IV. Kết quả dự kiến đạt được
2.1. C ÁC PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN
2.2.2. Phương pháp phần tử hữu hạn
Trong khuôn khổ của luận văn, tác giả dùng phần mềm SAP2000 để tính toán ứng suất và biến dạng của đập bê tông trọng lực chịu tác động của động đất. Phần mềm SAP2000 dựa trên cơ sở phương pháp phần tử hữu hạn theo mô hình chuyển vị.
2.2.2.1. Cơ sở của phương pháp + Các nguyên lý công khả dĩ
Giả sử một vật có thể tích V với bề mặt S chịu tải trọng:
Lực thể tích: P = [X,Y,Z]PT
Lực bề mặt trên biên SRpR: PRVR = [XRVR,YRVR,ZRVR]PTP. Trên biên SRURcó các chuyển vị: U [ u + v w ]
− − − −
= +
Với điều kiện SRUR và SRPR không giao nhau và S=SRPR+SRU Giả sử có chuyển vị khả dĩ:
[ u, v, w]T
δU = δ δ δ (2-6)
Không làm nhiễu các điều kiện ràng buộc trên biên SRUR, nghĩa là trên biên này không có: δU = 0 (2-7)
Ta có nguyên lý công khả dĩ:
( )
( w) ( w) 0
P
x x y y z z xy xy yz yz zx zx
V
V V V
V S
dV X u Y v Z dV X u Y v Z dS σ δε σ δε σ δε τ δγ τ δγ τ δγ
δ δ δ δ δ δ
+ + + + + −
+ + − + + =
∫∫∫
∫∫∫ ∫∫ (2-8)
Hay viết dưới dạng ma trận:
0
P
T T T
V
V V S
dV U pdV U P dV
δε σ − δ − δ =
∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫ (2-9) trong đó:
[ x, y, z, xy, yz, zx]
δε = δε δε δε δγ δγ δγ : Là véc tơ biến dạng ứng với lực khả dĩ. σ =[σ σ σ τ τ τx, y, z, xy, yz, zx]: Là véc tơ ứng suất.
Trong các biểu thức (2-8) và (2-9), tích phân đầu tiên biểu thi công khả dĩ của nội lực và hai tích phân sau biểu thị công khả dĩ của ngoại lực. Như vậy, khi vật cân bằng và có chuyển vị khả dĩ như đã được mô tả, thì tổng công khả dĩ nội lực và ngoại lực sẽ bằng 0.
Bên cạnh nguyên lý công khả dĩ (2-9) còn nguyên lý công bù khả dĩ.
Xét một vật nằm trong trạng thái cân bằng có thể tích V, chịu tác dụng của tải trọng gồm lực thể tích và lực bề mặt trên biên SRPR với các điều kiện ràng buộc về chuyển vị trên biên SRUR như đã được mô tả ở trên. Giả sử có một trường ứng suất khả dĩ δσ δσ δσ δτ δτ δτx, x, x, xy, yz, zx không làm nhiễu các điều kiện cân bằng ở trong vật và trên biên SRPR, nghĩa là:
y 0
x z
x y z
δσ ∂δσ δσ
∂ ∂
+ + =
∂ ∂ ∂
……
Và δXV =δσxl+δτyxm+δτzxn=0
……
Tương ứng ở trong V và ở trong SRPR. Có thể chứng minh được nguyên lý công bù khả dĩ:
( )
( w ) 0
U
x x y y z z xy xy yz yz zx zx
V
V V V
S
dV
u X v Y Z ds
ε δσ ε δσ ε δσ γ δτ γ δτ γ δτ
δ δ δ
− − −
+ + + + +
− + + =
∫∫∫
∫∫ (2-10)
Các nguyên lý công khả dĩ (2-8) và công bù khả dĩ (2-10) có giá trị đối với mọi vật rắn biến dạng.
