4. Nội dung nghiên cứu (Results)
4.3. Mơ hình độ bất ổn cục bộ
Giải pháp rõ ràng hợp lý để giải quyết những vấn đề này được cung cấp bởi mơ hình độ bất ổn cục bộ của Dupire và Derman. Dupire nhấn mạnh rằng Black đã quá sơ xài khi cho C(t,*) là 𝜎𝐵𝐹 . Thay vào đó nên là giả định C là một dạng công
thức Markovian: C = C(t,𝐹 ). Ông ta viết lại C = C(t,𝐹 ) là: 𝜎𝑙𝑜𝑐(t,𝐹 )𝐹 , sau đó đã hình thành mơ hình độ bất ổn cục bộ là:
d𝑭= 𝝇𝒍𝒐𝒄(t,𝑭)𝑭dW, 𝑭(0) = f, 4.3.1a
Dupire tranh luận rằng thay vì theo lý thuyết về hàm độ bất ổn cục bộ là khơng biết , thì ta nên tìm 𝜎𝑙𝑜𝑐(t,𝐹 )trực tiếp từ thị trường bằng cách lấy cho mơ hình ngồi thị trường quyền chọn châu âu.
Trong việc lấy mẫu, chúng bắt đầu với một hàm độ bất ổn cục bộ được nhận và ước lượng
𝑽𝒄𝒂𝒍𝒍 =𝑫 𝒕𝒔𝒆𝒕 𝑬 𝑭 𝒕𝒆𝒙 − 𝑲 + 𝑭 𝟎 = 𝐟, 4.3.1b
= 𝑽𝒑𝒖𝒕 + 𝑫 𝒕𝒔𝒆𝒕 [K – f] 4.3.1c
để thu được giá trị lý thuyết của quyền chọn, sau đó dùng chúng biến đổi hàm độ bất ổn cục bộ 𝜎𝑙𝑜𝑐(t,𝐹 ) , bởi vì giá lý thuyết này phù hợp với giá thực tế thị trường của quyền chọn cho mỗi giá thực hiên K và ngày thực hiện tex. Trong thực tế thướng tồn tại một quyền chọn với những ngày thực hiện 𝑡𝑒𝑥1 , 𝑡𝑒𝑥2 , 𝑡𝑒𝑥3 …, ví dụ quyền chọn 1 tháng,2 tháng..6 tháng và 12 tháng từ ngày hôm nay. Thông thường độ bất ổn ngẫu nhiên = 𝜎𝑙𝑜𝑐(t,𝐹 ) được lấy từng mẫu cố định trong từng thời gian:
𝝇𝒍𝒐𝒄(t,𝑭) = 𝝇𝒍𝒐𝒄(𝟏)(𝑭) với t <𝒕𝒆𝒙𝟏 ,
𝝇𝒍𝒐𝒄(t,𝑭) = 𝝇𝒍𝒐𝒄(𝒋)(𝑭) với 𝒕𝒆𝒙𝒋−𝟏< t <𝒕𝒆𝒙𝒋 j=2, 3, …, j 4.3.2
𝝇𝒍𝒐𝒄(t,𝑭) = 𝝇𝒍𝒐𝒄(𝑱)(𝑭) với t >𝒕𝒆𝒙𝑱
Đầu tiên lấy mẫu 𝜎𝑙𝑜𝑐(1)(𝐹 ) để đưa ra lại những mức giá quyền chọn ở 𝑡𝑒𝑥1 cho tất cả các giá thực hiện, sau đó lấy mẫu 𝜎𝑙𝑜𝑐(2)(𝐹 ) để tạo ra những mức giá ở 𝑡𝑒𝑥2 cho tất cả các giá K và vân vân. Quá trình lấy mẫu này có thể được đơn giản bằng cách sử dụng kết quả trong bài nghiên cứu của Hagan, Woodward và Lesniewski năm 1999. Ở đó chúng giải quyết để nhận được giá của quyền chọn châu âu dưới mơ
hình độ bất ổn cục bộ 4.3.1a-4.3.1c, và từ những mức giá này chúng ta sẽ thu được những công thức đại số cho độ bất ổn cục bộ hàm ý của mơ hình độ bất ổn cục bộ.
