4. Nội dung nghiên cứu (Results)
4.5.Xác định các tham số trong mô hình:
Đầu tiên hệ số β sẽ được ước lượng trước, và việc xác định β không quan trọng bởi vì lựa chọn nó như thế nào không tác động lớn đến đường cong độ bất ổn. Sau khi ước lượng β chúng ta có 2 cách để ước lượng các tham số còn lại:
Ước lượng α, ρ và υ trực tiếp hay
Ước lượng ρ,υ trực tiếp và suy ra α từ ρ,υ dựa vào độ bất ổn ngang giá σATM
Cách xác định tham số β:
Từ phương trình độ bất ổn của quyền chọn ngang giá σATM ở trên, lấy ln 2 vế ta được như sau:
ln𝝇𝑨𝑻𝑴 ≈ ln𝜶- (1-β)ln 𝒇
Ta thấy β có thể được ước lượng bằng một hàm hồi quy tuyến tính với chuỗi số liệu log của σATM và log của giá giao sau. Mặt khác β có thể được chọn dựa vào niềm tin của người sử dụng là mô hình sẽ phân phối theo xác suất nào : dạng chuẩn, dạng chuẩn log hay dạng CIR. Thực tế việc giá trị của β là bao nhiêu tác động khá ít tới hình dạng của đường cong độ bất ổn khi định giá bằng mô hình SABR. Tuy
nhiên việc lựa chọn này có thể tác động tới các giá trị tính toán rủi ro. Nhưng theo một bài nghiên cứu của Bartlett năm 2006 thì nó cũng tác động rất ít đến các giá trị này.
* Ƣớc lƣợng theo cách 1:
Sau khi β được chọn, chúng ta còn lại là υ,α và ρ. Ở cách này với lần lượt các giá trị của 3 tham số này ta sẽ xác định được các giá trị của σB khi 𝑓 và K thay đổi. Từ giá trị độ bất ổn của thị trường ứng với các K va f thay đổi này ta sẽ tìm ra trung bình của hiệu các giá trị này. Sau đó ta sẽ chọn 3 giá trị này ứng với mức trung bình nhỏ nhất. Phương pháp được diễn giãi dưới dạng công thức như sau:
(𝜶 , 𝝆 , 𝒗 ) = arg min {𝝇𝒊𝒎𝒌𝒕− 𝝇𝑩(𝒇𝒊, 𝑲𝒊, 𝜶, 𝝆, 𝒗)}𝟐 𝒊
* Ƣớc lƣợng theo cách 2:
Vì việc xác định các giá trị này bằng cách trực tiếp sẽ mất rất nhiều thời gian và công sức, cho nên ta sẽ giảm số lượng tham số thử bằng cách trực tiếp này còn 2 bằng cách ước lượng α trực tiếp từ phương trình của σATM. Tham số α sẽ là nghiệm của phương trình bậc ba như sau:
[(𝟏−𝜷) 𝟐𝑻 𝟐𝟒 𝒇𝟐−𝟐𝜷]𝜶𝟑+ [𝝆𝜷𝒗𝑻 𝟒𝒇𝟏−𝜷]𝜶𝟐 + [1+ 𝟐−𝟑𝝆 𝟐 𝟐𝟒 𝒗𝟐T]α -𝝇𝑨𝑻𝑴𝒇𝟏−𝜷 = 0
Phương trình này có thể có hơn 1 nghiệm thực và ta sẽ chọn nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình này. Làm tương tự như các bước của cách một ta sẽ tìm ra được giá trị của ρ và υ ứng với SSE nhỏ nhất:
(𝜶 , 𝝆 , 𝒗 ) = arg min {𝝇𝒊𝒎𝒌𝒕− 𝝇𝑩(𝒇𝒊, 𝑲𝒊, 𝜶(𝝆, 𝒗), 𝝆, 𝒗)}𝟐 𝒊