4) Thể tích khối lập phương: V = a3
BAØI TẬPI. THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP I. THỂ TÍCH CỦA KHỐI CHĨP
Dạng 1 : Hình chĩp cĩ một cạnh vuơng gĩc với đáy:
Bài 1.1: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B, SA⊥(ABC). Cho AC = a 2, SB = 3a. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC
Bài 1.2: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, SA⊥(ABC), cho AB = a, BC = 3
a . SC tạo với mp(ABC) một gĩc 600. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC.
Bài 1.3: (TN – 2011) Cho hình chĩp SABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Biết SA vuơng gĩc với
mặt phẳng (ABC) và SB = 2a. Tính thể tích khối chĩp S.ABC theo a.
Bài 1.4: (TN – 2012) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật. SA vuơng gĩc với mặt
đáy. Biết AB a= 2,BC a= và · 0
60
SCA= . Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD theo a.
Bài 1.5: (TN – 2013) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại B. AB a= , 2
SB a= và SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC theo a.
Bài 1.6: (TN – 2014) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O và BD=2a. Đường thẳng SA vuơng gĩc với mặt đáy, gĩc giữa đường thẳng SO và mặt phẳng đáy bằng = 600. Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a.
Bài 1.7: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng, cạnh a. SA⊥(ABCD), gĩc giữa SD và (SAB) bằng 300. Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ điểm C đến mp(SBD).
Bài 1.8: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA⊥(ABCD), SC tạo với mp(ABCD) một gĩc 600. Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ D đến mp(SBC).
Bài 1.9: (TN – 2011.THPT) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D với
AD = CD = a , AB = 3a. Cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với đáy một gĩc 450. Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD theo a.
Bài 1.10: (TN – 2009.THPT) Cho hình chĩp S.ABC cĩ mặt bên SBC là ∆ đều cạnh a, cạnh bên SA
vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Biết ·BAC=1200, tính VS.ABC theo a. ĐS: 3 2 36
a V =
Bài 1.11: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA = a và SA vuơng gĩc với mặt
phẳng đáy. Gọi M là trung điểm SD. Tính thể tích khối chĩp M.ACD theo a.
Bài 1.12: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt
phẳng đáy và SA = 6 2
a
. Tính thể tích khối chĩp S.ABC theo a. ĐS:
2
3a 4
V = (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 1.13: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB = a, ·ACB=600, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy và SA = a 3. Gọi M là trung điểm của cạnh SB. Tính thể tích khối
chĩp M.ABC theo a. ĐS: 3 . a 12 M ABC V =
Bài 1.14: (TN – 2009) Cho hình chĩp S.ABC cĩ mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, biết ·BAC =1200, tính thể tích khối chĩp S.ABC theo a.
Bài 1.15: (CĐ – 2008 ) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thang, · · 0
90
BAD= ABC= , AB = BC = a, AD =2a , SA⊥(ABCD), SA = 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, SD. Chứng minh BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chĩp S.BCMN theo a. ĐS:
3
3
a V =
Bài 1.16: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuơng tâm O, SA (⊥ ABCD). Cho AB = a, 2
SA a= . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên SB, SD. Chứng minh SC⊥(AHK) và tính thể tích của khới chóp OAHK
Bài 1.17: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O; SA = SB = SC = SD. Biết AB
= 3a, BC = 4a và gĩc SAO· =450. Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD theo a.
Bài 1.18: Cho khới chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuơng tại B. Biết SA vuơng góc với đáy
Bài 1.19: (D – 2010) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, cạnh bên SA = a; hình
chiếu vuơng góc của đỉnh S trên (ABCD) là điểm H thuợc đoạn AC, AC = 4AH. Gọi CM là đường cao của tam giác SAC. Chứng minh M là trung điểm của SA và tính thể tích khới tứ diện SMBC theo a.
Bài 1.20: (A – 2010) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Gọi M và N lần lượt
là trung điểm AB và AD; H là giao điểm của CN và DM. Biết SH vuơng gĩc với mp (ABCD) và SH = 3 a . Tính thể tích khối chĩp S.CDNM theo a. ĐS: 3 5 3 24 a V =
Bài 1.21: (D – 2007) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình thang, · · 0
90
ABC=BAD= , BA = BC = a, AD = 2a. Cạnh bên SA ⊥ với đáy và SA = a 2 . Gọi H là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SB. Chứng minh ∆SCD vuơng và tính (theo a) khoảng cách từ H đến mp(SCD). ĐS: d( H, (SCD) =
3
a
Bài 1.22: (ĐH khới B – 2006) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật với AB = a, AD
= a 2 , SA = a và SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC; I là giao điểm của BM và AC. Tính thể tích của khối tứ diện ANIB. ĐS:
3
2 36
a
V =
Bài 1.23: (ĐH khới D – 2006) Cho hình chĩp tam giác S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác đều cạnh a, SA = (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
2a và SA vuơng gĩc với mặt phẳng (ABC). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích của khối chĩp A.BCNM. ĐS: 3 3 3
50
a V =
Bài 1.24: Cho hình chữ nhật ABCD cĩ AD = 6 và AC=4 3. Lấy điểm M trên cạnh AB sao cho MB = 2MA và N là trung điểm của AD. Trên đường thẳng vuơng gĩc với mp(ABCD) tại M lấy điểm S sao cho SB= 5. Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD.
