D d~ (n) (0) (I) (n)
th~) c6 phan phffi mfi voi cli&ng d() J.l > 0 Suy ra cac cliong d() sinh va hlly An
Ky hi~u X(t) Ia s6 ca th~ (dan s6) ciia loai t~i thC1i di~m t va gia sa X(O) =no.
v oi h > 0 kha be thl trong khoang thC1i gian (t, t+h) dan s6 ciia loai c6 th~ tang them m()t ca th~, ho~c bot di rn()t ca th~, ho~c giu nguyen. C\1 th~ ta c6
X(t) + 1 , voi xac sua't [9 + X(t)A ]h + o(h) X(t+h)= X(t) - 1 , voi xac sua't X(t)Jlh + o(h)
X(t) , voi xac sua't 1 - [9 - X(t)A + X(t)Jl]h + o(h).
Th~t v~y, gQi T1 la thC1i gian chC1 d~ loai c6 them m()t ca th~, the" thl T1 c6 pJ:lan ph6i mfi voi tham s6 (cu'C1ng d()) 9 + X(t)A, do d6
P{X(t +h)= X(t) + 1 trong khoang (t, t + h} = P{T1 ~ h} = 1-P{T1 > h}
= 1 - e-[e + X(t)A.Jh = [9 + X(t)A]h + o(h).
Tuong t\f d6i voi cac ke"t qua con l~i. Ta hay xac dinh M(t) = IEX(t). Ta c6
IE [X(t +h) I X(t)] = X(t) + [9 +(A- Jl)X(t)]h + o(h), M(t +h)= IE X(t +h)= IE [IEX(t + h)/X(t)]
= M(t) + (A- J.i)M(t)h + 9h + o(h) ,
M(t +h)- M(t) = (A_ J.i)M(t) + 9 + O(h) _
h h
Cho h ~ 0 ta du'Qc phu'ong trlnh vi phan M'(t) =(A- Jl)M(t) + 9 Giai phu'ong trlnh nay voi di~u ki~n ban d~u X(O) =nota du'<;jc
2.8. U ng d\mg ctia qua trlnh d&i m6'i
Vi dl}. 1. Gia sa ta co VO h~n bong den cling lo~i rna tu6i thQ cua chung la .
cac bie'n ng~u nhien doc l?p, co cling phan ph6i xac sua't nao do. Cac bong den du'<Jc sa dl,mg tung chie'c mot va m6i khi bong dang dung bi hong thl ngay l?p tuc dti'<Jc thay b~ng mot bong moi. GQi N(t) la s6 bong den dli<Jc thay moi trong khoang thoi gian (0, t], khi a'y ta du'<Jc {N(t), t ~ 0} la mot qua trlnh d6i moi voi day tu6i thQ cua cac bong den.
Vi dl}. 2. Gia sa co mot may ti~n kim lo~i trong mot phan xlidng. Dao ti~n thu nha't lam vi~c trong thoi gian ~1 thl phiii thay the' b~ng dao ti~n thu hai cling
'
lo~i. Dao ti~n thu hai lam vi~c ~2 thl phai thay the' b~ng dao ti~n thu ba cling
lo~i. Cu tie'p t1,1c nhu v?y ta du<Jc qua trlnh d6i moi {N(t), t ~ 0} vOi N(t) la s6
dao ti~n phai thay moi trong khoang thoi gian (0, t], day thoi gian lam vi~c { ~n. n ~ 1} cua cac dao ti~n la d()c l?p va cling phan ph6i xac sua't.
Xet qua trlnh d6i moi {N(t), t. ~ 0} voi day thoi gian cho d6i moi
Nhli the' s1 = S1 la thoi gian cho xay ra l~n d6i moi d~u tien, hay la thoi gian xay ra l~n d6i moi d~u tien. s2 = ~1 + ~2la thoi gian xay ra l~n d6i moi d~u tien
. .
cong voi thoi gian cho xay ra l~n d6i moi thu hai, hay Ia thoi gian xay ra l~n d6i moi th11 hai. M()t each t6ng quat, Sn Ia thoi gian xay ra l~n d6i moi th11 n, hay
con gQi la thoi gian de'n cua l~n d6i moi thu n.
Nhu' a tren da noi, gQi F(t) = p { S1 ~ t} la ph an ph6i xac sua't cua S1' do ciing la phan ph6i xac sua't cua d~y {Sn. n ·~ 1}. B~ tranh trliong h<Jp t~m
F(O) = P{~n::; 0} = P{~n = 0} < 1.
Tuc Ia ~n khong d6ng nha't b~ng 0 (h~u ch~c ch~n). Khi ffy ta d~t
J.l = IE~n, n ~ 1,
d6 Ia thoi gian cho trung blnh giua hai l~n dcSi moi lien tie'p. Do ~ la bie'n ng~u nhien khong am vi khong d6ng nhfft b~ng 0 (h~u ch~c ch~n) ta suy ra J..L > 0.
