CHƯƠNG 3 : DỮ LIỆU VÀ MÔ HÌNH THỰC NGHIỆM
3.1. Phương pháp kinh tế lượng
3.1.3.1. Xác định quan hệ đồng liên kết
Để xác định tính chất đồng liên kết của các chuỗi thời gian, ta sẽ áp dụng các phương pháp kiểm định đồng liên kết như phương pháp kiểm định 2 bước của Engle và Granger14 hoặc phương pháp của Johansen15. So với Engle và Granger, tiếp cận của Johansen được xem là mang tính tổng qt hơn vì có thể kiểm định trong trường hợp có nhiều hơn một quan hệ đồng liên kết. (Ting, 2009) cho rằng tiếp cận của Johansen đã trở thành một tiêu chuẩn của kiểm định đồng liên kết, mặc dù vậy phương pháp này cũng có nhược điểm là khá nhạy với những sai số trong mơ hình có cỡ mẫu nhỏ. Kiểm định Johansen bắt đầu với một mơ hình véc tơ tự hồi quy bậc k (VAR) tổng quát như sau:
Yt = Π1Yt-1 + Π2Yt-2 +…+ΠkYt-k + µ + φDt + εt (25)
Trong đó Yt là véc tơ n biến liên kết bậc 1 I(1), Πt là ma trn tham s nìn (t=1,2,3,,k), à l véc tơ hệ số chặn và εt là các sai số nhiễu trắng. Dt là một véc tơ các thành phần xác định như yếu tố mùa hoặc xu hướng. Kiểm định Johansen đòi hỏi phải xác định bước trễ k phù hợp, đảm bảo thu được các phần dư nhiễu trắng trong khi không làm mất nhiều bậc tự do.
(Thomsen, 2013) lưu ý rằng giá trị trễ trong phương trình VECM tương đương phương trình VAR trừ đi 1 do lấy sai phân. Phương trình (25) được viết lại như sau:
∆Yt = Γ1∆Yt-1 + Γ2∆Yt-2 +…+ Γk-1∆Yt-k+1 + ΠYt-k + µt + φDt +εt (26) Trong đó:
14 Xem (Engle, 1987)
∆Yt : Sai phân bậc 1 véc tơ Yt bao gồm n biến Γ = −I + Π1 + Π2 +… + Πi, với i = 1, 2, …, k- 1 Π = − I+ Π1 + Π2 +…+ Πk
I : Ma trận đơn vị
Ma trận Π có chứa thơng tin dài hạn, trong khi ma trận Γ chứa các thông tin ngắn hạn. Hạng của Π (r) chính là số lượng véc tơ đồng liên kết trong mô hình. Tổng qt với mơ hình n biến, chúng ta sẽ có tối đa là n-1 véc tơ đồng liên kết. Cụ thể, nếu hạng của Π r=0 mơ hình khơng có quan hệ đồng liên kết. Nếu r=n các biến trong mơ hình liên kết bậc 0 và khơng có quan hệ đồng liên kết. Cuối cùng nếu 0 < r < n thì r là số lượng véc tơ đồng liên kết trong mơ hình và Π có thể được tách thành một tích của Π = α.β’, trong đó α là ma trận tham số thể hiện mức độ hiệu chỉnh sai số, β’ là ma trận chứa các tham số cân bằng dài hạn. Johansen đã phát triển một phương pháp ước lượng α và β’ và xác định hạng của Π được gọi là hồi quy số hạng suy giảm (reduced rank regression). Phương pháp của Johansen là một mơ hình hồi quy đa biến với một ma trận hệ số có số hạng suy giảm. Thuật tốn này cũng dựa trên việc tính toán khái niệm giá trị riêng (eigenvalue) và véc tơ riêng (eigenvactor). Phương trình
(26) được rút gọn lại như sau:
∆Yt = Γ1∆Yt-1 + Γ2∆Yt-2 +…+ Γk-1∆Yt-k+1 + α.β’Yt-k +εt (27)