Bài 1.25: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh 7cm, SA ⊥ (ABCD), SB = 7 3
cm. Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD.
Bài 1.26: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng tâm O, SA ⊥ (ABCD). AB = a,
2
a
SA= . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuơng gĩc của A trên SB, SD. Chứng minh SC ⊥ (AHK) và
tính thể tích của tứ diện OAHK. ĐS: 2 3
27
a V =
Bài 1.27: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuơng
gĩc với đáy và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC. Tính thể tích của khối chĩp M.ABC.
Bài 1.28: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác cân tại A, SA⊥(ABC), cho BC = 2a, SB = a 3 . Mặt phẳng (SBC) tạo với mặt phẳng (ABC) một gĩc 300. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC
Bài 1.29: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA ⊥ (ABCD), gĩc giữa mặt
phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 60 . Tính thể tích khối chĩp S.ABCD theo a.0
Bài 1.30: (CĐ – 2011) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là ∆ vuơng tại B, AB = a, SA ⊥ (ABC), gĩc
giữa (SBC) và (ABC) bằng 30 . Gọi M là trung điểm SC. Tính thể tích của khối chĩp S.ABM theo a. 0
Bài 1.31: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với mặt đáy, gĩc
tạo bởi (SCD) và (SBC) là 0
120 . Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AD.
Bài 1.32: (A – 2012) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuơng gĩc của S
trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Gĩc giữa đường thẳng SC và mp (ABC) bằng 600. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC theo a. ĐS: 3 7
12 =a
Bài 1.33: (B – 2012) Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chiếu
vuơng gĩc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuơng gĩc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của khối
chĩp S.ABH theo a. ĐS: 7 11 3
96 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
= a
V
Bài 1.34: (D – 2013) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuơng gĩc với
đáy, ·BAD=1200, M là trung điểm của cạnh BC và SMA· =450. Tính theo a thể tích của khới chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SBC). ĐS:
34 4 a V = , 6 4 a d =
Bài 1.35: (A – 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuơng cạnh a, 3
2
a
SD= , hình chiếu vuơng gĩc của S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm cạnh AB. Tính theo a thể tích của khới chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SBD). ĐS: 3 3 a V = , 2 3 a d =
Bài 1.36: (CĐ – 2014) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuơng cạnh a, SA vuơng gĩc với đáy, SC
tạo với đáy một gĩc bằng 450. Tính theo a thể tích của khới chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm B
đến mặt phẳng (SCD). ĐS: 3 2 3 a V = , 6 3 a d =
Dạng 2 : Hình chĩp cĩ hai mặt vuơng gĩc với đáy
Hai mặt phẳng cắt nhau cùng vuơng gĩc với mặt phẳng thứ 3 thì giao tuyến của chúng vuơng gĩc
với mặt phẳng thứ 3: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) P P d P d α β α β ⊥ ⊥ ⇒ ⊥ ∩ =
Bài 2.1: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, hai mặt bên (SAB) và (SAD)
cùng vuơng gĩc với mặt đáy (ABCD). Cho SB = 3a. Gọi M là trung điểm của CD. Tính thể tích của
khối chĩp S.ABCM. ĐS: 3 2 2 a V =
Bài 2.2: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình chữ nhật, các mặt bên (SAB) và (SAD) cùng
vuơng gĩc với mặt đáy (ABCD), cho AB = a, AD = 2a, SC tạo với mặt đáy (ABCD) một gĩc 450. Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD theo a. ĐS: 2 3 5
3
a V =
Bài 2.3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D; AD = DC = a, AB = 2a.
Biết (SAB) và (SAD ) cùng vuơng góc với mặt phẳng (ABCD), SC tạo với đáy (ABCD) một gĩc 600. Gọi I là trung điểm của SB. Tính thể tích của khới chóp S.ABCD theo a. ĐS: 3 6
2
a V =
Bài 2.4: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình thoi, hai đường chéo AC=2 3a, BD=2a cắt nhau tại O, hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuơng gĩc với mặt phẳng (ABCD). Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bằng 3
4
Bài 2.5: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A. Hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) cùng vuơng gĩc với mặt đáy (ABC), cho BC = a 2, mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABC) một gĩc 600. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 2.6: Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, các mặt (SAC) và (SBD) cùng
vuơng gĩc với mặt đáy (ABCD), mặt bên (SCD) tạo với đáy một gĩc 600. Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD theo a.