+ Thế năng biến dạng
Xét một vật đàn hồi trong trường hợp tổng quát có thể có quan hệ ứng suất-biến dạng là phi tuyến:
Hình 2-2: Quan hệ ứng suất và biến dạng Hàm thế năng biến dạng là:
0 0 0 0 0 0
W
y xy yz
x z zx
xd x yd y zd z xyd xy yzd yz zxd zx
ε γ γ
ε ε γ
σ ε σ ε σ ε τ γ τ γ τ γ
=∫ +∫ +∫ + ∫ + ∫ + ∫ (2-11)
Và hàm thế năng bù:
0 0 0 0 0 0
B
y xy yz
x z zx
xd x yd y zd z xyd xy yzd yz zxd zx
σ τ τ
σ σ τ
ε σ ε σ ε σ γ τ γ τ γ τ
= ∫ + ∫ +∫ + +∫ + ∫ + ∫
Ta có công thức Green:
W W W W W W
; ; ; ; ; ;
x y z xy yz zx
x y z xy yz zx
σ σ σ τ τ τ
ε ε ε γ γ γ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2-12)
Công thức Castiglianô:
; ; ; ; ;
x y z xy yz zx
x y z xy yz zx
B B B B B B
ε ε ε γ γ γ
σ σ σ γ γ γ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= = = = = =
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ (2-13)
Nếu quan hệ ứng suất - biến dạng là Định luật Hooke thì từ (2-11) suy
ra: 2
x x x x x x xy xy xy xy xy xy
W B σ ε +σ ε +σ ε τ γ+ +τ γ +τ γ
= = (2-14)
Hay
2
2 2 2 2 2 2
yz
( )
( ,...., ) [( ) ( )]
2
x y z
x zx x y z xy zx
W ε ε ε G
ε γ =λ + + + ε +ε +ε + γ +γ +γ
2 2 2 2
2 2 2
( w)
( , , w) w
2
w v w
/ 2 u v
u v
x y z
W u v G
x y z
v u u
G x y y z z x
λ
∂∂ +∂∂ +∂∂ ∂ ∂ ∂
= + ∂ +∂ + ∂ +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + + + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Và:
2 2 2 2
( ) 2(1 )(
( ,..., )
2
x y z xy xy xy x y y z z x
x zx
B E
σ σ σ υ τ τ τ σ σ σ σ σ σ
σ τ = + + + + + + − − −
trong đó:
E là mô đun đàn hồi Young.
,G
λ là các hằng số Lamé.
+ Nguyên lý cực tiểu thế năng
Xét một vật thể có thể tích V cân bằng dưới tác dụng của trải trọng và các điều kiện biên đã mô tả ở mục các nguyên lý công khả dĩ.
Giả sử có chuyển vị khả dĩ vô cùng bé ∂ ∂ ∂u v, , w. Với những khả dĩ này và công thức công thức Green , biểu thức công khả dĩ trở thành:
δJ =0 (2-15)
trong đó:
W( , , w) ( w) ( w)
P
v v v
V V S
J =∫∫∫ u v dV−∫∫∫ Xu Yv+ +Z dV −∫∫ X u Y v+ +Z ds
Là tổng thế năng của hệ (thế năng biến dạng và thế năng tải trọng).
Và (2-15) là nguyên lý cực tiểu thế năng Lagrange, theo đó, phiếm hàm thế năng J của hệ sẽ nhân giá trị dừng khi vật thể ở trạng thái cân bằng.
Vẫn xét vật V cân bằng như trên, giả sử có trường hợp ứng suất khả dĩ vô cùng bé δσ δσ δσ δτ δτ δτx, y, z, xy, yz, zx.Với trường ứng suất khả dĩ này và công thức Castigliano , biểu thức công bù khả dĩ trở thành.
0
δU = (2-16) trong đó:
( , , , , , ) ( w)
U
x y z xy yz zx v v v
V S
U =∫∫∫B σ σ σ τ τ τ dV−∫∫ uX− +vY− +Z − ds
Là tổng thế năng bù của hệ.
Với (2-16) là nguyên lý cực tiểu thế năng bù Castigliano, theo đó, phiếm hàm tổng thế năng bù U của hệ sẽ nhận giá trị dừng khi vật thể ở trạng thái cân bằng.
