Hoạt động 3: Hình thành định lí 1
+ Cho hai dãy số với và với . Dựa vào kiến thức lượng giác
hãy cho biết hai số hạng tổng quát có mối liên hệ gì?
+ Ta đã có , vậy qua mối liên hệ của hai số hạng tổng quát em có dự đốn
gì đối với dãy số với ?
+ Cho một số dương nhỏ tùy ý, dựa vào , em hãy chỉ ra kể từ số hạng nào đó của dãy (bn), đều có giá trị tuyêt đối nhỏ hơn số dương đó?
Kiến thức thu được: Người ta đã chứng minh được kết quả tổng quát sau:
Định lí 1: Cho hai dãy số , nếu và thì .
Hoạt động 4: Củng cố định lí 1
+ Chứng minh
+ Chứng minh .
+ Tìm .
Hoạt động 5: Hình thành cách chứng minh định lí 2 (dành cho HS khá, giỏi)
+ Trong các dãy số sau, em cho biết chúng có đặc điểm gì chung: (un) với ; (vn) với
+ Dự đoán xem nếu thì bằng bao nhiêu? + Em nào chứng minh được dự đốn trên?
+ Nếu thì em hãy đánh giá và từ đó có thể biểu diễn dưới dạng
nào?
+ Như vậy, áp dụng bất đẳng thức Becnuli được kết quả như thế nào?
+ Áp dụng định lý 1 hãy kiểm chứng dự đoán với ?
Kiến thức thu được:
Định lí 2: Nếu thì Hoạt động 6: Củng cố định lí 2 + Chứng minh rằng + Tìm giới hạn + Củng cố tồn bài GV: Phát phiếu học tập số 3 cho HS:
Phiếu học tập số 3. Bài 1: Điền Đ (đúng), S (sai) vào ơ trống:
Câu Đ hay S
a/ Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn 0 (hay có giới hạn là 0) nếu mọi số hạng của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn
một số dương nhỏ tùy ý nào đó.
b/ Kể từ số hạng thứ 100001 trở đi, mọi số hạng của dãy số (bn) với đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 0,00002. c/
d/ Cho hai dãy số (un) và (vn), với thì
e/ Ta ln có
f/ Dãy số khơng đổi (an) với an = m có giới hạn 0. g/
h/ vì
Bài 2: CMR:
+ Hướng dẫn học ở nhà
GV yêu cầu HS:
+ Nêu định nghĩa dãy số có giới hạn 0
+ Nêu nội dung hai định lí dùng để chứng minh dãy số có giới hạn 0 và chứng minh chúng
+ Nghiên cứu mệnh đề sau:
“Cho ba dãy số .
Nếu và thì ”
(Tổng qt với limun=limvn=L có kết quả gì?)
5. DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN
* Kiểm tra bài cũ:
+ Nêu khái niệm dãy số ? Cho ví dụ?
+ Cho biết đặc trưng cho đại lượng nào? (khoảng cách từ điểm đến điểm 0).
* Bài mới I. Định nghĩa
Hoạt động 1: Hình thành khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn.
+ Ta có , vậy em hãy nhắc lại đặc điểm khi biểu diễn các số hạng của dãy số
trên trục số? (Các điểm biểu diễn chụm lại quanh điểm 0).
+ Tương tự biểu diễn các số hạng của dãy số trên trục số thì em thấy có đặc
điểm gì? (các điểm biểu diễn chụm lại quanh điểm 3). Kiến thức thu được:
Tương tự như , ta nói rằng dãy số có giới hạn là 3 và được kí
hiệu là: .
+ Vậy cũng như khái niệm dãy số có giới hạn 0, em hãy định nghĩa dãy số có giới hạn 3? (Dãy số có giới hạn là 3 nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có khoảng cách từ điểm đến điểm 3 nhỏ hơn số dương đó).
Tuy nhiên, vì nên ta có thể định nghĩa như sau: Dãy số có
giới hạn là 3 nếu .
+ Vậy tổng quát, em hãy định nghĩa dãy số có giới hạn là số thực L? (Dãy số
có giới hạn là L nếu )
Kiến thức thu được: Dãy số có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
Hoạt động 3: Củng cố khái niệm dãy số có giới hạn hữu hạn.
+ Đặc biệt dãy số là dãy không đổi với (c là hằng số) thì bằng bao
nhiêu? Giải thích theo định nghĩa? ( vì )
Ví dụ 1:
CMR: với . ( )