4. Nội dung nghiên cứu (Results)
4.4.Mơ hình SABR
Sự thất bại của mơ hình độ bất ổn cục bộ có nghĩa là chúng ta khơng thể sử dụng một mơ hình Markovian dựa trên một chuyển động Brown riêng lẻ đẻ điều khiển rủi ro smile. Thay vì tạo một mơ hình non-Markovian, hay dựa vào chuyển động non-Brown, chúng ta chọn cách phát triển mơ hình có cả 2 yếu tố này.Để làm điều này, chúng ta chú ý đến hầu hết lịch sử thị trường cả mối quan hệ tĩnh lẫn hỗn độn của các thời kì. Ý kiến này là độ bất ổn không cố định nhưng biển động ngẫu
nhiên theo thời gian. Chú ý tới những thảo luận ở trước, chúng ta chọn hề số khơng biết C(t,*) là 𝛼 𝐹 𝛽, trong đó độ bất ổn 𝛼 là quá trình biến động ngẫu nhiên. Ta có:
d𝑭= 𝜶 𝑭𝜷d𝑾𝟏, 𝑭(0) = f 4.4.1a d𝜶 = v𝜶 d𝑾𝟐, 𝜶 (𝟎) = 𝜶 4.4.1b
Trong đó:
d𝑾𝟏 d𝑾𝟐 = pdt 4.4.1c
Có nhiều mơ hình độ bất ổn ngẫu nhiên được giới thiệu, ví dụ như của Heston (1993) hay Hull và White (1987) …; Tuy nhiên, mơ hình SABR là mơ hình đơn giản nhất với 𝐹 và 𝛼 . Chúng ta sẽ thấy mơ hình SABR có thể mơ phỏng rất
chính xác quan sát của đường cong độ bất ổn trong thị trường cho bất cứ một ngày thực hiên đơn lẻ nào. Quan trong hơn, nó dự đốn được độ dịch chuyển của đường cong. Điều đó làm cho mơ hình SABR có khả năng quản lý rủi ro smile của thị trường nơi mà mỗi tài sản có một ngày thực hiện cụ thể.
Như đã biết, mơ hình SABR có thể hoặc khơng phù hợp với bể mặt độ biến động của tài sản mà có quyên chọn châu âu ứng với các thời điểm thực hiện khác nhau; như các thị trường bao gồm quyền chọn ngoại tệ và hầu hết các quyền chọn chứng khốn.
