D d~ (n) (0) (I) (n)
y ngh'ia cua cac d~i lu<;Jng na la
- D~i lu<;Jng thu nha't b~ng lim P{X n < 0} d6 Ia xac sua't khong dap U'ng n~oo
du<;Jc nhu c~u ciia khach hang t~i chu ky n trong tuong lai xa.
- D~i lu<;Jng thu hai b~ng s6 ht<;Jng hang du thua trung blnh t~i chu ky n trong tuong lai xa.
2.2. Mo hinh ph1;t.c V\1 dam dong.
Gia sii' c6 m()t cii'a hang ph\lc V\J. Khach de'n xe'p hang d€ cho ph\lc V\1 va cii'a hang chi phvc vv tung khach m()t. Khi c6 khach thl cii'a hang ph\lc vv ngay, khi khong c6 khach cii'a hang se cho khach de'n d€ phvc vv. Khi cii'a hang dang ph\lc Vl) khach nao d6, thl cac khach. moi c6 th€ toi va ngdi cho. Gia sii' trong m6i chu
ky thai gian, cii'a hang chi phvc vv m()t khach va gia sii' s6 khach de'n cii'a hang trong chu ky thu n Ia bie'n ng~u nhien ~n c6 phan ph6i xac sua't nhu sau
Xac sua't d€ c6 k khach hang toi trong m()t chu Icy cho boi cong thuc ~{~n+l = k} = ak; k = 0, 1, 2, ... ; ak > 0; L:ak = 1
k
Ta giii thie't ding ~I. ~2, ... la cac bie'n ngfiu nhien d<)c l~p. Nhu' v~y (~0) Ia
day cac bie'n ngfiu nhien d<)c l~p cling pharr pho'i. Tn;mg thai cua cli'a hang t~i thoi di~m d~U CUa chu ky la so' khach xe'p hang cho pht;tc Vt;l.
Ne'u hi~n t~i h~ d tr~ng thai i, thi sau m<)t chu ky h~ roi vao tr~ng thai j
~· . { i-1+~
VOl J = ~
ne'u i ~ 1
ne'u i = 0
V oi ~ la bie'n ngftu nhien co pharr pho'i ak d tren.
Ta ky hi~u Xn Ia so' khach t~i thoi di6m xua't phat cua chu ky n. Khi d6,
Xn+I = (Xn - It+ ~n, vOi x+ =max (o, X). Ro rang (X0 ) la xich Markov
thu~n nha't voi khong gian tr~ng thai E = {0, 1, ... , ... } varna tr~n xac sua't chuy6n ao a I a2 a3 a4 ...
ao a I a2 a3 a4 ...
IP= 0 ao a I a2 a3 ...
0 0 ao a1 a2
0 0 0 ao a I ...
Ta chu y dng E~ = L:k.ak la so' trung binh khach toi trong m6i chu ky pht;tc vt;t. Trong mo hinh nay con c6 hai d~i ht<;1ng quan tr<;mg c~n tinh de'n la
- n0 la xac sua't khong c6 khach hang, tuc la ty 1~ thoi gian efta hang khong
c6 khach so voi thoi gian cli'a hang md cil'a.
- Thoi gian trung binh rri<)t khach hang d trong cil'a hang b~ng 2::(1 +k) nk
2.3. Xfch Markov chQ.y lien tie'p
2.3.1. DQ.ng rna tr~n xac sua't chuy€n.
Trong thl)'c hanh ta thuong g~p xich Markov c6 khong gian tr~ng thai la cac
0 1 2 3 4 0 Po qo 0 0 0 0 Po qo 0 0 0 1 P1 rl ql 0 0 2 P2 0 r2 q2 0 IP = 3 PJ 0 0 fJ q3 trong d6 Pi > 0 , qi > 0 , ri :?: 0 , Pi + qi + r i = 1 , ( i = 0, 1, 2, ... ) 2.3.2. Cac vi dq Vidq
Xet cac phep thiY ng~u nhien Bernoulli d()c l~p. Ta ky hi~u 1 Ia thanh cong, 0
Ia tha't b~i va gia thtr P(l) = p, P(O) = q = 1- p.
Ta n6i d.ng c6 r thanh cong lien tie'p t~i phep thiY thll' n, ne'u ke't qua cua
(r + 1) phep thiY lien tie'p tinh tu phep thiY thll' n trC1 v€ truoc c6 d~ng 0 1 ... 1. Ta danh da'u tr~ng thai cua qua trlnh b~ng sef thanh cong lien 'iie'p. D~c bi~t Xn = 0 ne'u phep thiY thll' n tha't b~i. Tuong t\1' khi (r + 1) phep thiY lien tie'p tinh tu phep thiY thll' n trd v€ tru'oc c6 d~ng 01 ... 1 thl Xn = r. Khi d6 ta nh~n du'<Jc xich Markov voi rna tr~n xac sua't chuy~n c6 d~ng tren voi
Pn = P ' fn = 0 , qn = q (n = 0, 1, 2, ... )
Vi dl} Gia sir bong den c6 tu6i thQ la bie'n ng~ u nhien ~ voi phan phefi P(~=k)=ak>O (k=1,2, ... ), ,Lak=l
Bong chay thl thay ngay b9ng moi. Ne'u sfS bong sii' dl!ng Ia n thl thai gian tha:p sang Ia ~1 + ~2 + ... + ~n , trong do ~t. ~2 ... Ia cac bie'n ngftu nhien d(>c l~p co
phan phdi nhu ~· Ky hi~u Xn la tu6i thQ cua bong dang dung t~i thai di~m n. Xem hlnh ve duoi day
Xn
3
2
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 n
Ta quy U'oc X0 = 0. Khi do ta nh~n dU'<Jc xich Markov co rna tr~n xac sua"t d~ng
tren voi
Th~t v~y, Xn = 0 khi t~i n bong chay. Ne'u bong da dung dll'<Jc k thai gian thl xac xua"t d~ n6 chay trong chu ky thai gian tie'p theo la:
k ak+l
P(Xn+l = k + 1 I Xn > ) = _ _ ..:.::..:...:....__
ak+I + ak+2 + ...
2.4. Mo hinh phan ho~ch thi phAn
Gia sir co N ciYa hang cling ban m(>t san phffm nao do. Khach hang c6 th~
mua hang 6 N ciYa hang nay, vi~c hQ chQn ciYa hang nao la tuy theo sCi thich cua h9 va hQ c6 th~ bo cii'a hang nay sang cii'a hang khac vlly do nao d6. Cac . ciYa hang se q.nh tranh d~ loi keo khach hang v~ mlnh.
Bay Hi Xich Markov c6 ~ tr~ng th;:li, xac sua't chuy~n Pu c6 nghia la xac sua't d~ khach hang hi~n t~i dang mua a cira hang i, sau m9t chu ky thai gian khach
chuy~n sang mua hang (j cira hang j . . V di mo hlnh Xich Markov c6
- Khong gian tr~ng thai E = { 1, 2, ... , N} - Ma tr~n xac sua't chuy~n
1 2 2 IP= N 1 P11 PNI 2 PN2