ut =K et ∫
NẠP THƠNG SỐ NGỎ VÀO CHO BỘ PID: BAO GỒM 9 THAM SỐ LÀ:
GIÁ TRỊ TỨC THỜI(PVn) CỦA BIẾN ĐIỀU KHIỂN (PVn) , GIÁ TRỊ YÊU
CẦU (SETPOINT-SPn) , GIÁ TRỊ XỬ LÝ OUTPUT (Mn) , HỆ SỐ KHUẾCH ĐẠI (Kp) , THỜI GIAN LẤY MẪU (Ts) , Ti , Td , BIAS (Mx) , GIÁ TRỊ KẾ TRƯỚC (PVn-1) CỦA BIẾN ĐIỀU KHIỂN (PVn) LẦN LƯỢT CHIẾM CÁC ĐỊA CHỈ Ơ NHỚ LÀ: VD100 , VD104 , VD108 , VD112 , VD116 , VD120 , VD124 , VD128 , VD132. PID-ENABLE = 1 Đ S Trang 47
Nhân
Output= proportional + integral + differential Trong đĩ :
M(t): đầu ra của PID (đại lượng xử lý) như một hàm theo thời gian KC: hằng số khuếch đại
e: sai số. e = SP - PV Mi: giá trị ban đầu của PID
Nhằm mục đích áp dụng bộ điều khiển PID trên máy vi tính hayPLC nĩi riêng và trong kỹ thuật số nĩi chung, chúng ta phải tiến hành “rời rạc hĩa” phương trình nêu trên. Cụ thể là lấy mẫu và lượng tử hĩa các biến.
Xét khâu tích phân liên tục
0
( ) ( )
t I
u t =K e t∫ , lấy mẫu u(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuổi rời rạc u(k) = u(kT).
Khâu tích phân rời rạc
( 1)0 0 ( 1) 0 0 ( 1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k T kT kT I I I k u kT K e t d t K e t d t K e t d t − − = ∫ = ∫ + ∫ = u[(k-1)T] + KI ( 1) ( ) ( ) kT k T e t d t −∫ Xét tích phân ( 1) ( ) ( ) kT k T e t d t −∫ , áp dụng cơng tích phân hình chữ nhật tới Suy ra ( 1) ( ) ( ) kT k T e t d t −∫ ≈ Te(kT)
Tiếp tục xét tích phân u[(k-1)T] =KI ( 1) 0 ( ) k T e t dt − ∫ , ta cĩ u[(k-1)T] = KI ( 1) 0 ( ) k T e t dt − ∫ = KI ( ( 2) ( 1) 0 ( 2) ( ) ( ) k T k T k T e t dt e t dt − − − + ∫ ∫ ) = u[(k-2)T] +KI ( 1) ( 2) ( ) k T k T e t dt − −∫
Tiếp tục áp dụng cơng thức tích phân hình chữ nhật tới cho ( 1) ( 2) ( ) k T k T e t dt − −∫ Ta được ( 1) ( 2) ( ) k T k T e t dt − −∫ ≈ Te[(k-1)T]
u(kT) = KI Te(kT) + KI Te[(k-1)T] + u[(k-2)T] Làm tương tự cho u[(k-2)] , u[(k-3)], ... u[(k-n)] ta được u(kT) = KIT[e(kT) + e[(k-1)T] + ... + e[(k-n)T]]
Nhân
Bây giờ ta xét tiếp khâu vi phân liên tục u t( ) KDde t( ) dt
= , lấy mẫu u(t) với chu kỳ lấy mẫu T ta được chuổi rời rạc u(k) = u(kT).
Áp dụng cơng thức sai phân lùi ta dễ dàng cĩ được ( ) ( 1) ( ) De k e k u k K T − − =
Sau khi lấy mẫu và lượng tử hĩa các khâu tích vân liên tục và vi phân liên tục với chu kì lấy mẫu là Ts thì phương trình ngỏ ra liên tục của bộ PID được chuyển thành hệ rời rạc.Phương trình được viết lại như sau:
Mn = KC* en+ KI*Ts * 1 n i i e = ∑ + MI + KD Ts * (en - en-1) Trong đĩ:
Mn: đầu ra của PID (đại lượng xử lý) ở thời điểm lấy mẫu n KC: hằng số khuếch đại
en: sai số ở thời điểm lấy mẫu n. en = SPn - PVn
en-1: sai số ở thời điểm lấy mẫu ngay trước đĩ (n-1). en-1 = SPn-1 – PVn-1 KI: hằng số khuếch đại của thành phần tích phân
MI: giá trị ban đầu của PID
KD: hằng số khuếch đại của thành phần vi phân
Từ phương trình này ta nhận thấy rằng, nếu như thành phần tỉ lệ
(proportional) chỉ là hàm của sai số ở thời điểm lấy mẫu thì thành phần vi phân (differential) là hàm số của sai số ở thời điểm lấy mẫu lẫn thời điểm lấy mẫu kế trước cịn thành phần tích phân (integral) lại là hàm của tất cả các sai số từ thời điểm lấy mẫu đầu tiên cho đến thời điểm lấy mẫu hiện tại. Trong kỹ thuật số, lưu lại tất cả các sai số là điều khơng thể thực hiện được, cũng như thật sự khơng cần thiết. Vì giá trị xử lý luơn được tính tốn ở mọi thời điểm lấy mẫu, kể từ thời điểm đầu tiên, nên chỉ cần lưu lại giá trị kế trước của sai số và thành phần tích phân. Phương trình được đơn giản thành:
