
,
với H1(t) = ∑m1
i=1tsi với m1 ≥1, 0≤ si ≤ p,∀i = 1,m1.
(A4.3) Tồn tại các hằng số e2,ρ > 0 sao cho, với h.k. x ∈ Ω, hàm (y,u) 7→ f(x,y,u,µ)khả vi liên tục và lồi trên tập D(x)và thỏa mãn
fz(x,z1,µ)− fz(x,z2,µ)(z1−z2) ≥ρ|u1−u2|p
với mọi zi = (yi,ui) ∈ D(x),i = 1, 2và mọi µ ∈ Rk với |µ−µ¯(x)| ≤ e1, ở đó
D(x) := (y(x)¯ −e2, ¯y(x) +e2)×R.
(A4.4)Tồn tại các hàm liên tụcai : ¯Ω×R2 → R,bi : ¯Ω×R3 → Rvà các hằng số dươngαi,i =1, 2sao cho
fy(x,y,u, ¯µ(x)) ≤ a1 x,|y|,|µ(x)|¯ H1 |u| , fu(x,y,u, ¯µ(x)) ≤ a2 x,|y|,|µ¯(x)| H2 |u| với h.k.x ∈ Ω và với mọiy,u∈ Rthỏa mãn|y−y(x)| ≤¯ e2 và
f (x,y,u, 1)− f (x,y,u, 2) ≤ b x,|y|,| 1|,| 2|
fu(x,y,u,µ1)− fu(x,y,u,µ2) ≤ b2 x,|y|,|µ1|,|µ2| H2 |u| µ1−µ2 α2
với h.k. x ∈ Ω và với mọi y,u ∈ R,µi ∈ Rk thỏa mãn |µi −µ¯(x)| ≤ e1,i = 1, 2, |y−y(x)| ≤¯ e2,ở đóH2(t) = ∑m2
j=1tsj với m2 ≥1, 0 ≤sj ≤ p−1∀j = 1,m2.
Cho trước hàmφ ∈ L2(Ω), xét phương trình Ay =φ trongΩ, y= 0 trênΓ. (4.5)
Nhờ giả thiết (A4.1), với mỗi φ ∈ Lp(Ω), phương trình (4.5) có duy nhất một nghiệmyφ ∈ H01(Ω)∩C(Ω¯).Hơn nữa, ta ln có
kyφkH1
0(Ω)+kyφkC(Ω¯) ≤ CkφkLp(Ω), (4.6) ở đóClà hằng số khơng phụ thuộc vàoφ (xem Bổ đề 4.1). Trong mục này, ta cần thêm giả thiết sau:
(A4.5)Với h.k.x ∈ Ω,
δ(x) ≤ δ0 := e0
4Cmax{1;|Ω|1/p}, (4.7) ở đó|Ω|là độ đo của tậpΩvàClà số dương được cho trong bất đẳng thức (4.6).
Định lý dưới đây là kết quả chính của mục này.
Định lý 4.1. Giả sử các giả thiết (A4.1)−(A4.5) được thỏa mãn. Khi đó tồn tại lân
cận M1 ì1 ca(à, )v lõn cnZ1 = Y1ìU1 ca (y, u)sao cho, vi mi (à,) M1ì1, bi toỏnP(à,)cú duy nhất một nghiệmz(µ,λ) = y(µ,λ),u(µ,λ) ∈ Z1
và ánh xạ nghiệmz(·,·)liên tục Hăolder. Hn na, tn ti cỏc hng s dngl1 vl2tha món
ky(à1,1)y(à2,2)kY+ku(à1,1)u(à2,2)kLp()
l1kà1à2k/pM +l2k12k1/p
vi mi(ài,i) M1ì1,i =1, 2. ú =min{α1,α2}.