Ở nguyên lý cực tiểu thế năng có phiếm hàm J của các hàm chuyển vị u, v, w thừa món điều kiện trờn biờn SRUR. Ở nguyờn lý cực tiểu thế năng bự cú phiếm hàm U của cỏc hàm ứng suất tiếp σ σ σ τ τ τx, y, z, xy, yz, zx thừa món cỏc điều kiên trên biên trên SRPR.
Reissner và Hellinger đề nghị phiếm hàm R của cả 2 loại, hàm chuyển vị thỏa mãn các điều kiện biên trên SRUR và hàm ứng suất thỏa mãn các điều kiện biên trên SRPRnhư sau:
... ( w) ( ,..., ) ( w)
( w) [(u- )X +(v- )Y +(w- w )Z ] .
P U
x y zx x zx
V
V v v v v v
S S
u v u
R B Xu Yv Z dV
x y z x
X u Y v Z dS u v dS
σ σ τ σ τ
− − −
∂ ∂ ∂ ∂
= ∂ + ∂ + + ∂ + ∂ − − + +
− + + −
∫∫∫
∫∫ ∫∫ (2-17)
Các nguyên lý Lgrange, Reissner - Hellinger là cơ sở của nhiều phương pháp nói chung và phương pháp phần tử hữu hạn nói riêng.
2.2.2.2. Nội dung của phương pháp
Phương pháp phần tử hữu hạn thuộc loại bài toán biến phân, song nó khác với các phương pháp biến phân cổ điển như phương pháp Ritz, phương pháp Galerkin…ở chỗ nó không tìm dạng hàm xấp xỉ của hàm cần tìm trong toán miền xác định mà chỉ trong từng miền con thuộc miền xác định đó. Điều này đặc biệt thuận lợi đối với những bài toán và miền xác định gồm nhiều miền con có những đặc tính khác nhau, đặc biệt nó được áp dụng trong bài toán phân tích ứng suất thân đập không đồng nhất, nền không đồng nhất và dị hướng.
Trình tự giải bài toán bằng phương pháp phần tử hữu hạn:
UBước 1U: Chia miền tính toán thành các miền nhỏ gọi là các phần tử.
Các phần tử này được nối với nhau bởi một số hữu hạn các điểm nút.
Các điểm nút này có thể là đỉnh của các phần tử, cũng có thể là một số điểm được quy ước trên mặt (cạnh) của phần tử.
Thông thường hay sử dụng các loại phần tử: phẳng, vỏ, khối.
UBước 2U: Trong phạm vi của mỗi phần tử, ta giả thiết một dạng phân bố xác định nào đó của hàm cần tìm, có thể đó là:
- Hàm chuyển vị - Hàm ứng suất
- Cả hàm chuyển vị và ứng suất
Thông thường các giả thiết các hàm là những đa thức nguyên mà các hệ số của đa thức được gọi là các thông số. Trong phương pháp phần tử hữu hạn, các thông số này được biểu diễn qua các trị số của hàm và có thể là cả các trị số của các đạo hàm của nó tại các điểm nút của phần tử.
Tùy theo ý nghĩa của hàm xấp xỉ mà trong các bài toán kết cấu ta thường chia ra làm 3 loại mô hình:
a) Mô hình tương thích: Ứng với mô hình này ta biểu diễn gần đúng dạng phân bố của chuyển vị trong phần tử. Hệ phương trình cơ bản của bài toán sử dụng mô hình này được thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Lagrange.
b) Mô hình cân bằng: Ứng với mô hình này ta biểu diễn gần đúng dạng phân bố ứng suất hoặc nội lực trong phần tử. Hệ phương trình cơ bản của bài toán sử dụng mô hình này được thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Castigliano.
c) Mô hình hỗn hợp: Ứng với mô hình này biểu diễn gần đúng dạng phân bố của cả chuyển vị lẫn ứng suất trong phần tử. Ta coi chuyển vị và ứng suất là hai yếu tố độc lập riêng biệt. Hệ phương trình cơ bản của bài toán sử dụng mô hình này được thiết lập trên cơ sở nguyên lý biến phân Reissner- Hellinger.