Mn = KC*en + KI*Ts * e n + Mx + KD
Ts * (en - en-1) Trong đĩ:
Mx: giá trị thành phần tích phân ở thời điểm lấy mẫu kế trước (n-1)
Nhân
Một cách viết khác của phương trình:
Mn = MPn + MIn + MDn
Trong đĩ:
Mn: đầu ra của PID (đại lượng xử lý) ở thời điểm lấy mẫu n MPn: thành phần tỉ lệ của đầu ra PID ở thời điểm lấy mẫu n MIn: thành phần tích phân của đầu ra PID ở thời điểm lấy mẫu n MDn: thành phần vi phân của đầu ra PID ở thời điểm lấy mẫu n Ta lần lượt xét đến từng thành phần một của đại lượng xử lý:
- Thành phần tỉ lệ (proportional) MP là tích của hằng số khuếch đại Kc với sai số e. Trong đĩ Kc đặc trưng cho độ nhạy của đầu ra PID (Kc càng lớn, bộ điều khiển PID càng nhạy) cịn e là sai số giữa đại lượng yêu cầu (setpoint SP) và đại lượng thực tế (process variable PV). Phương trình biểu diễn:
MPn = KC * (SPn – PVn) Trong đĩ:
MPn: thành phần tỉ lệ của đầu ra PID ở thời điểm lấy mẫu n Kc: hằng số khuếch đại
SPn: đại lượng yêu cầu tại thời điểm lấy mẫu n PVn: đại lượng thực tế tại thời điểm lấy mẫu n
- Thành phần tích phân (integral) MI tỉ lệ với tổng các sai số qua thời gian, thể hiện bằng phương trình:
MIn = KC * Ts / TI * (SPn – PVn) + Mx Trong đĩ:
MIn: thành phần tích phân của đầu ra PID ở thời điểm lấy mẫu n Kc: hằng số khuếch đại
Ts: thời gian lấy mẫu Ti: hệ số tích phân
SPn: đại lượng yêu cầu tại thời điểm lấy mẫu n PVn: đại lượng thực tế tại thời điểm lấy mẫu n
Nhân
Mx: giá trị của thành phần tích phân ở thời điểm lấy mẫu kế trước (n-1), cịn được gọi là integral sum hay bias.
Sau khi tính tốn giá trị MIn, bias MX được thay thế bởi chính giá trị MIn đĩ với khả năng cĩ thể bị điều chỉnh hoặc cắt (chặn giới hạn), điều này sẽ được nĩi rõ ở phần sau. Giá trị ban đầu của bias MX, Mi thường được lấy là giá trị của đầu ra bộ PID ngay trước thời điểm thực hiện lệnh PID lần đầu tiên. Các hằng số khác ảnh hưởng đến thành phần này là: Kc - hằng số khuếch đại, Ts - thời gian lấy mẫu và Ti - hệ số tích phân là đặc trưng cho ảnh hưởng của thành phần này lên tồn bộ đại lượng xử lý.
- Thành phần vi phân (differential) MD tỉ lệ với độ thay đổi của sai sơ, thể hiện qua phương trình :
MDn = KC * TD / Ts * [(SPn – PVn) – (SPn-1 – PVn-1)]
Với đặc tính cĩ quán tính của mọi hệ vật chất, chúng ta cĩ thể giả thiết rằng đại lượng thực tế PV khơng bao giờ cĩ sự thay đổi một cách gián đoạn. Tuy nhiên đại lương yêu cầu thì cĩ thể tăng giảm gãy khúc (do được tính trên lý thuyết). Về bản chất tốn học, thành phần vi phân là phép lấy đạo hàm nên những sự thay đổi gián đoạn cĩ thể gây nên các giá trị vơ cùng lớn ở đầu ra. Để tránh hiện tượng này, trong phương trình trên ta giả thiết SPn = SPn - 1 và cĩ thể viết:
MDn = KC * TD / Ts * (PVn-1 – PVn) Trong đĩ :
MDn: thành phần vi phân của đầu ra PID ở thời điểm lấy mẫu n Kc: hằng số khuếch đại
Ts: thời gian lấy mẫu Td: hệ số vi phân
SPn: đại lượng yêu cầu tại thời điểm lấy mẫu n SPn-1: đại lượng yêu cầu tại thời điểm lấy mẫu n-1 PVn: đại lượng thực tế tại thời điểm lấy mẫu n PVn-1: đại lượng thực tế tại thời điểm lấy mẫu n-1
Như vậy trên thực tế khơng cần nhớ sai số ở thời điểm lấy mẫu kế trước mà chỉ cần nhớ đại lượngthực tế. Trong lần tính tốn đầu tiên PVn-1 được lấy bằng PVn.