Nó cũng được lý luận bởi nhiều tác giả rằng mơ hình độ bất ổn ngẫu nhiên là mơ hinh của thị trường khơng hồn hảo bởi vì rủi ro biên đơng ngẫu nhiên không thể được QTRR . Điều này không đúng, sự thật là rủi ro thay đổi trong 𝛼 (rủi ro vega) khôn thể quản trị bởi mua hay bán tài sản sở hữu. tuy nhiên,rủi ro vega có thể quản trị bởi mua hay bán quyền chọn trên tài sản theo một cách chính xác giống nhau đó là Δ-hedging được sử dụng để trung hịa các rủi ro để thay đổi trong các mưc giá 𝐹 . Trong thực tế rủi ro vega được quản trị bởi mua và bán các quyền chọn hàng ngày, nên liệu thị trường sẽ hoàn hảo nếu rủi ro này không được quản trị là một câu chuyện cịn nhiều tranh cãi. Mơ hình SABR 4.4.1a-4.4.1c được phân tích ra rồi sau đó dùng những kĩ thuật singular pertubation để cố gắng thu được giá của quyền chọn châu âu. Sau đó, dùng những kết quả từ độ bất ổn hàm ý ta tìm ra phương trình
xác định độ lệch chuẩn, cuối cùng kết giá của quyền chọn châu âu được tìm bởi cơng thức Black: 𝑽𝒄𝒂𝒍𝒍= 𝑫 𝒕𝒔𝒆𝒕 {𝒇𝑵 𝒅𝟏 − 𝑲𝑵 𝒅𝟐 }, 4.4.2a 𝑽𝒑𝒖𝒕= 𝑽𝒄𝒂𝒍𝒍 + 𝑫 𝒕𝒔𝒆𝒕 [K – f], 4.4.2b Với 𝒅𝟏,𝟐 = 𝒍𝒐𝒈𝒇 𝑲 ±𝟏𝟐𝝇𝑩𝟐𝒕𝒆𝒙 𝝇𝑩 𝒕𝒆𝒙 4.4.2c Trong đó độ bất ổn hàm ý 𝜎𝐵(𝑓, 𝐾) là 𝝇𝑩(𝑲, 𝒇) = 𝜶 (𝒇𝑲)(𝟏−𝜷)/𝟐{𝟏+ 𝟏−𝜷 𝟐𝟐𝟒 𝒍𝒐𝒈𝟐𝒇𝑲 + 𝟏−𝜷 𝟒𝟏𝟗𝟐𝟎 𝒍𝒐𝒈𝟒𝒇/𝑲 +⋯ } * ( 𝒛 𝒙(𝒛)). {1+[(𝟏−𝜷)𝟐 𝟐𝟒 𝜶𝟐 (𝒇𝑲)𝟏−𝜷 + 𝟏𝟒(𝒇𝑲)𝝆𝜷𝒗𝜶(𝟏−𝜷)/𝟐 + 𝟐−𝟑𝝆𝟐 𝟐𝟒 𝒗𝟐]𝒕𝒆𝒙 + … 4.4.3a ở đây z = (𝒇𝑲)(𝟏−𝜷)/𝟐 log𝒇 𝑲 4.4.3b Và x(z) được định nghĩa χ(z) = log{ 𝟏−𝟐𝒑𝒛+ 𝒛𝟐+ 𝒛− 𝝆 𝟏−𝝆 } 4.4.3c
Với trường hợp quyền chọn giá thực hiện bằng giá hiện tại, K = ƒ, phương trình rút gọn: 𝝇𝑨𝑻𝑴 = 𝝇𝑩 𝒇, 𝒇 = 𝒇𝟐−𝟐𝜷𝜶 { 1+ [(𝟏−𝜷)𝟐𝟒 𝟐𝒇𝟐−𝟐𝜷𝜶𝟐 + 𝟏 𝟒 𝝆𝜷𝒗𝜶 𝒇(𝟏−𝜷) + 𝟐−𝟑𝝆 𝟐 𝟐𝟒 𝒗𝟐]𝒕𝒆𝒙 + … 4.4.4
Cơng thức này là kết quả chính của bài nghiên cứu này. Mặc dù nó xuất hiện thật phức tạp, nhưng phương trình này rõ ràng và chỉ bao gồm những hàm lượng giác cơ bản. Thực hiện mơ hình SABR cho quyền chọn vanilla là rất dễ dàng, vì
chúng là những hàm được đặt sẵn chương trình, chúng ta chỉ cần cung cấp tham số những quyền chọn.
