D d~ (n) (0) (I) (n)
1.5.2. Qua trlnh sinh va hoy
Ta xet m()t h~ th6ng rna tr~ng thai cua n6 t~i m6i m()t thoi di€m du'QC th€
hi~n bC1i so' ca th€ c6 m~t trong h~ tho'ng t~i thoi di€m d6. Ghl thie't d.ng m6i khi c6 n ca th€ trong h~ tho'ng thl
a) Dong ca th~ moi de'n h~ tho'ng Ia qua trlnh voi thoi gian cho c6 phan pho'i
(
mfi voi cuong d9 (tham so') An~ 0.
b) Dong ca th~ roi khoi h~ tho'ng la qua trlnh voi thoi gian cho c6 phan pho'i mfi voi cuong d9 (tham so') J.ln ~ 0.
c) Dong ca th~ de'~ va dong ca th~ di Ia d()c l~p voi nhau.
Nhu v~y, m6i khi c6 n ca th~ trong h~ tho'ng thl thoi gian cho m()t ca th€ moi de'n T nO> c6 phan pho'i mfi voi trung blnh 11 An va thoi gian cho m()t ca th€ roi di
T n <2> c6 phan pho'i mfi trung b1nh 11 J..tn. Ngoai ra, cac thoi gian cho T n <I> va T n <2>
Ia d()c l~p.
Qua trlnh nay du'QC gQi la qua trlnh sinh Va huy, cac tha·m so' {A-n };=0 Va
{.un};=O dlt<jc gQi la cu'ong dQ de'n (hay sinh) va cliong dQ di (hay huy) tu'dng Ung.
Qua trlnh sinh hay huy chinh la xich Markov lien tt;tc va thu~n nha't {X(t), t ~ 0} voi khong gian tr~ng thai E = {0, 1, 2, ... }, X(O) = 0, va
thoi gian ch~ T 0 c6 phan pho'i mfi voi tham so' Ao va Pol = 1.
P n,n+l-- A, ' An+ J.ln P n,n-1 -- ~ J.ln ' . /l.n + J.ln n ~ 1. P{T <I> T (2)} Pn,n+l = n < n = .b ~ P(T.(l) < r.C2) I n n T.(2) -n - t) rn 11 e-Jlnl dt
Tu'dng tt;( do'i voi Pn,n-1·
Ne'u J.1n = 0 , Vn ~ I thl qua trlnh dang xet gQi la qua trlnh sinh thuffn tuy, con ne'u An= 0, Vn ~ 0 thl gQi la qua trlnh huy thuffn tuy. N6i rieng, qua trlnh sinh thuffn tuy rna An= A> 0, Vn ~ 0 chinh la rn()t qua trlnh Poisson.
1.5.3. Gi6'i h~n ciia xac sua't
Ta xet xfch Markov lien tlJC va thuffn nha't {X(t), t ~ 0 } voi khong gian tr~ng thai E c z+, rna tr~n xac sua't chuy~n IP(t) = (pij(t)) ijeE, va phan pho'i ban dffu Il(O) = (Pi(O) = P{X(O) = i} , i E E)
Dinh nghia
Phan pho'i II(t) = (pj(t) = P{X(t) = j} 'j E E) t~i thC1i di~rn t > 0 cua xich dlt<Jc gQi la dung,. ne'u n6 khong phv thu()c vao t, tl!c la voi rn6i j E E thl Pj(t) =i 7ij , Vt > 0.
Khi d6 ta c6 (1.27)
Vie't du'di d~ng rna tr~n thl rr* = IJ*.IP(t) ,Vt > 0 Trong d6 rr* = (1tj 'j E E) la vectd pharr pho'i gidi h~n.
Gia thie't d.ng t6n t~i it nha't m()t tr~ng thai j0 E E sao cho cung khmlng thC1i gian
0 < h < 00 nao d6 thl
Pijo(h) ~ 8 > 0, ViE E (1.28)
gia thie't nay du'<;fc g<;>i la di~u ki~n Docblin.
Khi a'y ta c6 ke't qua sau v~ sv h()i tt;t tdi pharr pho'i dung cua xich.
