4. Nội dung nghiên cứu (Results)
4.2. Mơ hình Black-Scholes
Xem xét một quyền chọn châu âu trên tài sản A với ngày thực hiện tex, ngày thanh toán tset, và giá thực hiện K. Nếu người nắm giữ thực hiện quyền chọn ngày tex, sau đó ngày thanh tốn tset, anh ấy nhận được tài sản A và trả ở mức giá K. Để nhận giá trị của quyền chọn, gọi 𝐹 (𝑡) là giá tương lai của tài sản trong hợp đồng kì hạn tại thời điểm t, mà có thời gian đáo hạn ở ngày thanh toán,và định nghĩa ƒ=
F^(0) là giá kỳ hạn ở ngày hôm nay. Lấy D(t) là giá trị các yếu tô chiết khấu từ thời gian t, D(t) là giá trị ngày hôm nay của 1 đơla được nhận ở ngày t. Ta có:
𝑽𝒄𝒂𝒍𝒍 =𝑫 𝒕𝒔𝒆𝒕 𝑬 𝑭 𝒕𝒆𝒙 − 𝑲 + 𝝃𝟎 4.2.1a
Và giá trị tương ứng của quyền chọn bán châu âu là:
𝑽𝒑𝒖𝒕 =𝑫 𝒕𝒔𝒆𝒕 𝑬 𝑲 − 𝑭 𝒕𝒆𝒙 + 𝝃𝟎 = 𝑽𝒄𝒂𝒍𝒍 + 𝑫 𝒕𝒔𝒆𝒕 [K – f] 4.2.1b
Ở đây E là giá trị kỳ vọng, và 𝜉0 có thể được giải thích như “ nhận tất cả các thông tin xuất hiện ở thời điểm t = 0”. Giá trị tương lai 𝐹 (𝑡) là một giá trị không thể dự đốn được. Do đó, ta có:
d𝑭= C(t,*)dW, 𝑭 (𝟎) = f 4.2.1c
Trong đó dW là chuyển động Brow, hệ số C(t,*) là hệ số ngẫu nhiên, và có thể dựa vào bất cứ thơng tin nào mà có thể được phân tích ở thời gian t.
Chúng ta cần một cái mơ hình cho hệ số C(t.*) . Trong Black cho rằng hệ số C(t,*) là 𝜎𝐵𝐹 (𝑡) trong đó độ bất ổn 𝜎𝐵 là cố định. Do đó giá kỳ hạn 𝐹 (𝑡) là quá
trình hình học Brown sau:
d𝑭= 𝝇𝑩𝑭 (𝒕)dW, 𝑭 (𝟎) = f 4.2.2
Ước lượng giá trị kì vọng trong 4.2.1a , 4.2.1b dưới mơ hình này sau đó Black – Scholes đưa ra được kết quả như sau:
𝑽𝒄𝒂𝒍𝒍= 𝑫 𝒕𝒔𝒆𝒕 {𝒇𝑵 𝒅𝟏 − 𝑲𝑵 𝒅𝟐 }, 4.2.3a 𝑽𝒑𝒖𝒕= 𝑽𝒄𝒂𝒍𝒍 + 𝑫 𝒕𝒔𝒆𝒕 [K – f], 4.2.3b Trong đó: 𝒅𝟏,𝟐 = 𝒍𝒐𝒈𝒇 𝑲 ±𝟏𝟐𝝇𝑩𝟐𝒕𝒆𝒙 𝝇𝑩 𝒕𝒆𝒙 4.2.3c
Tuy nhiên, mơ hình này lại định ra một mức giá khác, đôi lúc là rất khác so với các quyền chọn thực tế được giao dịch từ trước đến nay. Có người cho rằng mơ hình Black – Scholes thể hiện giá trị thực của quyền chọn và họ sẽ quản lý rủi ro, hay thậm chí là đầu cơ trên cơ sở này. Ví dụ khi họ định ra mức giá bằng mơ hình
Black – Scholes thấp hơn với mức giá được giao dịch, họ cho rằng quyền chọn đang được định giá cao và họ sẽ bán quyền chọn. Tuy nhiên riêng tôi lại không đồng ý vậy, liệu rằng các quyền chọn được định giá sai khi mà tất cả các quyền chọn này đã được giao dich từ rất lâu đời và giá cả nó đang thể hiện đó bao gồm tất cả các hành vi tâm lý và các giá trị xứng đáng của nó, quan trọng là tất cả đều coi rằng đó là một mức giá hợp lý cho cả người mua và người bán.
Xem kỹ lại mơ hình thì ta thấy rằng, tất cả các hệ số trong mơ hình Black rất hợp lý, trừ độ bất ổn 𝜎𝐵 . Độ bất ổn hàm ý của một quyền chọn là giá trị của 𝜎𝐵 mà khi thế vào sử dụng trong mơ hình Black thì giá của mơ hình bằng với giá thực tế của quyền chọn. Vì giá quyền chọn mua (hoặc bán) trong mơ hình 4.2.3a – 4.2.3c tăng theo cơng thưc của 𝜎𝐵, độ bất ổn hàm ý bởi giá thị trường của quyền chọn là duy nhất. Thực vậy, trong nhiều thị trường nó là tiêu chuẩn áp dụng định giá trong giới hạn độ bất ổn hàm ý .
Thêm vào đóa nữa là mơ hình gốc của Black cho rằng độ bất ổn 𝜎𝐵 là cố định cho mỗi tài sản cơ sở. Tuy nhiên, độ bất ổn hàm ý cần phải phù hợp với giá thị trường gần như luôn thay đổi với cả giá thực hiện K và thời gian thực hiện tex. Hình 4.2. Thay đổi độ bất ổn 𝜎𝐵 có nghĩa là một mơ hình khác được sử dụng cho tài sản cơ sở với mỗi K và tex.
Vấn đề đầu tiên là việc định giá.Giả sử ta cần định giá hai quyền chọn mua với giá thực hiện K1 và K2 (K2< K1). Chúng ta nên sử dụng độ bất ổn hàm ý ở giá thực hiện K1 của quyền chọn mua, hay ở K2 hay một kết hợp giữa 2 sự lựa chọn này cho mơ hình Black – Scholes? Rõ ràng, quyền chọn này không thể được định giá mà khơng có một mơ hình nhất qn sử dụng tất cả các giá mà khơng điều chỉnh.
Hình 4.2: Độ bất ổn hàm ý 𝝇𝑩 (K) như một hàm của giá thực hiện K cho quyền chọn châu âu 1, 3, 6 và 12 tháng trên tài sản cơ sở với mức giá tương lai 100.
Vấn đề thứ 2 là QTRR, vì mơ hình này khơng sử dụng cho những mức giá thực hiện khác nhau, cho nên ta không biết rằng rủi ro delta và vega tính tốn dựa vào độ bất ổn hàm ý ở một mức giá thực hiện nào là phù hợp và liệu những rủi ro này có giống nhau khi ở mức giá thực hiện khác theo tính tốn của Black – Scholes? Câu hỏi này rất quan trọng vì nó ảnh hường đến sự quản lý rủi ro. Tóm lại, rõ ràng rằng mơ hình Black - Scholes không thể trả lời những câu hỏi này khi mà nó làmột mơ hình khơng làm việc với tất cả các giá thực hiện K.
Vấn đề thứ 3 liên quan tới đường cong độ bất ổn hàm ý 𝜎𝐵 (K). Nhìn vào đồ thị dường như ta thấy độ bất ổn hàm ý 𝜎𝐵dựa trên giá thực hiện K. và giá kì hạn ƒ:
𝜎𝐵 = 𝜎𝐵(𝑓, 𝐾).