UBước 3U: Thiết lập hệ phương trình cơ bản của phần tử.
Để thiết lập hệ phương trình cơ bản của bài toán giải bằng phương pháp phần tử hữu hạn ta dựa vào các nguyên lý biến phân. Từ các nguyên lý biến phân ta rút ra được hệ phương trình đại số tuyến tính:
AX=B (2-18)
UBước 4U: Giải hệ phương trình cơ bản.
Giải hệ phương trình (2-18) sẽ tìm được các hàm ẩn của toàn miền xét (các giá trị hàm hoặc các đạo hàm của nó) tại các điểm nút.
UBước 5U: Dựa vào các phương trình cơ bản của lý thuyết đàn hồi sẽ xác định được các đại lượng cần tìm khác, chẳng hạn như trường ứng suất, biến dạng,…
Trong 3 mô hình trên thì mô hình tương thích được sử dụng rộng rãi hơn cả, còn 2 mô hình sau chỉ sử dụng có hiệu quả trong một số bài toán nhất định.
2.2.2.3. Tính toán kết cấu với mô hình tương thích Trình tự tính toán được thực hiện như sau:
UBước 1U: Chia miền tính toán thành các phần tử nhỏ dạng tam giác hoặc tứ giác. Lưới tam giác hoặc tứ giác được chia dày ở những vùng ứng suất có khả năng biến đổi nhiều như: ở vùng tiếp giáp thân đập và nền, ở vùng tâm quay cửa van cung,..
UBước 2U: Chọn ẩn số là các chuyển vị nút của phần tử, cũng có thể là chuyển vị nút và chuyển vị tại một số điểm trên cạnh của phần tử.
Giả thiết tại một điểm nào đó trong phần tử e có chuyển vị được biểu diễn bằng hàm f(x,y), ta xấp xỉ hàm này bằng đa thức nguyên:
f=MReR.αReR (2-19) trong đó:
MReR - Ma trận hàm toạ độ của phần tử e.
αRe R-RRVéc tơ các thông số của phần tử e.
f - Véc tơ chuyển vị.
Gọi UReRlà vét tơ chuyển vị nút của phần tử, ta có:
UReR={URiR}ReRvới i=1,2,...nRd
nRdR - Tổng chuyển vị nút của phần tử, nó bằng tích của bậc tự do của mỗi nút và số nút của phần tử.
Vì hàm (2-19) thoả mãn cho mọi điểm trong phân tử nên cũng thoả mãn cho các điểm nút của nó. Thay toạ độ x,y của MReR trong (2-19) bằng toạ độ nút của phần tử ta được:
UReR = AReR.αReR (2-20) trong đó:
AReR: là ma trận toạ độ nút của phần tử Từ (2-20) giải ra ta được: αReR = AReRP
-1
P.UReR (2-21) Thay (2-21) vào (2-19) được:
f = MReR .AReRP -1
P.UReR (2-22) Đặt: NReR = MReR.AReRP
-1
P (2-23) NReRgọi là hàm dạng của phần tử.
Với cách đặt trên thì (2-22) được viết lại như sau:
f = NReR.UReR (2-24)
UBước 3U: Liên hệ giữa véc tơ chuyển vị nút của phần tử và chuyển vị nút của toàn kết cấu.
Giả sử số chuyển vị nút của phần tử là nRdR, còn của toàn kết cấu là n và vộc tơ chuyển vị nỳt của toàn kết cấu là ∆, thỡ rừ ràng là cỏc thành phần của véc tơ chuyển vị nút của phần tử phải nằm trong các thành phần của véc tơ chuyển vị nút của toàn kết cấu. Nói cách khác, ta có thể biểu diễn mối quan hệ này bằng một biểu thức toán học như sau:
UReR = LReR.∆ (2-25) trong đó:
LReR - Là ma trận định vị của các phần tử e có kích thước nRdRxn, nó cho ta hình ảnh cách sắp xếp các thành phần của UReR vào trong ∆.