Bay gio ia chung to khong th~ xay ra vo h~n l~n dcSi moi trong m()t khoang thoi gian huu h~n, tile la N(t) khong th~ b~ng vo h~n voi gia tri t huu h~n. ~h~t
v~y, ta c6 N(t) = max{n: Sn::; t}
Theo lu~t m~nh s610n thl voi xac sufft 1 ta c6 8n --* J..L khi n--* oo
n
Vl J..L > 0 nen Sn c~n phai tie'n tdi vo h~n khi n --* oo. Do d6 Sn ::;; t chi dung voi nhieu nhfft la m()t s6 huu h~n gia tri rna thoi. Nhu the' thl N(t) phai Ia huu h~n.
Tuy nhien, m~c du N(t) < oo voi m6i t < oo, nhung chung ta l~i c6 voi xac sufft 1 thl N(oo) = lim N(t) = oo
t~oo
Th~t v~y. N(oo) < oo tuong duong voi c6 it nhfft m()t gia tti n ~ 1 nao d6 d€
~n = oo. Vl v~y P{N(oo) < oo} = P { ~n = oo voi it nha't m()t gia tri n nao d6}
CX) Cl()
= P {U(~n = oo} :S U P{~n = oo} = 0
n=l n=l
VI d9 3. Gia sir r~ng ~~ c6 phan ph6i hlnh h<;>c, tuc la
P{~I = k} = p(l- p)k-1' k~1. O<p<l
Ta c6 th€ xem S1 la s6 thi nghi~m c~n thie't d€ c6 m()t thanh cong, cac thi
nghi~m Ia d()c l~p va m6i thi nghi~m c6 xac sua't thanh cong la p (0 < p < 1).
trong d6 thi nghi~m cu6i cling phai la thanh cong, m6i thi nghi~m c~n c6 t = 1 don vi thai gian. N(t) Ia s6 thang cong trong khmlng thai gian (O,t]. Do d6 Sn c6
pharr ph6i nhu' sau.
{
en-! n (1 )k-n k
P{Sn=k}= Ok-J·P -p ' ;:::n
. k< n
Tu day ta du'<;Jc pharr ph6i cua N(t) la [t] P{N(t) = n} = L ck~:pn(l-p)k-n - [t] L ck_ 1pn+ 1 0 _ p )k-n-1 k=n k=n+l
trong d6 [t] Ia ph~n nguyen cua t.
B~ng each quy n~p (theo t) ta d~n de'n pharr ph6i d~ng nhi thuc P[N(t) = n] = q~]Pn(l-p)[t]-n , Vn = 1, 2, ...
Vf dt;~ 4. Ta trd l~i voi qua trlnh Poisson {N(t), t;::: 0} de'm du'<;Jc cac bie'n c6
xua't hi~n trong khoang thai gian (0, t]. Day thai gian cha {sm n;::: 1} la day bie'n ng~u nhien d9c l~p va cling c6 pharr ph6i mfi voi tham s6 A> 0.
Ta bie't r~ng Sn = Sr + S2 + ... + Sn c6 pharr ph6i Gamma voi cac tham s6
n va A.
Nghia Ia Sn c6 m~t d9 va phan ph6i tlidng ling nhU' sau
fn(t) = (At)n-I ll.e-AI
(n -1)!
Do d6 P{N(t) = n} = Fn(t)- Fn+r(t)
,n · ,n+1 - A. 1t n-1 -A.ud A. 1t n -A.ud - A. 1t n-1 -A.ud A. 1t n -A.ud - - - u e u - - . u e u (n-1)! - n! _ An 1t[ n-1 1 •. n] -A.ud - - nu -A.U e u n! -- - u e An n -J.ul 0 t n! _ (AI)n -At - - - e I ' n. t[ 00 (iiu)m l t
=A£ e-A.u L - 1- du=A £ du=At m=O m.
Cac ke't qua nay hoan to~m phu h<;jp voi vil$c qua trlnh ddi moi dang xet chinh Ia qua trlnh Poisson.
Vi dt;I 5. Xet qua trlnh d6i moi {N(t), t;::: 0} c6 ham trung blnh m(t) = 2t. Xac dinh phan pho'i xac sua't cua s61~n ddi moi trong khoang thoi giant= 10. Theo nh~n xet tren ta tha'y F(t) la phan pho'i mii voi trung blnh
11/... = Vz va {N(t), t;::: 0} Ia qua trlnh Poisson voi cuong d() A.= 2. Do d6
P{N(lO) = n} = 20n e-20
n! ,(n=O, 1,2, ... )
Bay giC1 ta gia thie't ham phan ph6i xac sua't F(t) , t;::: 0 la lien tl;lc voi ham m~t d9 tudng rtng f(t) = F'(t). K.hi d6.
m(t) = IEN(t) = IE(IE [N(t) I ~I = x]
Gia sfr ding Sl! d6i moi d~u tien xay ra t(;li thC1i di€m X< t.
Khi !y N(t) = 1 + N(t- x),
IE[N(t) I SI = x] = IE[l+N(t- x) I s1 = x] = 1 +lEN( t- x)
Chu y ding IE [N(t) I s1 = x] = 0 , khi x > t ta dtt<;Jc
m(t) = J~ [1 +m(t- x)]f(x)dx
CHu'dNG 3