Bài 2.7: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng cân tại A. Hai mặt phẳng (SAB) và
(SAC) cùng vuơng gĩc với mặt đáy (ABC), cho BC = a 2 , mặt bên (SBC) tạo với đáy (ABC) một gĩc 600. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ A đến mp (SBC).
Bài 2.8: (ĐH khới A – 2009) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuơng tại A và D; AB
= AD = 2a, CD = a; góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) bằng 0
60 . Gọi I là trung điểm của cạnh AD. Biết hai mặt phẳng (SBI) và (SCI ) cùng vuơng góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích của khới
chóp S.ABCD theo a. ĐS: 3 15 3
5
a V =
Dạng 3 : Hình chĩp cĩ một mặt vuơng gĩc với đáy:
Cĩ hai mặt phẳng vuơng gĩc, đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuơng gĩc với giao tuyến, cũng vuơng gĩc với mặt phẳng kia
Bài 3.1: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, AB = a, AC = a 3. Mặt bên (SBC) là tam giác đều và vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chĩp S.ABC theo a.
Bài 3.2: Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại A, cho AB = a, AC = 2a, mặt bên
SBC là tam giác đều và vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC
Bài 3.3: (CĐ – 2010) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh a, mặt phẳng (SAB)
vuơng gĩc với mặt phẳng đáy, SA = SB, gĩc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng đáy bằng 450. Tính
theo a thể tích của khối chĩp. ĐS:
3
5 6
a V =
Bài 3.4: (B – 2008) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy ABCD là hình vuơng cạnh 2a, SA = a, SB = a 3 và mặt phẳng (SAB) vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chĩp S.BMDN. ĐS:
3 3
3
a V =
Bài 3.5: (ĐH khối D – 2011) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy ABC là tam giác vuơng tại B, BA = 3a, BC
= 4a ; mặt phẳng (SBC) vuơng gĩc với mp(ABC). Biết SB=2a 3 và SBC· =300. Tính thể tích của khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a. ĐS: 3
2 3 V = a , 6 7 7 a d =
Bài 3.6: (A – 2007) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuơng gĩc với BP và tính thể tích CMNP. ĐS: (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
3 3
96
a V =
Bài 3.7: (A – 2013) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng tại A, ·ABC=300, SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên (SBC) vuơng gĩc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB). ĐS: 3 16 a V = , 39 13 a d =
Bài 3.8: (B – 2013) Cho hình chĩp S.ABCD cĩ đáy là hình vuơng cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều
và nằm trong mặt phẳng vuơng gĩc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD). ĐS: 3 3 6 a V = , 21 7 a d =
Bài 3.9: (D – 2014) Cho hình chĩp S.ABC cĩ đáy là tam giác vuơng cân tại A, mặt bên SBC là tam giác
đều cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuơng gĩc với mặt đáy. Tính theo a thể tích của khối chĩp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC. ĐS: 3 3
24 a V = , 3 4 a d = Dạng 4 : Hình chĩp đều
Bài 4.1:Tính thể tích của khối chĩp tam giác đều S.ABC biết
a) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2 3
a
b) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một gĩc 600
Bài 4.2: Tính thể tích của khối chĩp tứ giác đều S.ABCD, biết
a) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a
b) Cạnh đáy bằng a, cạnh bên hợp với đáy một gĩc 450
Bài 4.3: Tính thể tích của khối tứ diện đều ABCD cĩ cạnh bằng a. Bài 4.4: Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ cạnh bên bằng 5
2
a , gĩc giữa mặt bên và mặt đáy bằng
600. Tính thể tích của khối chĩp S.ABCD theo a.
Bài 4.5: Cho hình chĩp đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a, gĩc· 0
60
BSA= , I∈BC và IB = 2IC. Tính thể tích của khối chĩp SABC và S.ABI.
Bài 4.6: (TN – 2008) Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I
là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích của khối chĩp S.ABI theo a
Bài 4.7: (CĐ – 2009) Cho hình chĩp tứ giác đều S.ABCD cĩ AB = a, SA = a 2. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN vuơng gĩc với đường thẳng SP. Tính theo a thể tích của khối tứ diện AMNP.
Bài 4.8: (ĐH khới B – 2007) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuơng cạnh a. Gọi E là
điểm đới xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh MN ⊥BD và tính theo a khoảng cách giữa MN và AC. ĐS: d(MN, AC) = 2
4
a (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Bài 4.9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuơng cạnh a. Đỉnh S cách đều A, B, C và SA
tạo với (ABCD) mợt góc 600. Tính thể tích của khới chóp S.ABCD.
Bài 4.10: (Đề TN – 2008) Cho hình chĩp tam giác đều S.ABC cĩ cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a.
Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối chĩp S.ABI theo a.