Vi dQ. Ta trd l~i vi dt;t tru'dc v~ qua trlnh sinh va huy vdi hai tr~ng thai, mo hlnh m()t thie't hi lam vi~c ho~c bao duong.
Khi fiy vdi pharr pho'i ban d~u IT(O) = (1, 0) ta da c6
Pol(t) = 1-Poo(t) , Pw(t) = 1-Pu(t)
P1Ct) = _'A _ _ _ 'A_e-(A.+Jl)t,
'A+f.! 'A+f.!
Hi~n nhien la di~u ki~n Docblin du'<;fc thoa man va ta tha'y
lim pc)(t) = _f.!_ = Jto.
lim p1(t) = _A._ = n1•
t~oo A.+ f.1
Nhtt v~y ta dtt<Jc phan pho'i gioi h~n va cfing la phan ph6i dung duy nha"t *
TI = (no, 1t1).
Ne'u ta la"y phan pho'i nay lam phan pho'i .ban dgu ciia xich va v~n gifi'
nguyen rna tr~n xac sua"t chuy€n, thl dli<Jc
Po(t) = _Jl_ = n0 , p1(t) =-A.- = n1 , Vt ~ 0
A+Jl A.+p
do d6 phan pho'i gioi h~n va phan ph6i dung v~n khong thay d6i 1.5.4. Qua trlnh Poisson va qua trl.nh de'm
Dfnh nghia. Qua trlnh ng~u nhien {X(t), t ~ 0} du<;Jc gQi la qua trlnh Poisson voi cttong d() A> 0 ne'u thoa man cac dieu ki~n sau day
(i) X(t) c6 cac gia tri la toan b() t~p h<;Jp z+ va X(O) = 0.
(ii) X(t) la qua trlnh voi gia s6 d()c l~p, tuc la voi mQi 0 ::;; t1 < t2 < ... < tn thl cac gia so' X(ti)- X(tj_ I)' i = l,n la cac bie'n ng~u nhien d()c l~p.
(iii) M6i gia so' X(t + s) - X(s) , "i/s ~ 0, "i/t > 0 la bie'n ng~u nhien c6 phan pho'i Poissmfvoi tham so' At.
: Ta tha"y "i/s > u ~ 0' v > 0 va "i/i, j, k E z+' k::;; i ::;j thl P{X(t+ s) = j I X(s) = i, X(u) = k} =
= P{X(t + s)- X(s) = j- i I X(s)- X(u) = i -k, X(u)- X(O) = k} = P{X(t + s) ;_ X(s) = j -i} = (;u)i-i e-AI
M~t khac P{X(t + s) = j I X(s) = i} =
= P{X(t+ s)- X(s) = j-i I X(s)- X(O) = i}
= P{X(t + s)- X(s) = j - i} = (Ai)j-i e-At
I (j-i)!-
V?y qua trlnh Poisson la xich Markov lien t1,1c va thu~n nha't.
Qua trlnh Poisson luon ga:n Ii€n voi qua trlnh dem du'<;1c xay dl,l'ng nhu sau Gia sU' A la bien c6 nao d6. Ky hi~u N(t), t ;::: 0 Ia s6 l~n bien c6 A xua't hi~n trong khoang thoi gian tU' 0 d~n t (k~ ca thoi di~m t). Khi d6 {N(t), t;::: 0} du'<Jc gQi Ia qua trlnh dem.
Chllng h~n, ta c6 nhung vi d1,1 sau v€ qua trlnh dem
A la bi~n c6 khach vao cU'a h~mg nao d6. Khi a'y N(t) Ia s6 khach vao cU'a hang tfnh den thai di~m t.
Ala bien c6 di~n tho~i gQi den tr~m bu'u di~nnao d6. Khi a'y N(t) la s6 l~n gQi den tr~m bu'u di~n tfnh de'n thoi di~m t.
A la bien c6 sinh con trai. Khi a'y N(t) Ia s6 con trai du'<;ic sinh ra tfnh de'n thai di~m t.
