Công thức phép biến đổi STFT:
(6)
Trong đó gw,τ (t) = w(t- τ)e-jwt
Một số hàm cửa sổ thông dụng được sử dụng trong STFT:
-Hàm cửa sổ chữ nhật: Là hàm cửa sổ đơn giản nhất trong các hàm cửa sổ, có cơng thức tổng qt là:
28 (7)
-Hàm cửa sổ Hann: Là hàm cửa sổ thông dụng nhất, có cơng thức tổng quát như sau:
(8)
-Hàm cửa sổ Hamming:
(9)
Vậy khuyết điểm chính của biến đổi STFT là khi kích thước cửa sổ được chọn thì tất cả các tần số được phân tích với cùng độ phân giải thời gian và tần số. Do vậy khi phân tích tín hiệu gồm nhiều thành phần tần số hoặc thời gian, STFT chỉ có khả năng cho độ phân giải tương đối về tần số tốt với các tín hiệu có thời gian tồn tại ngắn.
Nói tóm lại vấn đề liên quan đến độ rộng của hàm cửa sổ là: - Nếu hàm cửa sổ hẹp: phân giải thời gian tốt, phân giải tần số kém. - Nếu hàm cửa sổ rộng: phân giải tần số tốt, phân giải thời gian kém. B. Phép biến đổi Wavelet
Để đáp ứng được yêu cầu độ phân giải ổn định với các tín hiệu có nhiều thành phần thời gian và tần số, ta cần dùng một phương pháp biến đổi sao cho độ phân giải thời gian và tần số có thể thay đổi một cách thích nghi với đặc tính của tín hiệu trên mặt phẳng thời gian và tần số. Vấn đề này được giải quyết bằng cách thay thế phép dời đơn giản trong STFT bằng phép dời và đổi thang độ (shifts and scales). Điều này dẫn đến sự ra đời của một phép biến đổi mới đó là phép biến đổi wavelet.
Phân tích Wavelet cho phép sử dụng các khoảng thời gian dài khi ta cần thông tin tần số thấp chính xác hơn, và miền ngắn hơn đối với thông tin tần số cao[8]. Ở đây cho thấy sự tương phản với cách nhìn tín hiệu dựa theo thời gian, tần số: