26 Thông thường, phép biến đổi Fourier liên tục thường được coi là phép biến đổi Fourier. Phép biến đổi Fourier sẽ khai triển 1 hàm số theo các thành phần trong phổ của nó:
(3)
Trong đó X(f): Tín hiệu sau khi được biến đổi sang miền tần số x(t): Tín hiệu gốc ở miền thời gian
B. Phép biến đổi Fourier rời rạc
Phép biến đổi Fourier rời rạc đơi khi cịn được gọi là biến đổi Fourier hữu hạn, là một biến đổi Fourier cho các tín hiệu thời gian rời rạc. Đầu vào của biến đổi này là một chuỗi hữu hạn các số thực hoặc số phức, làm biến đổi này là một công cụ lý tưởng để xử lý thông tin trên các máy tính.
(4) Với k = 0,1,2…, N-1
C. Phép biến đổi Fourier nhanh
Biến đổi Fourier nhanh FFT thực chất là các thuật toán để thực hiện phép biến đổi Fourier rời rạc DFT nhằm phân tích tín hiệu rời rạc theo thời gian trong miền tần số hiệu quả nhờ sự cải thiện rất đáng kể về tốc độ và tính tốn đơn giản[7]. Thuật tốn FFT phải tính tất cả N giá trị của DFT sao cho có hiệu quả cao nhất. Có một vài thuật tốn để thực hiện FFT, tuy nhiên thuật toán Cooley- Tukey là thuật toán được sử dụng phổ biến nhất.
Thuật giải Cooley-Tukey chỉ áp dụng cho trường hợp N = 2s, s ∈ N. Vì N chẵn, nên tổng (4) có thể phân tích thành hai tổng:
(5)
Với W2 = e 2.2πi/N = e 2πi/(N/2)
, nên ta thấy Fe(k) và Fo(k) lần lượt là biến đổi Fourier của hai dãy:
27 Có nghĩa là mỗi một Fe(k) và Fo(k) được phân tích thành tổng của hai phép biến đổi Fourier rời rạc của N/2 điểm. Tiếp tục quá trình trên cho đến khi cho đến khi ta được biến đổi Fourier rời rạc của 2 điểm. Ngồi ra, do tính tuần hồn chu kỳ N/2 nên chỉ cần tính Fe(k) và Fo(k) với N/2 ≤ k ≤ N − 1 hoặc với 0 ≤ k ≤ N/2 − 1.
2.2.3 Phương pháp xử lý tín hiệu trong miền thời gian – tần số
A. Phép biến đổi Fourier thời gian ngắn
Các tín hiệu thường gặp trong thực tế thường là tín hiệu khơng dừng (ví dụ tín hiệu nhạc, tín hiệu nhiễu, …) thì phân tích Fourier hồn tồn khơng mang lại các thơng tin hữu ích. Ta xét một ví dụ đơn giản để thấy rõ điều này. Xét trường hợp tín hiệu xung δ(t), phép biến đổi Fourier F(ω)=1, với ∀ω. Ta thấy rằng thơng tin về vị trí xung trong miền thời gian hồn tồn khơng phát hiện trong miền tần số. Như vậy, biến đổi Fourier khơng phân tích được biến thiên tần số trong từng vùng theo thời gian của tín hiệu. Nói cách khác nó khơng có tính cục bộ về thời gian. Do đó cần cục bộ hóa biến đổi Fourier để có thể phân tích các tín hiệu khơng tĩnh.
Để khắc phục những hạn chế của biến đổi Fourier, phép biến đổi Fourier thời gian ngắn – STFT được đề xuất[8]. Biến đổi này còn được gọi là biến đổi Fourier cửa sổ hay biến đổi Gabor. Ý tưởng này là sự cục bộ của biến đổi Fourier, sử dụng hàm cửa sổ xấp xỉ trung tâm nơi định vị. Vì vậy, như biến đổi wavelet, biến đổi là sự khai triển theo hai thông số tần số và dịch thời gian. Tuy nhiên, nó có điểm khác biệt là kích thước cửa sổ được định trước khác với tỷ lệ cửa sổ được dùng trong biến đổi wavelet. Tín hiệu nguyên thủy được phân thành từng đoạn bằng cách nhân với một hàm cửa sổ w (t - τ), sau đó thực hiện biến đổi Fourier