Johansen đề xuất ước lượng hàm thích hợp cực đại của Π = αβ' như là kết quả của hai thủ tục OLS. Cụ thể, đầu tiên, mỗi biến trong Yt được hồi quy theo các sai phân ∆Yt-1, ∆Yt-2, ..., ∆Yt-k+1 từ đó thu được ma trận phần dư R0t. Tiếp theo, mỗi biến của Yt-k được hồi quy theo ∆Yt-1, ∆Yt-2, ..., ∆Yt-k+1 và thu được ma trận phần dư thứ hai Rkt. Từ R0t và Rkt ta có ma trận mơ men tích của phần dư (residual product moment) như sau:
Trong đó, T: số lượng quan sát i, j = 0, k ��� = �−1 ∑� 1 ��� ��� (28)
Hàm thích hợp dưới dạng hồi quy số hạng suy giảm được trình bày như sau:
sau:
R0t = αβ′Rkt +ut (29)
Với β cố định, Johansen tính tốn α như là hồi quy của:
α̂(β) = �0�β(β′��� β)−1 (30)
Phương trình (30) được giải theo các eigenvalue của k và các eigenvector như
|λ��� − ��0�−1� | = 0 (31)
̂̂ ̂ ̂
Với λ = λ1 > λ2 > ⋯ > λ�
là các trị eigenvalue được dùng để tính tốn
eigenvector V = (V̂1, V̂2, … , V̂n) chuẩn hoá như là V̂′SkkV̂ = I. Mặt khác, ước
lượng
thích hợp cực đại của ma trận α và β được cho bởi β̂ = (v̂1, �̂2, … , v̂� ) và α̂ = S0kβ̂
tức là các véc tơ đồng liên kết. Các eigenvalue là các trị tương quan chính tắc bình phương của phần dư Rkt với sai phân của R0t, độ lớn của eigenvalue, λ̂ cho biết mức độ tương quan giữa Yt-k với ∆Yt. Johansen đã phát triển hai thủ tục để kiểm định giả thiết �̂�+1 = ⋯ = �̂� = 0 với r là hạng của Π.
Phương pháp Johansen bao gồm kiểm định vết (trace test) và kiểm định riêng cực đại (maximum eigenvalue test), ký hiệu λtrace và λmax. Cả hai đều có giá trị kiểm định số lượng quan hệ đồng liên kết.
Hàm hợp lý log-likelihood cực đại không giới hạn đối với mơ hình VAR(k) được rút từ hồi quy số hạng suy giảm như sau:
LLF��(Θ̂��) = − � 2 ln|�00| − � 2 ∑� ��(1 − �̂ ) (32) Do hạng của Π là r= αβ’, ta có hàm hợp lý giới hạn: LLF�(Θ̂� ) = − ln|�00| − � � 2 �=1 ��(1 − �̂� ) (33)
Trong đó: Θ̂�� và Θ̂� là đại diện lần lượt cho ước lượng không giới hạn và có
giới hạn các tham số trong phương trình (25). Kiểm định vết bắt đầu với giả thiết:
00 0� � �=1 ∑ � 2
H0: r = 0 (khơng có quan hệ đồng liên kết) H1: r > 0 (có tồn tại quan hệ đồng liên kết) Trị thống kê kiểm định vết được cho như sau:
Trong đó, � (r) = −� ∑� ��(1 −
�̂ )
(34)
r = 0, 1, 2…, q-1 T là kích thước mẫu
�̂� là giá trị eigenvalue lớn nhất thứ i.
Đối với kiểm định Max-eigenvalue, giả thiết H0 và giả thiết thay thế được cho như sau:
H0: r = r0 (có nhiều nhất r0 mối quan hệ đồng liên kết)
H1: r = r0 + 1 (có nhiều nhất r0 + 1 mối quan hệ đồng liên kết Trị thống kê Max-eigenvalue cho bởi công thức sau:
������(r, r + 1) = −���(1 − �̂�+1) (35)
Các giá trị tới hạn của kiểm định Johansen được cung cấp bởi phần mềm Eviews
theo (Osterwald-Lenum, 1992).