Hoạt động 5: Hình thành cơng thức tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.
Cấp số nhân vơ hạn có cơng bội q với là cấp số nhân lùi vơ hạn. + Em hãy tính tổng n số hạng đầu tiên cúa cấp số nhân lùi vơ hạn?
+ Nếu cho n tăng lên mãi thì tổng có đặc điểm gì? (bằng ).
+ Như vậy, nếu ta kí hiệu tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn là thì
. Em hãy tìm S? (Nếu HS chưa tìm được ngay thì làm rõ ở câu tiếp).
+ Với ta sẽ có điều gì? ( ).
+ Vận dụng điều này để tìm giới hạn ?( )
Kiến thức thu được:
Hoạt động 6: Củng cố cơng thức tính tổng của cấp số nhân lùi vơ hạn.
Ví dụ: Tính tổng
+ Các số hạng trong tổng K theo thứ tự lập thành dãy số có đặc điểm gì? (là cấp số nhân
lùi vơ hạn với )
+ Vậy, tổng K bằng bao nhiêu? ( )
+ Em nào biết “nghịch lý Zê-nông”(Zénon): “Asin không đuổi kịp rùa”? (nếu khơng làm rõ ở ví dụ vui).
Ví dụ vui: Asin (Achille) là một lực sĩ trong thần thoại Hy Lạp, thần Asin biểu hiện cho lòng dũng cảm và sự nhanh nhẹn, là người được mệnh danh là “có đơi chân chạy nhanh như gió”. Thế nhưng nhà triết học cổ Hy Lạp Zê-nông (thế kỷ V trước công nguyên) đã đưa ra lí luận chứng tỏ Asin khơng đuổi kịp con rùa như sau: “Nếu lúc xuất phát, rùa ở điểm A1 cách Asin một khoảng bằng , thế nhưng mặc dù chạy nhanh hơn, Asin cũng không bao giờ đuổi kịp rùa. Thật vậy , để đuổi kịp rùa, trước hết Asin cần đi đến điểm xuất phát A1 của rùa, nhưng khoảng thời gian đó rùa đã đi đến một điểm A2 khác. Để đuổi tiếp, Asin lại cần phải đi đến điểm A2 này, nhưng trong thời gian Asin đến được điểm A2 thì rùa lại đi được đến điểm A3 khác, …. Cứ thế Asin không bao giờ đuổi kịp rùa”.
+ Theo em, Asin có đuổi kịp được rùa khơng? (Asin sẽ đuổi kịp được rùa).
+ Giải thích lí luận của Zê-nơng là sai lầm? (nếu khơng giải thích được làm rõ ở gợi ý tiếp)
+ Vì rùa chạy chậm hơn Asin nên nếu gọi tỉ số giữa vận tốc của rùa và vận tốc của Asin là q thì q có đặc điểm gì? ( ).
+ Asin cần thời gian bao lâu để đến được
điểm xuất phát A1? ( )
+ Cùng thời gian này thì rùa đi đến điểm A2, vr.a vAs A2 A1 a t= a vAs Rùa Asin
khoảng cách A1A2 là bao nhiêu? ( )
+ Tương tự, khi Asin đến điểm A2 thì rùa đến điểm A3 và khoảng cách A2A3 bằng bao
nhiêu? ( ).
+ Em có nhận xé gì về những quãng đường mà Asin cần chạy để đuổi
đến rùa? (độ dài các đoạn này lập thành cấp số nhân lùi vô hạn) + Vậy tổng quãng đường Asin cần chạy để kịp rùa là bao nhiêu?
( ).
Như vậy, quãng đường Asin cần chạy để kịp rùa là xác định. Vậy Asin sẽ đuổi kịp rùa. Ví
dụ: thì Asin cần chạy quãng đường .
Hướng dẫn học ở nhà:
Trả lời các câu hỏi sau:
- Các kết quả nào được dùng trong quá trình tìm giới hạn? Điều kiện áp dụng chúng là gì?
- Thế nào là một cấp số nhân lùi vơ hạn? Tổng của nó được tính theo cơng thức nào? Làm bài tập trong SGK và SBT.
6. TỰ CHỌN
(Xây dựng bài toán về cấp số cộng và
hệ thống giới hạn của dãy số ở dạng vô định)