D d~ (n) (0) (I) (n)
1.5.6. Qua trlnh d6i m6'i 1 Djnh nghia
1.5.6.1. Djnh nghia
Cho {N(t), t ;;::: 0} la qua trlnh d€m sef bie'n cef nao d6 xua't hi<%n trong khoang thai gian (O,t] va g<;>i ~n la khoang thoi gian gifi'a l~n xua't hi<%n bi€'n cef
thu n - 1 va l~n xua't hi<%n bie'n c6 thu n (n ;;:;: 1). Ne'u day bi€'n ng~u nhien
{~m n;;:::. 1} la d()c l~p va cling phan phfJi xac sua't nao d6, thl {N(t), t ;;:::_ 0} du'<jc g<;>i Ia m()t qua trlnh d6i moi.
pho'i xac sua't cua n6 la F(t) = P{~1 ~ t}. D6 cfing la phan pho'i xac sua't cua day
{~0}. M6i khi m()t bie'n co' xua't bi~n thl ta n6i rAng m()t lffn d6i mdi da dU'<;jc
thlfc hi~n. Day {~n. n ~ 1} gQi la day thoi gian cho d6i mdi. 1.5.6.2. Phftn pho'i va trung binh ctia N (t)
Ta cffn xac dinh phan ph6i cua N(t). Ta tha'y ro rang Ia N(t) ~ n <=> Sn ~ t.
GQi Fn(t) = P{Sn ~ t} thl phan ph6i nay hoan toan dU'<Jc xac dinh thong qua p~an ph6i F(t) = Pg1 ~ t}, ClJ th~ Fn la tich ch~p n lffn cua F dU'<;jc xac dinh theo tich phan Stieltjes nhU' sau.
Til' d6 suy ra P{N(t) = n}= P{N(t) ~ n}- P{N(t) ~ n + 1} = P{Sn ~ t}- P{Sn+l ~ t}
BAng m()t each khac ta c6 th~ tha'y rAng N(t) = n <=> Sn ~ t < Sn+l
Do d6 P{N(t) = n} = P{Sn ~ t < Sn+d = P{Sn::; t, Sn+l > t}
= P{Sn ::;t}-P{Sn::; t, Sn+l::; t}
Ta xac dinh ham trung blnh. m(t) = IEN(t), thU'ong dU'Qc gQi la ham d6i mdi.
00 00 k
00 00 00 = L L P{N(t) = k} = L P{N(t);?: n} = L L P{N(t) = k} = L P{N(t);?: n} n=l k=n n=l 00 00 = l:P{Sn ~ t} = LFn(t) n=l n=l 00 00
Ho~c lata c6 m(t) = IFl\l(t) = l:nP{N(t) = n} = 2:n[F0(t)- Fn+1(t)]
n=l k=l
00
+ (n- l)[Fn-l(t)- Fn(t)] + n[Fn(t)- Fn+l(t)] + ... = L Fn(t) l
CHU'dNG 2
cAc MO HiNH XiCH MARKOV
2.1. Mo h'inh ki~m ke
Gia sii' phai dtJ tru trong kho m()t lo~i hang nao d6 d~ dap- ung nhu c~u lien tvc cua khach hang. Hang du'c;lc nh~p kho t~i cu6i cac chu ky n = 0, 1, 2, ...
Gia sii' t6ng s6luc;lng hang c~n phai dap ung nhu c~u trong chu ky n la bie'n ng~u nhien ~n c6 phan ph6i d()c l?p voi chu ky thoi gian \in= 0, 1, ... thl
"'
P(~n=k)=ak(k=O, 1,2, ... );ak;;::: 0; :Lak=l (2.1)
k=O
Muc hang dtJ tru du'c;lc ki~m ke t~i m6i chu ky. Cach nh~p hang din cu vao hai chi s6 tieu chuffn s va S (s < S) nhu' sau ne'u d cu6i m6i chu ky lu'c;lng hang dtJ tru nho hon hay bAng s thl ngay tuc khiic phai nh~p hang d~ c6 s6 hang dtJ tru bAng S. Ne'u hang dtJ tru hi~n c610n hon s, thl khong dn nh~p hang.
Ky hi~u Xn la lu'c;lng hang hi~n c6 t~i cu6i chu ky n va tru'oc khi nh~p hang. Cac tr~ng thai cua qua trlnh (Xn) la cac s6 lu'c;lng hang dtJ tru S, S-1, ... , 1, 0, -t', -2, .. trong d6 gia tri am la nhu c~u khong du'c;lc thoa man rna se du'c;lc dap ung ngay sau khi nh~p hang.
s
1 2 3 Chuky
Theo each ki6m ke hang h6a da neu tren, cac roue hang dl;! trfi' t<;J.i hai chu
ky lien tie'p c6 mo'i lien h~ sau
{
Xn- Sn+l Xn+l = S - Sn+l
ne'u s < Xn ~ S ne'u Xn ~ s
Trong d6 Sn la t6ng ht<;1ng hang yeu c~u ciia khach t<;J.i chu ky thu n.
Ne'u ta gia sii' rAng day cac nhu c~u lien tie'p s~. s2, •.• Ia day cac bie'n ng~u nhien d9c l~p c6 cung phan ph6i xac sua't (2.1) thl day cac gia tri dl;! tru Xo, XI> X2, .•• l~p thanh xich Markov voi xa?. sua't chuy6n.
{ . . "} { P{Sn+l = i-j} Pij = P Xn+ 1 = J / Xn = 1 = p {Sn+ 1 = S _ j} ne'u s < i:::; S ne'u i::; s
D6 minh hQa, ta xet mo hlnh ki~m ke ph1,1 tung thay the', trong d6 yeu c~u c6 th6 la 0, 1 ho~c 2 ddn vi ph1,1 rung c~n thay trong m9t chu ky ba't ky, vdi phan ph6i xac sua't thu9c d<;J.ng (2.1) nhu sau
P{sn = 0} = 0,5; P{sn = 1} = 0,4; P{sn = 2} = 0,1; voi mQi n = 0, 1, 2, ... Va gia sii' s = 0, s = 2. Cac gia tri c6 th6 ciia Xn Ia 2, 1, 0, -1.
Ta xet Pw = P{Xn+l = 0 I Xn = 1} khi Xn = 1 thl khong c~n nh~p ph\! tung va tr~ng th<:li tie'p theo la Xn+l = 0 Ut do Sn+l = 1 (xay ra voi xac sua't 0, 4).
Do d6 Pw = 0,4
Bay gio, ne'u Xn = 0 thl phai nh~p phl;l tung ngay cho d~t tdi S = 2 va
tr~ngthai tie'p theo Xn+l = 0 la do Sn+l = 2 (xay ra voi xac sua't 0, 1).
Do d6 P00= 0.
Tie'p tl;lc nh11 the' ta c6 xich Markov voi khong gian tr~ng thai E = {-1, 0, 1, 2}, ta tinh dll'<;Jc P-1-1 = P{Xn+l = - 11 Xn = -1} = P{$} = 0 P -10 = P { Xn+t' = 0 I Xn = -1 } = P { Sn+ 1 = 2} = 0, 1 P.n = P{Xn+l = 11 Xn = -1} = P{Sn+l = 1} = 0,4 P-12 = P{Xn+l = 21 Xn = -1} = P{Sn+l = 0} = 0,5 P2-1 = P{Xn+l = -11 Xn = 2} = P{,$} = 0,0 P2o = P{Xn+l = 0 I Xn = 2} = P{Sn+l = 2} = 0,1 P21 = P{Xn+l = 11 Xn = 2} = P{Sn+l = 1} = 0,4 P22 = P{Xn+l = 21 Xn = 2} = P{Sn+l = 0} = 0,5 Po-l= P{Xn+l = -11 Xn = 0} = P{ $} = 0,0 P0o = 0,1 Po1 = P{Xn+l = 11 Xn = 0} = P{Sn+l = 1} = 0,4 Po2 = P{Xn+l = 2 I Xn = 0} = P{Sn+l = 0} = 0,5 P1-1 = P{Xn+l = -1 I Xn = 1} = P{Sn+l = 2} = 0,1 P10 = 0,4 Pu =P{Xn+i = 1 IXn= 1} =P{Sn+l =0} =0,5 P12 = P{Xn+l = 2 I Xn = 1} = P{Sn+l·= $} = 0,0
Nhu v~y, ta c6 rna tr~n xac sua't chuy€n nhu sau - 1 0 1 2 -1 0,0 0,1 0,4 0,5 lP = 0 0,0 0,1 0,4 0,5 1 0,1 0,4 0,5 0,0 2 0,0 0,1 0,4 0,5
D~t p /n) = P{X n = j} ta thuong quan tam de'n cac d~i lu<;Jng sau
lim L p .(n) ; lim I j.p}n)
n-+oo j<O 1 n-+oo j>O