Các phần tử LReRchỉ nhận hai trị số là 0 và 1:
LRijR=0 nếu UReiR ≠ ∆j
LRijR=1 nếu UReiR = ∆j
Như vậy, sử dụng ma trận LReR có thể sắp xếp các thành phần véc tơ chuyển vị nút của phần tử (chuyển vị cá thể) vào véc tơ chuyển vị nút của toàn kết cấu (chuyển vị toàn thể). Nói cách khác là sử dụng ma trận định vị ta có thể biểu diễn véc tơ chuyển vị cá thể qua véc tơ chuyển vị toàn thể.
UBước 4U: Mối liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị.
Gọi ε là véc tơ biến dạng, thì ta có mối liên hệ giữa biến dạng và chuyển vị như sau: ε = ∂f
trong đó: ∂ là ma trận toán tử vi phân Thay f bằng biểu thức (2-24) ta được:
ε =∂ NReR.UReR (2-26) Đặt BReR = ∂NReR, BReR là ma trận hàm các toạ độ nút của phần tử, ta viết lại biểu thức εReR:
εReR = BReR.UReR (2-27) (2-27) biểu diễn mối quan hệ giữa biến dạng của phần tử với các chuyển vị nút của nó.
UBước 5U: Mối liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị.
Gọi σReRlà véc tơ ứng suất của phần tử, theo định luật Hooke ta có
σReR = DεReR (2-28) trong đó: D là ma trận các hằng số đàn hồi.
Thay (2-27) vào (2-28) ta được:
σReR = DBReRεReR (2-29) (2-29) là biểu thức liên hệ giữa ứng suất và chuyển vị nút của phần tử.
UBước 6U: Thiết lập phương trình cơ bản của phương pháp phần tử hữu hạn Theo nguyên lý cực tiểu thế năng, giả sử vật thể có thể tích V cân bằng dưới tác dụng của các lực thể tích P và lực bề mặt q trên bề mặt S, khi đó thế năng toàn phần của kết cấu có dạng:
∫∫
∫∫∫
∫∫∫ − −
=
S T V
T T
V
qdS U PdV U σdV
ε
π 2
1 (2-30)
Chia miền V tính toán thành nReR phần tử, mỗi phần tử có thể tích VReR, diện tích bề mặt là SReR, gọi thế năng toàn phần của phần tử là πRe
∫∫
∫∫∫
∫∫∫ − −
=
S
e e T e V
e e T e e
T e V
e ε σdV U PdV U q dS
π 2
1
Đặt (3-24), (3-27) và (3-29) vào (3-30) ta được:
∫∫
∫∫∫
∫∫∫ − −
=
ê
2 ê
1
S
e T e T e V
e T e T e e
e T e T e V
e U B DB dV U N PdV U N dS
e
π
Hay e = UeTKeUe −UeTFe 2
π 1 (2-31)
Với: e e
T e V
e B DB dV
K
e
∫∫∫
= - gọi là ma trận cứng phần tử (2-32) =∫∫∫ +∫∫
Sê
e T e e
T e V
e N pdV N qdS
F
e
- gọi là véc tơ tải của phần tử (2-33) Thế năng toàn phần của toàn kết cấu sẽ là:
∆
−
∆
∆
=
=∑ ∑ ∑
=
=
=
ne
e e T e T ne
e
e e T e T ne
e
e L K L L F
1 1
1 2
π 1
π (2-34)
Theo nguyên lý cự tiểu thế năng: ∂∂∆π =0 (2-35) Thay (2-35) vào (2-35) ta được:
K∆ - F = 0
Vậy: K∆ = F (2-36) (2-36) là phương trình cơ bản của phương pháp PTHH, trong đó:
1 ne
T
e e e
e
K L K L
=
=∑ - là ma trận cứng của toàn kết cấu.
e
ne
e T
eF L
F ∑
=
=
1
- là véc tơ tải của toàn kết cấu.
2.3. TÍNH TOÁN ỨNG SUẤT – BIẾN DẠNG CỦA ĐẬP BÊ TÔNG