Sự phức tạp này của mơ hình là cần thiết cho việc xác định giá quyền chọn một cách chính xác.Tuy nhiên việc định giá với cơng thức này rất là mất thời gian và không thực sự hiệu quả. Tự tin rằng cho dù ta có đưa phương trình này lên bậc cao hơn hay phức tạp hơn chỉ tạo ra sự quá chính xác hay chính xác ở mức không cần thiết, ta sẽ bỏ dịng cuối và các khoản thời kì “+…” của cơng thức 4.4.3a sẽ cho ta ra một cơng thức dạng đóng với độ chính xác vừa đủ và hợp lý. Ta có được cơng thức như sau: σ( X, F) = 𝜶( 𝟏+ 𝟏−𝜷 𝟐𝟐𝟒 𝜶𝟐 𝑭𝑿 𝟏−𝜷+ 𝟏𝟒 𝝆𝜷𝒗𝜶 𝑭𝑿 𝟏−𝜷𝟐 + 𝟐−𝟑𝝆𝟐𝟐𝟒 𝒗𝟐 𝝉) 𝑭𝑿 𝟏−𝜷𝟐 [𝟏+ 𝟏−𝜷 𝟐𝟐𝟒 𝒍𝒏𝟐𝑭𝑿+ 𝟏−𝜷 𝟒𝟏𝟗𝟐𝟎 𝒍𝒏𝟒𝑭𝑿] 𝒛 𝝌(𝒛) 4.4.5 z = 𝒛 𝜶 𝑭𝑿 𝟏−𝜷𝟐 𝒍𝒏𝟒 𝑭 𝑿 4.4.6 χ(z) = log{ 𝟏−𝟐𝒑𝒛+ 𝒛𝟐+ 𝒛− 𝝆 𝟏−𝝆 } 4.4.7
Tuy rằng cơng thức này vẫn cịn rất dài nhưng nó là một cơng thức dạng đóng và chúng ta có thể sử dụng nó một cách dễ dàng. Với trường hợp giá kỳ hạn bằng giá thực hiện K (K = ƒ) thì phương trình của độ bất ổn chỉ còn là :
𝝇𝑨𝑻𝑴 = 𝝇𝑩 𝒇, 𝒇 = 𝜶 𝒇(𝟏−𝜷){1+ [(𝟏−𝜷) 𝟐 𝟐𝟒 𝜶𝟐 𝒇𝟐−𝟐𝜷+ 𝟏 𝟒 𝝆𝜷𝒗𝜶 𝒇(𝟏−𝜷)+ 𝟐−𝟑𝝆 𝟐 𝟐𝟒 𝒗𝟐]𝒕𝒆𝒙 4.4.8 * Phân tích những thành phần từ cơng thức:
Sự phức tạp của công thức trên do σB(K,f) khơng thể hiện rõ sự định tính của mơ hình SABR. Để làm cho ý nghĩa mơ hình và dynamics (chiều hướng biến đổi)
dễ hiểu hơn, công thức được ghi chú từ 4.4.3a đến 4.4.3c có thể được tương đương với:
𝜎𝛽 𝐾, 𝑓 = 𝑓1−𝛽𝛼 {1 −2 1−𝛽−𝜌𝜆 log (𝐾/𝑓)1 +1/12[(1 − β)2+ 2 − 3𝜌2 𝜆2𝑙𝑜𝑔2 𝐾 𝑓 + ⋯ 4.4.9a
với điều kiện là giá thực hiện K thì khơng q xa với giá kì hạn hiện tại f. Tỉ số ở đây là 𝜆 = 𝛼𝜐ƒ1− 𝛽 4.4.9b
đo lường cường độ v của độ biến động của độ biến động (volvol) so với độ biến động cục bộ α/f1-β
tại điểm giao sau hiện tại. Mặc dù phương trình 4.4.9a, 4.4.9b không được dùng để thương lượng giá thực tế, nhưng chúng đủ chính xác để mơ tả hành vi định tính của mơ hình SABR một cách trung thực.
Vì f biến động suốt quá trình kinh doanh thơng thường nên đường cong mà biến động ATM (khi K=f) σB(f,f) vạch ra được gọi là backbone, trong khi đó smile và skew đại diện cho biến động hàm ý σB(K,f) là một hàm của giá thực hiện K và f cố định. Thị trường smile và skew đưa ra một bản lưu (snapshot) của giá thị trường cho những mức giá thực hiện K khác nhau tại một trường hợp cho trước khi mà giá kì hạn f ở mức nhất định. Hình 4.6 và 4.7 thể hiện chiều hướng biến đổi của smile/skew được dự báo bởi mơ hình SABR.
Vì f biến động, biến động hàm ý σB(f,f) của quyền chọn ATM đi ngang qua blackbone (đường cong đứt khúc) thể hiện là smile σB(K,f) cho 3 giá trị khác nhau của kì hạn dữ liệu biến động từ 1 vào 1 swaption trong ngày 28/4/2000 với sự giúp đỡ của Cantor-Fitzgerald.
Hình 4.7: Backbone và smile của β=1.