Ne'u {N(t), t;::: 0} la qua trlnh d~m, thl N(t) c6 cac tinh cha't sau:
I
(i) N(t) nh?n cac gia tri trong toan b9 z+ va N(O) = 0. (ii) N(s) ::;; N(t) , voi mQi 0::;; s::;; t
(iii) N(s, t] = N(t)- N(s) , 0::;; s < t, la s6 l~n bie'n c6 A xay ra trong khoang thoi gian (s, t].
· Ta gQi {N(s, t], 0 :$; s < t} la qua trlnh di~m (tuong ltng voi qua trlnh de'm {N(t), t ~ 0} ).
Gia sii' qua trlnh de'm {N(t), t ~ 0} thoa man cac gia thie't sau (thuong g~p · trong ltng dl]ng thlfc te')
1. C6 gia scf dQc l~p, tltc la voi mQi 0 :$; t1 < tz < ... < tn cac gia scf N(th tz], N(tz, t3], ... , N(tn-h t0 ] Ia cac bie'n ng~u nhien dQc l~p. N(tz, t3], ... , N(tn-h t0 ] Ia cac bie'n ng~u nhien dQc l~p.
2. C6 gia s6 dli'ng, tac la voi IDQi 0 :$; tl < tz' Vs > 0 cac gia s6N(tl+ s, tz + s],
N(t1. tz] Ia cac bie'n ng~u nhien c6 cling phan ph6i xac sufit.
3. T6n t;;ti h~ng s6 'A> 0 sao cho voi h > 0 kha be thl P{N(h) = 1} = 'Ah + O(h).
4. Voi h > 0 kha be thl P{N(h) ~ 2} = O(h).
Y nghia toan hQc cua nhung giii thie't tren nhu' sau
Pn(t) = P{N(t) = n}, (n = 0, 1, 2, ... ). Ta thfiy p0(h) = P{N(h) = 0} = 1- P{N(h):::: 1}- P{N(h) ~ 2}
= 1 - 'Ah + o(h) (theo gia thie't 3 va 4).
Po(t +h) = P{N(t +h)= 0}
= P{N(t)- N(O) = 0, N(t +h)- N(t) = 0}
= P{N(t) = O}.P{N(t +h)- N(t)= 0} (theo gia thie't 1)
= P{N(t) = O}.P{N(h) = 0} = Po(t)[1 -:- 'Ah + O(h)] Vl the' . Po(t+h1- Po(t) =-ilpo(t)+ 0~)
(theo gia thie't 2) (theo ke't qua tren)
Cho h ~ 0 ta du'Qc Po' (t) =- Ap0(t)
Chu y r~ng p0(0) = 1 ta se suy ra p0(t) = e·A.t , t ~ 0. Tu'dng tl;i ta c6 Pn(t +h)= P{N(t +h)= n} = P{N(t) = n, N(t +h)- N(t) = 0} + + P{N(t) = n- 1, N(t +h)- N(t) = 1} + n + L: P{N(t) = n-k, N(t +h)- N(t) = k} = k=2 = Pn(t) Po(h) + Pn -h(t)pr(h) + O(h)
= (1 - A.h)pn(t) + AhPn-r(t) + O(h)
. Vl the' ~--~~--Pn(t+h)-pn(t)_ ).p () ).p () O(h)
t+ Jf+--
h n n- h
Cho h ~ 0 ta du'Qc Pn'(t) =- A.p0(t) + APn-r(t)
GiiH phu'dng trlnh nay b~ng each quy nc:tp va chu y r~ng.
Pn(O) = 0 , 'v'n ~ 1 ta suy ra
Nhu v~y, qua trlnh de'm {N(t), t ~ 0} voi cac gia thie't da neu (J tren la qua trlnh Poisson.
Ngu'Qc lc:ti, tll' dinh nghia qua trlnh Poisson ta tha'y
P{X(h) = 0} = e·A.h = 1- A.h + o(h) khi h -7 0.
Nhu v~y, qua trlnh Poisson {X(t), t ~ 0} cling Ia qua trlnh d€m thoa man cac gia thi€'t da neu (J tren.