Một khi 𝜎𝑙𝑜𝑐(t,𝐹 )thu được bằng cách lấy mẫu, mơ hình độ bất ổn local là đồng nhất và mơ phỏng tương đối chính xác giá quyền chọn ở thị trường với tất cả các giá K và ngày tới hạn mà không điều chỉnh. Giá của của một quyền chọn giở có thể được tính tốn từ mơ hình này mà khơng có sự mơ hồ, khơng chắc chắn. Mơ hình này đưa ra rủi ro delta và vega ổn định cho tất cả các quyền chọn, nên rủi ro này có thể QTRR tại mức giá thực hiện. Cuối cùng, biến đơng ƒ và tính tốn lại giá của quyền chọn cho phép mơ hình này xác định độ bất ổn hàm ý thay đổi như thế nào với nhứng thay đổi của giá tài sản cơ sở. Vì vậy, mơ hình độ bất ổn cục bộ cung cấp một công cụ định giá và QTRR , trong sự tồn tại của smile và skew thị trường.Nó có lẽ là cách phổ biến nhất quản trị các rủi ro cổ phiếu và quyền chọn ngoại hối. Đáng tiếc , mơ hình này dự đốn sai sự vận động của đường cong độ bất ổn hàm ý, mà dẫn tới sự khơng tính xác và tính chắc chắn của việc QTRR dựa vào mơ hình.
Để minh họa vấn đề này, xem như trường hợp đặc biệt mà mơ hình này chỉ là một hàm của 𝐹 :
d𝑭= 𝝇𝒍𝒐𝒄(t,𝑭)𝑭dW, 𝑭(0) = f 4.3.3
Trong bài nghiên cứu của Hagan, Woodward và Lesniewski, kĩ thuật singular perturbation được sử dụng để phân tích mơ hình này. Trong đó các nhà nghiên cứu đã sử dụng mơ hình Black 4.2.3a-4.2.3c để tìm ra giá của quyền chọn châu âu với độ lệch chuẩn hàm ý
𝝇𝑩 𝑲, 𝒇 = 𝝇𝒍𝒐𝒄(𝟏
𝟐 𝒇 + 𝑲 ){ 1+ 𝟏
𝟐𝟒 * 𝝇𝒍𝒐𝒄
′′ (𝟏𝟐 𝒇+𝑲 )
𝝇𝒍𝒐𝒄(𝟏𝟐 𝒇+𝑲 )(𝒇 − 𝑲)𝟐 + … 4.3.4
Trạng thái của mơ hình độ bất ổn cục bộ có thể lớn hơn suy nghĩ bằng sự kiểm tra thời kì đầu tiên ở 4.3.4. Độ bất ổn dựa vào cả giá K và giá tương lai hiện tại ƒ. Nên giả thiết rằng hôm nay giá tương lai là ƒ0 và đường cong độ bất ổn hàm ý
thấy trong thị trường là 𝜎𝐵0(K) . Chọn mẫu cho mơ hình từ thị trường rõ rằng yêu cầu chọn độ bất ổn cục bộ là:
𝝇𝒍𝒐𝒄(𝑭) = 𝝇𝑩𝟎(2𝑭 - 𝒇𝟎) {1+…} 4.3.5
Bây giờ mơ hình đã được lấy mẫu, chúng ta sẽ dự đốn của nó. Giá sử rằng giá trị tương lai thay đổi từ ƒ0 tăng tới ƒ, đường cong độ bất ổn hàm ý di chuyển từ bên trái, nếu ƒ0 giảm tói ƒ, đường cong sẽ di chuyển bên phải. Mơ hình độ lệch chuẩn local dự đốn rằng smile/skews di chuyển ngược hướng với giá kì hạn của tài sản cơ sở. Đây là sự trái ngược với hành vi thông thường của thị trường, khi mà smile và skew di chuyển cùng hương với giá tài sản.
Để giải thích vấn đề này cụ thể, giả định rằng độ lệch chuẩn hàm ý ngày hôm nay là một đường cong smile phản ánh đúng thị trường:
𝝇𝑩𝟎 𝑲 = α + β [𝑲 − 𝒇𝟎]𝟐 4.3.6a
Giá tương lai của ngày hơm nay là ƒ0. Sau đó phương trình 2.8 hàm ý rằng độ bất ổn cục bộ là
𝝇𝒍𝒐𝒄(𝑭) = α + 3β [𝑭 − 𝒇𝟎]𝟐+ …. 4.3.6b
Vì giá tương lai ƒ mở rộng ra xa ƒ0 do sự giao động lên xuống bình thường của thị trường, phương trình 2.8 dự đốn rằng độ bất ổn hàm ý là:
𝝇𝑩 𝑲, 𝒇 = α + β [𝑲 − (𝟑
𝟐𝒇𝟎−𝟏
𝟐𝒇)]𝟐+𝟑
𝟒𝛃 [𝒇 − 𝒇𝟎]𝟐 + … 4.3.6c
Đường cong độ bất ổn hàm ý khơng chỉ di chuyển ngược với giá cả mà cịn di chuyển lên bất chấp ƒ tăng hay giảm. những kết quả chính xác được minh họa trong hình 4.2.1 – 4.2.3, ở đó chúng ta giả thiết rằng độ bất ổn local 𝜎𝑙𝑜𝑐(𝐹 ) được nhận bởi 4.3.6b, và sử dụng phương pháp khác nhau để nhận được giá trị chính xác cho giá quyền chọn, và độ bất ổn hàm ý.
Những cơng cụ rủi ro được tính tốn từ mơ hình này là sai. Để thấy điều này, ta có cơng thức quyền chọn mua của Black BS (𝑓, K, 𝜎𝐵, 𝑡𝑒𝑥). Do vậy ta gọi giá trị của quyền chọn mua được nhận bởi công thức Black dưới mơ hình độ lệch chuẩn cục bộ là:
𝑽𝒄𝒂𝒍𝒍 = BS (𝒇, K, 𝝇𝑩(𝑲, 𝒇), 𝒕𝒆𝒙) 4.3.7a
Với độ bất ổn 𝜎𝐵(𝐾, 𝑓) nhận từ 2.8. Lấy vi phân theo ƒ ta được Δ rủi ro
Δ=𝝏𝑽𝒄𝒂𝒍𝒍 𝝏𝒇 = 𝝏𝑩𝑺 𝝏𝒇 + 𝝏𝑩𝑺 𝝏𝝇𝑩 * 𝝏𝝇𝑩(𝑲,𝒇) 𝝏𝒇 4.3.7b Hình 4.3: Độ bất ổn hàm ý chính xác 𝝇𝑩(𝑲, 𝒇𝟎) (đƣờng liền nét) nhận đƣợc từ độ bất ổn local 𝝇𝒍𝒐𝒄(𝑭) (nét đứt)
Hình 4.4: Độ bất ổn hàm ý 𝝇𝑩(K, 𝒇) nếu giá tương lai giảm từ ƒ0 tới ƒ(đương liền nét)
Độ bất ổn hàm ý 𝜎𝐵(𝐾, 𝑓) nếu giá tương lai giảm từ ƒ0 tới ƒ(đường liền nét) được dự đốn bởi mơ hình độ bất ổn cục bộ. Cụm công thức đầu tiên rõ ràng là rủi ro Δ được tính từ mơ hình Black sử dụng độ bất ổn hàm ý từ thị trường. Còn thứ 2 là sự chính xác của mơ hình độ bất ổn cục bộ tới rủi ro Δ, mà bao gồm rủi ro vega Black tăng gấp bội bới sự thay đổi dự đốn trong 𝜎𝐵vì thay đổi ở mức giá f mà trong khi đó ở thị trường thực độ bất ổn hàm ý di chuyển ngược với dự đốn của mơ hình. Do đó, điều kiện sửa chữa cần cho thị trường thực nên có tín hiệu ngược lại dự đốn của mơ hình. Như vậy QTRR sừ dụng mơ hình gốc Black tốt hơn mơ hình này, mặc dù mơ hình này là đồng nhất với các giá thực hiện và Black thì khơng.
Hình 4.5: Độ bất ổn hàm ý 𝝇𝑩(K, 𝒇) nếu giá tương lai tăng từ ƒ0 tới ƒ(đương liền nét)