Chúng ta sẽ phân tích chi tiết các thành phần của độ bất ổn hàm ý σB(K,f). Đầu tiên là yếu tố α/f1-β trong 4.4.9a là biến động hàm ý của quyền chọn ATM, quyền chọn mà giá thực hiện K bằng với giá kì hạn f hiện tại. Vì vậy blackbone đi ngang qua bởi quyền chọn ATM mơ hình SABR thì σB(f,f) = α/f1-β. Blackbone hầu như được
xác định hoàn tồn bởi số mũ β, với số mũ β=0 (mơ hình xác suất Gaussian) đưa ra blackbone dốc xuống và số mũ β=1 thì đưa ra một blackbone gần như nằm ngang, việc lựa chọn β và ý nghĩa của tham số này sẽ được trình bày ở phần sau.
Thứ hai là −12 1 − 𝛽 − 𝜌𝜆 𝑙𝑜𝑔𝐾𝑓 biểu trưng cho skew, độ nghiêng của biến động hàm ý đối với giá thực hiện K. Phần −2 1 1 − 𝛽 − 𝜌𝜆 𝑙𝑜𝑔𝐾
𝑓 là beta skew, cái mà dốc xuống khi 0≤ β ≤ 1. Nó phát sinh bởi vì “biến động cục bộ” 𝛼 𝐹 𝛽
𝐹 1 = 𝐹 1−𝛽𝛼 là một hàm giảm của giá kì hạn. Phần thứ hai là 1
2𝜌𝜆 𝑙𝑜𝑔𝐾 (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
𝑓 vanna skew, skew được tạo ra bởi sự tương quan giữa độ bất ổn và giá tài sản. Một cách đặc trưng độ biến động và
giá tài sản là tương quan âm vì vậy ở mức trung bình thì biến động sẽ giảm (tăng) khi giá tài sản tăng (giảm). Do đó nó có vẻ như khơng ngạc nhiên khi mà mối tương quan âm ρ được được tạo nên bởi vanna skew dốc xuống.
Số hạn cuối cùng trong 3.1a cũng chứa 2 phần. Phần đầu tiên là 1/12*(1-β)2 log2K/f xuất hiện để trở thành số hạng smile (bậc 2), nhưng nó bị chi phối bởi β skew dốc xuống, và tại mức giá thực hiện hợp lý, nó chỉ làm thay đổi skew ở 1 vài thứ. Phần thứ 2 là 1/12*(2-3ρ2)λ2 log2K/f là the smile gây ra bởi hiệu ứng Volga ( vol-gamma). Cụ thể smile này xuất hiện bởi vì “Sự lựa chọn đối nghịch”: sự vận động quy mô lớn khác thường của giá kỳ hạn f xảy ra thường xuyên hơn khi độ bất ổn α tăng và ít thường xuyên hơn khi độ bất ổn α giảm, vì vậy giá thực hiện K cách xa f hay ngoài trạng thái ngang giá là biểu hiện cho môi trường biến động lớn.
Số mũ β và tương quan ρ tác động đến biến động smile trong cách tương tự. Cả 2 chúng được tạo ra bởi skew dốc xuống trong σB(K,f) khi giá thực hiện K biến động. Từ bản lưu nhanh của thị trường đơn của σB(K,f) khi một hàm của K tại f cho trước, thật khó để phân biệt giữa 2 tham số. Điều đó được chứng minh bởi hình 4.8. Ở đây chúng ta sẽ điều chỉnh các tham số α,ρ,ν với β = 0 rồi sau đó điều chỉnh lại các tham số α,ρ,ν với β = 1 chú ý rằng khơng có sự khác biệt thật sự trong chất lượng của những lần điều chỉnh ngoại trừ sự hiện diện của tín hiệu nhiễu thị trường điều này phù hợp với những kinh nghiệm chung của chúng ta : những smile thị trường có thể được điều chỉnh tốt một cách đồng đều với bất cứ giá trị cụ thể nào của β. Đặc biệt là β không thể xác định bởi việc điều chỉnh một smile thị trường từ khi điều đó có thể là số lượng rõ ràng cho “điều chỉnh tín hiệu nhiễu”.
Hình 4.8: Độ bất ổn hàm ý như là một hàm của giá thực hiện: